Випадкова величина

ТЕМА ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА

1 Випадкова величина. Функція розподілу випадкової величини

Зіставимо кожну елементарну подію конкретного випробування з деяким числом. Наприклад, розглянемо випробування, що полягає в підкиданні монети. Маємо простір елементарних подій – множину з двох можливих рівно ймовірних наслідків випробування: w₁ – випадання "решки" та w₂ – випадання герба. Введемо до розгляду функцію x= f(w), що визначається за формулами: f(w₁)=0, f(w₂)=1. Це – числова функція (випадкова величина), яка залежить від випадку. Позначимо її через :

Для значень, яких у результаті випробувань може рівно ймовірно набувати функція , застосуємо символи  та . Відповідно з нашою угодою, вони дорівнюють

 і

У загальному випадку задовільної випадкової величини позначатимемо її однією з грецьких літер x,h,..., а значення, яких вона набуває літерами латинської абетки: х, y,..... Відповідність між цими значеннями та ймовірностями, з якими їх набуває така функція , зручно задати у вигляді табл. 1, що називається законом розподілу дискретної випадкової величини:

Таблиця 1

				...
				...

У випадку зазначеної конкретної випадкової величини, пов’язаної з випадінням сторін підкинутої монети, табл. 1 конкретизується у вигляді табл. 2:

Таблиця 2

	0	1
	1/2	1/2

Цю закономірність можна також наочно представити на площині xOy, розмістивши на горизонтальній осі значення  і , а на вертикальній осі, що доцільно було перемістити з її традиційного положення – відповідні їм ймовірності (рис. 1). При цьому графік функції  складається тільки з двох точок (,) і (,). В інших точках горизонтальної осі функція  взагалі принципово не визначена.

Ще більш наочно закон розподілу дискретної випадкової величини зображається специфічною функцією

що називається функцією розподілу випадкової величини .

Рисунок 1

У відповідності з її визначенням, вона дає в точці x ймовірність того, що випадкова величина розташована на осі Ox зліва від цієї точки x. Зокрема, для випадкової величини, заданої законом розподілу в табл. 2, ця функція має складний вигляд із різними представленнями на різних інтервалах

На рис. 2 наведено її графік з двома неусувними розривами 1-го роду.

Рисунок 2

Розглянемо ще один приклад введення випадкової величини. Нехай є мішень – круг радіуса а, влучення до якого гарантовано. Як випадкову величину, що позначимо як , візьмемо відстань від центра мішені до точки влучення. Ймовірність того, що ця випадкова величина набуває різних значень r від нуля до а, обчислюється за формулою геометричної ймовірност:

При цьому функція розподілу

графік якої зображено на рис. 3, має вигляд

Рисунок 3

Модифікуємо попередній приклад: нехай всередині круга радіуса а, влучення до якого гарантовано, проведено два концентричні кола (рис. 4) з радіусами a/3 і 2a/ В залежності від відстані точки влучення від центра мішені стрілець одержує 10, 5 чи 1 бал, відповідно.

Рисунок 4

За випадкову величину, що позначимо як , візьмемо тепер кількість очок, набраних при пострілі по мішені. Її можливі значення: 10, 5, 1. Обчислимо ймовірності випадків прийняття цих значень величиною

,

,

При цьому закон розподілу випадкової величини  має вигляд табл. 3:

Таблиця 3

	1	5	10
	5/9	1/3	1/9

За цим законом розподілу випадкової величини  знаходимо функцію її розподілу та будуємо її графік (рис. 5).

Рисунок 5

Властивості функції розподілу:

1. F(x) – неубутна функція. Дійсно, якщо x₁<x₂ (рис. 6).

Рисунок 6

F(x₂)=P(x<x₂)=P(x<x₁)+P(x₁<x<x₂)>P(x<x₁)=F(x₁); F(x₁)<F(x₂);