Преобразование Фурье обобщенных функций

3. Преобразование Фурье обобщенных функций

Пусть основное пространство K состоит из бесконечно дифференцируемых комплексно-значных функций j(t) действительного переменного t, равных нулю вне некоторого конечного интервала. Преобразование Фурье функции j(t) определяется соотношением

Если рассматривать s как комплексную переменную s = u + iv, то

и y(t) – бесконечно дифференцируемая функция (аналитическая) во всей комплексной плоскости. Интегрируя по частям, получаем

В общем случае можно записать

Далее, если  - дифференциальный полином с постоянныим коэффициентами  то

Определение. Преобразование Фурье обобщенной функции f(t) называется обобщенная функция F[f(t)] = F(s), определяемая соотношением

(F[f(t)], F[j(t)]) = 2p(f(t), j(t)),

которое для регулярных функций называется равенством Парсеваля.

Свойства преобразования Фурье

1)

2)

3) F^-1[F[f(t)]] = f(t), где F^-1 – оператор, обратный F, удовлетворяющий соотношению

4) F[F[f(t)]] = 2pf(-t);

5) 

Приведем преобразование Фурье от некоторых обобщенных функций.

F[1(t)] = 2pd(u),

F[d(t-a)] = e^-iua,

 

4. Преобразование Лапласа обобщенных функций

Определение. Комплекснозначная функция f(t) действительного переменного t называется оригиналом, если

1) f(t) = 0 для t < 0;

2)  f(t) – кусочно дифференцируема;

3) 

Тогда функция  называется преобразованием Лапласа функции f(t). Функция L(p) бесконечно дифференцируема в полуплоскости Re p > a и для нее справедливо соотношение

Если то

где f(+0) – скачок функции f(t) в начале координат. Обратное преобразование Лапласа L^-1 равно

Приведем преобразование Лапласа некоторых функций:

Определение. Преобразование Лапласа обобщенной функции f(t) определяется соотношением

Свойства.

1) 

2) 

3) 

Здесь производные нужно рассматривать как производные обобщенных функций.

Заметим, что

4) 

тогда

5) Найдем преобразование Лапласа свертки обобщенных функций f(t) и g(t):

Cледовательно

Так как  то

Аналогично можно написать

Приведем преобразование Лапласа часто используемых обобщенных функций:

где I_o - функция Бесселя нулевого порядка.

5.Дифференциальные уравнения в обобщенных функциях

Рассмотрим уравнение

Если f(t) – обычная функция, то его решением является первообразная, то есть

Пусть теперь f(t) – обобщенная функция.

Определение. Обобщенная функция g(t) называется первообразной обобщенной функцией f(t), если

(g'(t), j(t)) = (f (t), j(t)).

Если f(t) – сингулярная обобщенная функция, то возможны случаи, когда ее первообразная – регулярная обобщенная функция. Например, первообразная d(t) является y(t) = q(t); первообразная q(t) является функция y(t) = t₊, а решение уравнения

y''(t) = d(t)

можно записать в виде

t(t) = t₊ + C₁t + C₂ (C₁, C₂ = const).

Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

 (4)

где f(t) – обобщенная функция. Обозначим

дифференциальный полином n-го порядка.

Определение. Обобщенным решением дифференциального уравнения (4) называется обобщенная функция y(t), для которой выполняется соотношение

Если f(t) – непрерывная функция, тогда единственным решением уравнения (4.) является классическое решение.

Определение. Фундаментальным решением уравнения (4) называется любая обобщенная функция e(t) такая, что

Функция Грина – фундаментальное решение, удовлетворяющее данному граничному, начальному или асимптотическому условию.

Теорема. Решение уравнения (4) существует и имеет вид

 (5)

если только свертка определена.

