Введенную ранее дельта-функцию d (t) определим следующим образом

2. Введенную ранее дельта-функцию d (t) определим следующим образом

(d (t), j(t)) = j(0).

Исходя из интегрального представления (2), имеем

Если а(t) – непрерывная функция, то

(а(t) d(t), j(t)) = (d(t), а(t) j(t)) = a(o) j(o) ( j Î K^o).

Отметим, что функционал f , определенный на K соотношением

не является обобщенной функцией, так как, являясь непрерывным функционалом, он не линеен.

3. Обобщенная функция Хевисайда

для которой можно записать

является регулярной обобщенной функцией.

2.Действия над обобщенными функциями

Введем в пространстве обобщенных функций K' операцию предельного перехода. Последовательность  сходится к f, если для любого j Î K выполнено следующее соотношение

(f_n, j) ® (f, j)

n ®¥

Определим теперь для обобщенных функций операцию дифференцирования и рассмотрим ее свойства. Производная f '(t) регулярной обобщенной функции f (t) равна

 

так как основная функция обращается в нуль вне некоторого конечного интервала. Производная n – го порядка будет тогда определяться равенством

(f⁽ⁿ⁾ (t), j(t) = (-1)ⁿ (f (t), j⁽ⁿ⁾ (t)) (" n Î N, j Î K).

Это соотношение определяет производную n – го порядка обобщенных функций, включая и сингулярные функции.

Примеры:

1. Производная функции Хевисайда равна

2. Так как

то

Из определения дельта – функции следует

t d(t) = 0,

а значит

d(t) + t d'(t) = 0,

2d'(t) + t d''(t) = 0,

---------------------

nd^(n-1)(t) + t d⁽ⁿ⁾(t) = 0.

Отсюда последовательным исключением получаем

tⁿd⁽ⁿ⁾ (t) = (-1) n! d(t) n Î N.

Методом математической индукции можно показать, что

Легко также показать, что если a(t) Î C^m, то

a(t)d^(m) (t – t_o) = C^o_m a (t_o) d^(m) (t – t_o) - C¹_m a' (t_o) d^(m-1) (t – t_o) –

-  . . . – (-1)C^m_m a^(m) (t_o) d(t – t_o) .

Введем обобщенные функции t ₊ и t _-:

тогда

Можно вычислить производные

(t₊)' = q(t), (t_-)' = -q(-t),

а также

n

 

2.1 Свертка обобщенных функций

Пусть f(t) и g(t) - интегрируемые на любом конечном интервале функции. Свертка функций f(t) и g(t) определяется соотношением

если только интеграл существует и интегрируем по любому конечному интервалу переменной х. Равенство двух интегралов легко проверить, сделав замену z = x-t.

Если f(t), g(t) – регулярные обобщенные функции и j(х) Î K, то можно записать

Произведение f(t) g(u) можно рассматривать как прямое произведение f(t) х g(u), так что

Это соотношение определяет свертку обощенных функций f(t), g(t) Î K', включая и сингулярные обобщенные функции.

Свертка обобщенных функций обладает следующими свойствами:

1) 

2) 

3) 

4)  если  то

 (3)

Приведем доказательство последнего соотношения. Действительно, для j(х) Î K

или

 

что и доказывает соотношение (3).

Примеры:

1.

2.