Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация



Анализ обобщенных функций

 


Введение

 

Существуют многие физические модели, которые в терминах обычных функций не могут быть описаны. Например, распределение зарядов вдоль прямой удобно задать плотностью этого распределения. Однако, если на прямой существуют точки, несущие заряды, то плотность такого распределения не может быть описана "обычной" функцией. Другой пример связан с определением производной в точках разрыва функции, когда эта операция носит в выкладках промежуточный характер.

Определение. Основное пространство Km состоит из действительных функций j (t), называемыми основными функциями, имеющими непрерывные производные до порядка m включительно, равными нулю вместе со всеми производными вне конечного интервала. Пространство Km является линейным.

Пример. Рассмотрим функцию

график которой приведен ниже

j

1

a (a+b)/2 b t

Эта функция принадлежит основному пространству Ko, так как не существуют производные в точках t = a и t = b. Функция (график смотри ниже)


принадлежит пространству Km.

j

1


a (a+b)/2 b t

Если положить m = ¥ для основного пространства Km, то полученное основное пространство обозначается К. Пусть

тогда, как легко проверить, j(t) Î K.


1.Обобщенные функции

 

Определение. Обобщенной функцией f (t) (заданной на прямой (-¥ < t <¥)) называется всякий непрерывный линейный функционал на пространстве основных функций. Он может быть представлен в виде скалярного произведения

(f (t), j (t)) , j (t) Î K (Km).

Всякая интегрируемая функция f (t) порождает обобщенную функцию, так как скалярное произведение

есть непрерывный линейный функционал на K. Такие обобщенные функции называются регулярными, остальные (которые не допускают такого представления) – сингулярными. Приведем пример сингулярной обобщенной функции. С этой целью рассмотрим последовательность функций

Так как интеграл Пуассона

 то  (1)


При n®¥ функция dn(t) вытягивается до бесконечной высоты в точке t = 0, а вне ее становится равной нулю, сохраняя свойство (1). В обычном понимании предел dn(t) при n®¥ не существует. Предел

lim dn(t) = d(t)

n®¥

можно рассматривать как обобщенную функцию, то есть функцию, которая порождается скалярным произведением

 (2)

где j (t) – основная функция. Скалярное произведение (2.) есть линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций (j Î K). Функция d(t) называется дельта – функцией (обобщенная функция Дирака).

Определим произведение обобщенной функции f на число l соотношением

(l f, j) = l (f, j) ( j Î K).

Сумма двух обобщенных функций f1, f2 определим следующим образом

(f1 + f2, j) = (f1, j) + (f2, j) ( j Î K).

После этого множество обобщенных функций K' становится линейным пространством.

Определение. Две обобщенные функции f (t), g (t) Î K' равны: f (t) = g (t), если для любой основной функции j (t)

(f, j) = (g, j) или (f – g, j) = 0.

Обобщенная функция f (t) равна нулю: f = 0, если для любой основной функции j (t)

(f, j) = 0.

Примеры обобщенных функций.

1. Пусть j Î K. Определим обобщенную функцию f с помощью функционала

Приведенная сумма конечна, так как основная функция j(t) равна нулю вне некоторого конечного интервала.


Информация о работе «Анализ обобщенных функций»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 13257
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 2

Похожие работы

Скачать
14315
0
0

... ресурсов (т.е. масштаб производства) M=kal1-a В результате получаем , что выпуск Х есть произведение экономической эффективности и масштаба производства: Х=ЕМ. Линейная производственная функция   X=F(K,L)=EKK+ELL Где EK  и EL частные эффективности ресурсов. EK = -фондоотдача , EL = - производитель труда. Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность ...

Скачать
20249
0
5

... линейное множество, имеющее мощность континуума. Поскольку уточненное определение d -функции не затрагивает ее определения как функционала на пространстве D, все свойства d -функции, рассматриваемой как сингулярная обобщенная функция, сохраняются. Производная d -функции имеет наглядное представление в виде оси ординат, обладает двойной направленностью в каждой из полуплоскостей y<0 и y>0 и ...

Скачать
38474
1
0

... : распознавание его специфики, интерпретация и описание. В период восприятия и предварительного знакомства применяются эмпирические методы сбора информации (опрос, наблюдение, работа с документацией и др.), идут процессы распознавания особенностей педагогического опыта, его интерпретации, происходит преобразование и моделирование педагогической деятельности учителя, учебных действий учащихся, ...

Скачать
52409
5
4

... Целью формирующей работы является развитие мышление у детей шестого года жизни посредством игровых занимательных задач. Задачи: 1.  Разработать систему игр и упражнений по развитию мышления у детей шестого года жизни посредством игровых занимательных задач. 2.  Определить эффективные педагогические условия развития мышления у детей шестого года жизни посредством игровых занимательных задач. ...

0 комментариев


Наверх