Доказательство. Действительно,

По свойству свертки имеем

В качестве примера рассмотрим уравнение

 (6)

Нетрудно видеть, что фундаментальным решением этого уравнения является

так как

и

Поэтому

6. Пространство обобщенных функций

Совокупность обобщенных функций, порождаемых основным пространством K, образует пространство K'. Рассмотрим подпространство обобщенных функций  пространства K, состоящее их обобщенных функций, равных нулю вне некоторого конечного интервала принадлежащего [0, ¥]. Введем в этом пространстве операцию умножения двух функций в виде свертки этих функций. Если f(t), g(t) Î  то и  Кроме того свертка обладает всеми свойствами обычной операции умножения. Роль единицы в  играет функция d(t), так как для

Пусть существует  такая что

тогда f^-1(t) называется обратной обобщенной функцией f(t).

Пространство  с введенной операцией умножения образует алгебру (коммутативную) со сверткой.

Рассмотрим алгебру со сверткой  . Обобщенная функция  так как она равна нулю всюду, кроме точки ноль. Обобщенная функция сосредоточена вначале координат, поэтому  Далее,

поэтому

Теорема. Пусть для  существуют обратные функции f ^{- 1}(t) и g^-1(t). Тогда свертка  имеет обратную функцию вида

Действительно,

Рассмотрим следующее определенное в  уравнение в свертках

Свертка существует для любой обобщенной функции  так как

Следовательно, y(t) является фундаментальным решением уравнения (4). В частности, фундаментальное решение уравнения (6) с оператором  принадлежит алгебре со сверткой  Следовательно,

Рассмотрим операционный метод решения уравнения в свертках. Пусть имеется уравнение

где a(t) и b(t) ΠСреди эффективных методов решения этого уравнения приведем метод преобразования Лапласа. Применив преобразование Лапласа к левой и правой части этого уравнения, имеем

Отсюда следует

Если для функции L(p) существует оригинал, принадлежащий  то он и является искомым решением.

В качестве примера рассмотрим уравнение

Применив к нему преобразование Лапласа, получим (р²-w²) L[y(t)] = 1.

Следовательно,

Откуда находим решение

7.Задача Коши

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение

 (7)

Задачей Коши для этого уравнения называется задача, заключающаяся в определении функции  удовлетворяющей этому уравнению и начальным условиям в точке t = t_o:

y_o = y(t_o), y'_o = y'(t_o), . . . , y_o^(n-1) = y^(n-1)(t_o).

Задача Коши имеет единственное решение. Найдем решение, удовлетворяющее уравнению (7), а также начальным условиям.

 (8)

t®+0

Запишем уравнение (8) в обобщенных функциях, продолжив функцию f(t) и искомое решение нулевым значением для t<0. Введем функции

и соответствующие обобщенные функции. Начальные условия в этом случае являются скачками функции y(t) и ее производных до n-1-го порядка включительно в точке t = 0. Действительно, рассмотрим вначале случай, когда у функции y(t) только скачок y_o, тогда

где y'(t) – производная в обычном смысле.

Если у функции еще и скачок производной равный y'_o, то

Производную порядка p (p £ n-1) обобщенной функции  можно записать в виде

Введем обозначение

Где

Таким образом, дифференциальное уравнение (7) переходит в уравнение

 (9)

Преимущество этого уравнения состоит в том, что оно содержит начальные условия Коши и в формулировке задачи участвуют обобщенные функции.

Уравнение в свертках, соответствующее уравнению (9), имеет вид

Если e(t) – его фундаментальное решение, то с учетом последней формулы можно записать

 (10)

С помощью вариации постоянных можно записать фундаментальное решение в виде

e(t) = q(t) y_n(t) ,

где y_n(t) - решение однородного уравнения

с начальными условиями

Тогда решение уравнения (10) принимает вид

Таким образом, решение уравнения (7) с начальным условием (8) принимает вид

где предполагается, что f(t) – локально интегрируемая функция.

Пример. Рассмотрим уравнение

y''(t) = 0, t ³ 0

с начальными условиями

lim y(t) = y_o , lim y'(t) = y'_o

t®+0 t®+0

В этом уравнении а₁ = а₂ = 0 и b₁ = y_o, b₂ = y'_o, а функция y₂(t) = t является решением однородного уравнения, удовлетворяющая условиям

y₂(0) = 0 , y'(0) = 1.

Поэтому

y(t) = y_o + y'_o t , t ³ 0.

Можно также написать