Антипростые числа

Отдел образования гомельского городского исполнительного комитета

Государственное учреждение образования

"Гимназия №71 г. Гомеля"

Конкурсная работа

"Антипростые числа"

Исполнитель:

Мурашко Вячеслав Игоревич,

ученик 9 А класса

Руководитель:

Синюто Алла Николаевна,

учитель физики

Государственного учреждения образования

"Гимназия №71 г. Гомеля"

Гомель

2009

Оглавление

Введение

1. Исследование антипростых чисел и их свойств

1.1 Задачи об антипростых числах

1.2 Исследование количества антипростых чисел среди натуральных чисел

1.3 Исследование частоты встречаемости антипростых чисел среди натуральных чисел

2. Обобщения об антипростых числах

Заключение

Список использованных источников и литературы

Приложения

Введение

На XI Республиканском турнире юных математиков, проходившем в декабре 2009 года в Минске, одной из исследовательских тем была задача об антипростых числах.

Цель данной работы – изучить антипростые числа и их свойства. При выполнении работы были решены поставленные на турнире задачи об антипростых числах, а также предложены и исследованы свои вопросы по данной теме. Объект исследования – антипростые числа. Назовем натуральное число антипростым, если каждый его простой делитель входит в его разложение на множители с показателем, большим 1. Назовем натуральное число антипростым порядка р (р Î N), если каждый его простой делитель входит в его разложение на множители с показателем не меньшим, чем р. Назовем два натуральных числа взаимно антипростыми, если их наибольший общий делитель является антипростым числом. Антипростые числа являются естественным обобщением фигурирующих в проблеме бельгийского математика Э. Каталана правильных степеней (1844 г.), которую пытались решать такие выдающиеся математики как Лео Гебракус, Френикль де Бесси, Л. Эйлер, В. А. Лебег, Т. Нагель и др. В 2003 году румынский математик П. Михайлеску доказал справедливость гипотезы Каталана. Тематика данной исследовательской работы является достаточно новой. При проведении анализа источников информации непосредственно ссылок на задачу об антипростых числах в такой постановке было найдено две – это статья В. Сендерова, Б. Френкина "Гипотеза Каталана" в журнале "Квант" № 4 2007 года и задача М2032 об антипростых числах – близнецах В. Сендерова из того же журнала. В процессе выполнения данной работы потребовались более углубленные знания по теории чисел, которые были получены из таких источников информации, как Оре О. "Приглашение в теорию чисел", Виноградов И.М. "Основы теории чисел" и др.

1. Исследование антипростых чисел и их свойств

1.1 Задачи об антипростых числах

При изучении антипростых чисел и их свойств были решены ряд следующих задач, поставленных на XI турнире юных математиков.

1.  Покажите, что в натуральном ряду не могут идти подряд четыре антипростых числа.

Решение. Среди подряд идущих четырех натуральных чисел два – чётные. Их разность равна 2, т.е. при делении на 4 одно из них даёт в остатке 2, другое 0. Следовательно, одно из этих чисел делится на  но не делится на , т.е. не антипростое. Заметим также, что эти два четных числа не могут быть взаимноантипростыми и антипростыми порядка p.

2.  Могут ли три антипростых числа быть длинами сторон прямоугольного треугольника?

Решение. Три антипростых числа могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.

Приведем в качестве примера треугольник со следующими длинами сторон: ,,. Доказательством того, что этот треугольник является прямоугольным, является выполнимость теоремы Пифагора:

.

Заметим также, что эти числа взаимноантипросты и антипростые порядка p.

3.  Могут ли три (четыре, пять, …) антипростых числа быть членами арифметической прогрессии?

Решение. Любое количество антипростых чисел может быть членами арифметической прогрессии.

Примером являются следующие n подряд идущие члены арифметической прогрессии: , 2, 3, …, с разностью , где p > 1.

Эти числа также взаимноантипросты и антипростые порядка .

4.  Могут ли пять антипростых чисел составлять множество чисел вида a, a ± b, a ± (b + c) и т.д.?

Решение. Ответ на этот вопрос зависит от величины чисел b и c. Например, если они равны по 1, то из первой задачи следует, что таких пяти антипростых чисел нет (нет 4 подряд идущих). Но найти такие a, b и c, что a, a ± b, a ± (b + c) антипростые можно. Например, 2, 4, 5, 6, 8, где n > 8, p > 1. Заметим, что эти числа взаимноантипросты и антипростые порядка .

Легко получить сколько угодно слагаемых такого вида, выбирая различные a, b и c, а затем домножая на  с соответствующим n.