Випадковий процес в математиці

Курсова робота

Випадковий процес в математиці

Зміст

Введення

1. Визначення випадкового процесу і його характеристики

2. Марковські випадкові процеси з дискретними станами

3. Стаціонарні випадкові процеси

4. Ергодична властивість стаціонарних випадкових процесів

Література

Введення

Поняття випадкового процесу уведено в XX сторіччі й пов'язане з іменами А.Н. Колмогорова (1903-1987), А.Я. Хинчина (1894-1959), Е.Е. Слуцького (1880-1948), Н. Вінера (1894-1965). Це поняття в наші дні є одним із центральних не тільки в теорії ймовірностей, але також у природознавстві, інженерній справі, економіці, організації виробництва, теорії зв'язку. Теорія випадкових процесів належить до категорії найбільше що швидко розвиваються математичних дисциплін. Безсумнівно, що ця обставина значною мірою визначається її глибокими зв'язками із практикою. XX століття не могло задовольнятися тим ідейною спадщиною, що було отримано від минулого. Дійсно, у той час, як фізика, біолога, інженера цікавив процес, тобто зміна досліджуваного явища в часі, теорія ймовірностей пропонувала їм як математичний апарат лише засобу, що вивчали стаціонарні стани. Для дослідження зміни в часі теорія ймовірностей кінця XIX - початку XX століття не мало ні розроблених приватних схем, ні тим більше загальних прийомів. А необхідність їхнього створення буквально стукала у вікна й двері математичної науки. Вивчення броунівського руху у фізику підвело математиків до порога створення теорії випадкових процесів.

Вважаю за необхідне згадати ще про дві важливі групи досліджень, початих у різний час і по різних приводах.

По-перше, ця роботи А.А. Маркова (1856-1922) по вивченню ланцюгових залежностей. По-друге, роботи Е.Е. Слуцького (1880-1948) по теорії випадкових функцій. Обоє цих напрямку грали дуже істотну роль у формуванні загальної теорії випадкових процесів.

Для цієї мети вже був накопичений значний вихідний матеріал, і необхідність побудови теорії як би носилися в повітрі.

Залишалося здійснити глибокий аналіз наявних робіт, висловлених у них ідей і результатів і на його базі здійснити необхідний синтез.

1. Визначення випадкового процесу і його характеристики

Визначення: Випадковим процесом X(t) називається процес, значення якого при будь-якому значенні аргументу t є випадковою величиною.

Інакше кажучи, випадковий процес являє собою функцію, що у результаті випробування може прийняти той або інший конкретний вид, невідомий заздалегідь. При фіксованому t=t₀ X(t₀) являє собою звичайну випадкову величину, тобто перетин випадкового процесу в момент t_0.

Приклади випадкових процесів:

чисельність населення регіону із часом;

число заявок, що надходять у ремонтну службу фірми, із часом.

Випадковий процес можна записати у вигляді функції двох змінних X(t,?), де ???, t?T, X(t, ?) ? ? і ? - елементарна подія, ? - простір елементарних подій, Т - множина значень аргументу t, ? - множина можливих значень випадкового процесу X(t, ?).

Реалізацією випадкового процесу X(t, ω) називається невипадкова функція x(t), у яку перетворюється випадковий процес X(t) у результаті випробування (при фіксованому ω), тобто конкретний вид, прийнятий випадковим процесом X(t), його траєкторія.

Таким чином, випадковий процес X(t, ω) сполучає в собі риси випадкової величини й функції. Якщо зафіксувати значення аргументу t, випадковий процес перетворюється у звичайну випадкову величину, якщо зафіксувати ?, те в результаті кожного випробування він перетворюється у звичайну невипадкову функцію. Надалі викладі опустимо аргумент ?, але він буде матися на увазі за замовчуванням.

На малюнку 1 зображено кілька реалізацій деякого випадкового процесу. Нехай перетин цього процесу при даному t є безперервною випадковою величиною. Тоді випадковий процес X(t) при даному t визначається повністю ймовірності ?(x, t). Очевидно, що щільність ?(x, t) не є вичерпним описом випадкового процесу X(t), тому що вона не виражає залежності між його перетинами в різні моменти часу.

Випадковий процес X(t) являє собою сукупність всіх перетинів при всіляких значень t, тому для його опису необхідно розглядати багатомірну випадкову величину (X(t₁), X(t₂), …, X(t_n)), що складається із всіх сполучень цього процесу. У принципі таких сполучень нескінченно багато, але для опису випадкового процесу вдається частина обійтися відносно невеликою кількістю сполучень.

Говорять, що випадковий процес має порядок n, якщо він повністю визначається щільністю спільного розподілу φ(x_1, x₂, …, x_n; t₁, t₂, …, t_n) n довільних перетинів процесу, тобто щільністю n-мірної випадкової величини (X(t₁), X(t₂), …, X(t_n)), де X(t_i) – сполучення випадкового процесу X(t) у момент часу t_i, i=1, 2, …, n...

