Исследование количества антипростых чисел среди натуральных чисел

1.2 Исследование количества антипростых чисел среди натуральных чисел

Будем исследовать количество антипростых чисел среди натуральных чисел в следующем смысле.

Необходимо попытаться найти или оценить количество антипростых чисел на различных отрезках (например, от 1 до 1000, от 1 до 1000000, от 1 до М (для произвольных натуральных значений М), от 1000 до 1000000 и т.п.), получить какие-либо общие закономерности.

Обозначим через p(т) количество антипростых чисел среди всех натуральных чисел от 1 до т.

Обозначим через p(k, т) количество антипростых чисел среди всех натуральных чисел от k до т.

Для оценки количества антипростых чисел на различных отрезках была разработана программа на Паскале, которая находит антипростые числа (см Приложение Б).

Из таблицы (см Приложение А), которую выводит программа, несложно подсчитать количество антипростых чисел для различных заданных отрезков. Например, от 1 до 1000 имеется 53 антипростых числа, от 1001 до 2000 – 24, от 2001 до 3000 – 18, от 3001 до 4000 – 19, от 4001 до 5000 – 13, от 5001 до 6000 – 13, от 6001 до 7000 – 12, от 7001 до 8000 – 11, от 8001 до 9000 – 11, от 9001 до 10 000 – 10 и т.д.

Но чтобы увидеть некоторую закономерность, попытаемся рассуждать, как и с простыми числами.

Хорошо известен постулат Бертрана [3, 4, 5, 6]: для любого натурального n2 на отрезке [n; 2n] лежит как минимум одно простое число. Такая гипотеза была выдвинута в 1845 году французским математиком Бертраном (проверившим её до n=3000000) и доказана в 1850 Чебышёвым. Рамануджан в 1920 году нашёл более простое доказательство, а Эрдёш в 1932 — ещё более простое.

Для антипростых чисел заметим нечто похожее.

На отрезке [n; n+2∙[]+1] находится квадрат натурального числа. Действительно, если n точный квадрат, то и n+2∙[]+1 точный квадрат. Если n не квадрат натурального числа, то число ([]+1)² – точный квадрат лежит на отрезке [n; n+2∙[]+1]. Заметим, что для n > 5 длина отрезка [n; n+2∙[]+1] меньше n.

По аналогии докажем что на отрезке [n; n+2∙[]+1+2∙[]+3] лежит 2 квадрата натуральных чисел (т.е. 2 антипростых числа). Очевидно, что  и . Если n не точный квадрат натурального числа, то число ([]+1)² и  – точные квадраты лежат на отрезке [n; n+2∙[]+1+2∙[]+3]. Заметим, что для n > 10 длина этого отрезка меньше n.

Рассуждая аналогично, с учетом , доказывается, что на отрезке  лежит k квадратов натуральных чисел (где – сумма всех нечётных чисел от 1 до 2k-1, т.е. ). Заметим, что для любого натурального k найдётся натуральное n такое что,  (например, n = 9k²), т.е. существует такое n, для которого . Следовательно, с возрастанием n минимальное количество антипростых чисел на отрезках [n; 2n] увеличивается.

Заметим также, что аналог гипотезы Лежандра [3] о том, что для любого n ≥ 2 найдётся простое число в интервале [n²; (n+1)²], для антипростых чисел выполняется. Ведь любой квадрат сам по себе уже антипростое число.

Для оценки количества чисел на отрезке от 1 до n построим график, на котором по оси Ox будем откладывать числа от 1 до 1 500 000, а по оси Oy – значение функции p(n), т.е. количество антипростых чисел на отрезке от [1; n] (см рис. 1).

Рисунок 1 – График функции p(n)

Сравним график на рис. 1 с графиком функции  (см рис.2).

Рисунок 2 – График функции

Для сравнения на рисунке 3 представлены одновременно графики функций p(n) и . Исследования показали, что на отрезке до n=420000   p(n), а далее p(n), причём процент ошибки небольшой (см. таблицу 1 в Приложение В). Так как вначале   p(n), то процент ошибки убывает, после n=420000 он начинает возрастать, и при n=2000000 он приблизительно равен 2% .

Рисунок 3 – Сравнение графиков функций p(n) и