Як і випадкова величина, випадковий процес може бути описаний числовими характеристиками. Якщо для випадкової величини ці характеристики є постійними числами, то для випадкового процесу – невипадковими функціями.

Математичним очікуванням випадкового процесу X(t) називається невипадкова функція a_x(t), що при будь-якому значенні змінної t дорівнює математичному очікуванню відповідного перетину випадкового процесу X(t), тобто a_x(t)=М [X(t)].

Дисперсією випадкового процесу X(t) називається невипадкова функція D_x(t), при будь-якому значенні змінної t рівна дисперсії відповідного сполучення випадкового процесу X(t), тобто D_x(t)= D[X(t)].

Середнім квадратичним відхиленням σ_x(t) випадкового процесу X(t) називається арифметичне значення кореня квадратного з його дисперсії, тобто σ_x(t)= D_x(t).

Математичне очікування випадкового процесу характеризує середню траєкторію всіх можливих його реалізацій, а його дисперсія або середнє квадратичне відхилення - розкид реалізацій щодо середньої траєкторії.

Уведених вище характеристик випадкового процесу виявляється недостатньо, тому що вони визначаються тільки одномірним законом розподілу. Якщо для випадкового процесу Х₁(t) характерно повільна зміна значень реалізацій зі зміною t, то для випадкового процесу Х₂(t) ця зміна проходить значно швидше. Інакше кажучи, для випадкового процесу Х₁(t) характерна тісна імовірнісна залежність між двома його сполученнями Х₁(t₁) і Х₁(t₂), у той час як для випадкового процесу Х₂(t) ця залежність між сполученнями Х₂(t₁) і Х₂(t₂) практично відсутній. Зазначена залежність між сполученнями характеризується кореляційною функцією.

Визначення: Кореляційною функцією випадкового процесу Х(t) називається невипадкова функція

K_x(t₁, t₂) = M[(X(t₁) – a_x(t₁))(X(t₂) – a_x(t₂))] (1.)

двох змінних t₁ і t₂ , що при кожній парі змінних t₁ і t₂ дорівнює ковариації відповідних сполучень Х(t₁) і Х(t₂) випадкові процеси.

Очевидно, для випадкового процесу Х(t₁) кореляційна функція K_x1(t₁, t₂) убуває в міру збільшення різниці t₂ - t₁ значно повільніше, ніж K_x2(t₁, t₂) для випадкового процесу Х(t₂).

Кореляційна функція K_x(t₁, t₂) характеризує не тільки ступінь тісноти лінійної залежності між двома сполученнями, але й розкид цих сполучень щодо математичного очікування a_x(t). Тому розглядається також нормована кореляційна функція випадкового процесу.

Нормованою кореляційною функцією випадкового процесу Х(t) називається функція:

P_x(t₁, t₂) = K_x(t₁, t₂) / σ_x(t₁)σ_x(t₂) (2)

Приклад № 1

Випадковий процес визначається формулою X(t) = X cosωt, де Х – випадкова величина. Знайти основні характеристики цього процесу, якщо М(Х) = а, D(X) = σ^2.

Рішення:

На підставі властивостей математичного очікування й дисперсії маємо:

a_x(t) = M(X cosωt) = cos?t * M(X) = a cos?t,

D_x(t) = D(X cosωt) = cos²ωt * D(X) = σ² cos² ωt.

Кореляційну функцію знайдемо по формулі (1.)

K_x(t₁, t₂) = M[(X cosωt₁ – a cosωt₁) (X cos ωt₂ – a cosωt₂)] =

= cosωt₁ cosωt₂ * M[(X – a)(X - a)] = cosωt₁ cosωt₂ * D(X) = σ² cosωt₁ cosωt₂.

Нормовану кореляційну функцію знайдемо по формулі (2.):

P_x(t₁, t₂) = σ² cosωt₁ cosωt₂ / (σ cosωt₁)( σ cosωt₂) ≡ 1.

Випадкові процеси можна класифікувати залежно від того, плавно або стрибкоподібно міняються стани системи, у якій вони протікають, або нескінченна множина цих станів і т.п. Серед випадкових процесів особливе місце належить Марковському випадковому процесу.

Теорема. Випадковий процес X(t) є Гильбертівим тоді й тільки тоді, коли існує R(t, t') для всіх (t, t')? T*T.

Теорію Гильбертівих випадкових процесів називають кореляційною.

Помітимо, множина Т може бути дискретним і континуальним. У першому випадку випадковий процес Х_t називають процесом з дискретним часом, у другому – з безперервним часом.

Відповідно сполучення Х_t можуть бути дискретними й безперервними випадковими величинами.

Випадковий процес називається Х(t) вибірково неправильним, і інтегрувальним у крапці ω??, якщо його реалізація x(t) = x(t, ?) відповідно безперервна, диференцуєма й інтегрувальна.

Випадковий процес Х(t) називається безперервним: майже, напевно, якщо

P(A)=1, A = {ω ? Ω : lim x(t_n) = x(t)}

У середньому, якщо

Lim M[(X(t_n) – X(t))²] = 0

По ймовірності, якщо

Aδ ≥ 0 : lim P[| X(t_n) – X(t)| > δ] = 0

Збіжність у середньому позначають також:

X(t) = lim X(t_n)

Виявляється, з вибіркової безперервності треба безперервність майже напевно, з безперервності майже напевно й у середньому треба безперервність по ймовірності.

Теорема. Якщо X(t) – Гильбертів випадковий процес, безперервний у середньому, то m_x(t) – безперервна функція й має місце співвідношення

Lim M [X(t_n)] = M [X(t)] = M [lim X(t_n)].

Теорема. Гильбертів випадковий процес X(t) безперервний у середньому тоді й тільки тоді, коли безперервна його ковариаціона функція R(t, t') у крапці (t, t).

Гильбертів випадковий процес X(t) називається диференцуємим у середньому квадратичному, якщо існує випадкова функція X(t) = dX(t)/dt така, що

X(t) = dX(t)/ dt = lim X(t+?t) - X(t) / ?t

(t ? T, t +?t ? T),

т.е. коли

Lim M [((X(t + ∆t) – X(t) / (∆t)) – X(t))²] = 0

Випадкову функцію X(t) будемо називати похідній у середньому квадратичному випадкового процесу X(t) відповідно в крапці t або на T.

Теорема. Гильбертів випадковий процес X(t) диференціюємо в середньому квадратичному у крапці t тоді й тільки тоді, коли існує δ² R(t, t’) / δt?t' у крапці (t, t'). При цьому:

R_x(t, t’) = M[X(t)X(t’)] = δ² R(t, t’) / δt?t'.

Якщо Гильбертів випадковий процес диференціюємо на Т, то його похідна в середньому квадратичному також є Гильбертівим випадковим процесом; якщо вибіркові траєкторії процесу диференцуєми на Т с імовірністю 1, то з імовірністю 1 їхні похідні збігаються з похідними в середньому квадратичному на Т.

Теорема. Якщо X(t) - Гильбертів випадковий процес, то

M[dX(t) / dt] = (d / dt) M[X(t)] = dm_x(t) / dt.

Нехай (0, t) – кінцевий інтервал, 0 <t₁ < … <t_n = t – його крапки

X(t) - Гильбертів випадковий процес.

Y_n = ∑ X(t_i)(t_i – t_i-1) (n = 1,2, …)...

Тоді випадкова величина

Y(t) = lim Y_n

max (t_i – t_i-1)→0

Називається інтегралом у середньому квадратичному процесу X(t) на (0, t) і позначається:

Y(t) = ? X(?)d?.

Теорема. Інтеграл Y(t) у середньому квадратичному існує тоді й тільки тоді, коли коваріаціона функція R(t, t') Гильбертіва процесу X(t) безперервна на Т?Т і існує інтеграл

R_y (t, t’) = ∫ ? R(?, ?') d?d?’

Якщо інтеграл у середньому квадратичному функції X(t) існує, то

M[Y(t)] = ? M[X(?)]d?,

R_Y(t, t’) = ∫ ? R(?, ?')d?d?’

K_y (t, t’) = ∫ ? K(?, ?')d?d?’

Тут R_y(t, t’) = M[Y(t)Y(t’)], K_y(t, t’) = M[Y(t)Y(t’)] –кореляційна функції випадкового процесу Y(t).

Теорема. Нехай X(t) - Гильбертів випадковий процес із функцією R(t, t'), ?(t) - речовинна функція й існує інтеграл

? ? ?(t)?(t')R(t, t')dtdt'

Тоді існує в середньому квадратичному інтеграл

? ?(t)X(t)dt.

Випадкові процеси:

X_i(t) = V_iφ_i(t) (i = 1n)

Де φ_i(t) – задані речовинні функції

V_i - випадкові величини з характеристиками

M(V_I = 0), D(V_I) = D_I, M(V_iV_j) = 0 (i ≠ j)

Називають елементарними.

Канонічним розкладанням випадкового процесу X(t) називають його подання у вигляді

X(t) = m_x(t) + ∑ V_iφ_i(t) (t ? T)

Де V_i – коефіцієнти, а φ_i(t) – координатні функції канонічного розкладання процесу X(t). З відносин:

M(V_I = 0), D(V_I) = D_I, M(V_iV_j) = 0 (i ≠ j)

X(t) = m_x(t) + ∑ V_iφ_i(t) (t ? T)

Треба:

K(t, t’) = ∑ D_iφ_i(t)φ_i(t’)

Цю формулу називають канонічним розкладанням кореляційної функції випадкового процесу.

У випадку рівняння

X(t) = m_x(t) + ∑ V_iφ_i(t) (t ? T)

Мають місце формули:

X(t) = m_x(t) + ∑ V_iφ(t)

∫ x(τ)dt = ∫ m_x(τ)dτ + ∑ V_i ∫ φ_i(t)dt.

Таким чином, якщо процес X(t) представлений його канонічним розкладанням, те похідна й інтеграл від нього також можуть бути представлені у вигляді канонічних розкладань.