Т е о р е м а (С.Н. Черников [34, 35]). Группа, факторизуемая двумя нильпотентными подгруппами, конечными над своими центрами, разрешима

1.2.39 Т е о р е м а (С.Н. Черников [34, 35]). Группа, факторизуемая двумя нильпотентными подгруппами, конечными над своими центрами, разрешима.

Строение групп, представимых в произведение ди--разложимых групп Строение примитивных ди--разложимых групп

2.1.1 Л е м м а. Пусть группа  есть произведение своих подгрупп  и ,  – некоторое множество простых чисел. Тогда справедливы следующие утверждения.

1) пусть  является -группой, а  и  – -группами. Тогда найдутся холловы -подгруппы  и  подгрупп  и  соответственно такие, что  есть холлова -подгруппа ;

2) если подгруппы  и  -замкнуты, то .

2.1.2 Т е о р е м а (Васильев А.Ф. [5]). Пусть  – ненильпотентная разрешимая группа, где  и  – -разложимые подгруппы группы . Если  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу , где  и , то справедливы следующие утверждения:

1) ;

2) ;

3) если , то  является -группой, а  – -группой.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим справедливость утверждения 1). Так как  ненильпотентна,  и  – минимальная нормальная подгруппа в , то в  найдется максимальная подгруппа  такая, что . Из единственности  и  следует, что , т.е. . Кроме того, .

Ввиду 1) леммы 2.1.1 в  и  существуют холловы -подгруппы  и  соответственно и силовские -подгруппы  и  соответственно такие, что  есть холлова -подгруппа, а  есть силовская -подгруппа группы .

По условию  и . Поэтому

Откуда , так как . Но . Значит, .

Рассмотрим пересечение . Так как ,  – -группа и все дополнения к  в  сопряжены, то можно считать, что . Возьмем подгруппу Фиттинга  подгруппы . Поэтому,

. Следовательно,  – -группа. Так как , то . Поэтому . Отсюда и из  следует, что . Заметим, что  является силовской -подгруппой в . Поэтому . Ввиду минимальности  либо , либо . Случай  невозможен, так как . Поэтому , т.е. . Теперь из ,  и  получаем, что  – -группа. Из -разложимости  и  следует, что . Но тогда . Это означает, что .

Теперь из  и , ввиду  и  получаем, что . Утверждение 1) доказано.

Докажем 2). Исследуем пересечения  и . Заметим, что

и

где  и . Покажем, что . Допустим противное. Если  делит , то в  найдется -подгруппа . Так как , то

есть -разложимая группа. Аналогично,  – -разложимая группа. Отсюда и из того, что  и  есть холловы -подгруппы в  и  получаем, что . По доказанному выше подгруппа Фиттинга  из  и  являются -группами. Следовательно, . Противоречие. Тогда  есть -группа. Это невозможно, так как . Итак, .

Покажем, что . Так как , то . С другой стороны

Значит, , т.е. .

Итак, . Обозначим  и . Так как , то . Из -разложимости  и  следует, что  и . Тогда . Ввиду того, что , имеем

Значит,  и .

Покажем, что  и  являются нормальными подгруппами группы . Так как  и  – -разложимы и , то по 2) леммы 2.1.1 получаем . Так как  – -группа и , то . Значит, , т.е. . А значит, . Из  следует, что . Отсюда и из  получам, что . Аналогично . Отсюда подгруппа  нормализует , а  нормализует . Следовательно, холлова -подгруппа  группы  нормализует подгруппы  и . Так как , то  нормализует . Далее, если , то . Таким образом, и  нормализует . Следовательно, силовская -подгруппа  группы  нормализует . Тогда  нормальна в . Аналогично доказывается, что .

Из минимальности  следует, что либо , либо . Рассматривая отдельно случаи ,  и , , нетрудно видеть, что . Утверждение 2) доказано.

Установим справедливость 3). Пусть . Из -разложимости  и  следует, что . Тогда  является холловой -подгруппой группы . Из  и -разложимости  следует, что . По доказанному выше (см. доказательство утверждения 1))  – -группа. Следовательно, . Итак,  является силовской -подгруппой, а  – холловой -подгруппой группы . Лемма доказана.

Некоторые признаки приналежности насыщенной формации ди--разложимых групп

2.2.1 О п р е д е л е н и е. Пусть  – непустая формация. Подгруппа  группы  называется:

1) -субнормальной в , если либо , либо существует максимальная цепь подгрупп  такая, что  для всех  (обозначается );

2) -достижимой в , если существует цепь подгрупп  такая, что либо подгруппа  субнормальна в , либо  для любого  (oбозначается ).

Нам потребуются известные свойства -достижимых и -субнормальных подгрупп, которые собраны в следующих леммах.

2.2.2 Л е м м а. Пусть  – непустая наследственная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если  – подгруппа группы  и , то ;

2) если  ,  – подгруппа из , то  (сответственно

3) если  и  -субнормальны (-достижимы) в , то  -субнормальна (соответственно -достижима) в ;

4) если все композиционные факторы группы  принадлежат формации , то каждая субнормальная подгруппа группы  является -субнормальной;

5) если  , то  (соответственно ) для любого .

2.2.3 Л е м м а. Пусть  – непустая формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если   и , то  (соответственно

2) если   и , то  (соответственно

3) если   и  , то  (соответственно ).

2.2.4 Т е о р е м а (Васильев А.Ф. [5]). Пусть  – насыщенная наследственная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

1) если , где  и  – -достижимые нильпотентные подгруппы группы  и , то группа ;

2) если , где  и  – -субнормальные нильпотентные подгруппы группы  и , то группа ;

3) любая бипримарная минимальная не -группа является дисперсивной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Нетрудно видеть, что всякая -субнормальная подгруппа в  является -достижимой. Поэтому из 1) следует 2).

Докажем, что из 2) следует 3). Пусть  – бипримарная минимальная не -группа. Предлоложим, что  недисперсивна. Так как  разрешима и ненильпотентна, то . Так как  – собственная подгруппа из , то найдется  и силовская -подгруппа  из  такая, что . Но тогда , где  и  – некоторая максимальная подгруппа из . Из  следует, что , а значит, . Следовательно, . Отсюда и из 1) леммы 2.2.2 следует, что любая силовская -подгруппа из  является -субнормальной в . Если  – какая-либо силовская -подгруппа группы , , то из недисперсивности  следует, что . Из  и наследственности формации  вытекает, что . Ввиду 2) леммы 2.2.3 получаем, что . Так как  и , то . Отсюда и из наследственности формации  следует, что . Из 3) леммы 2.2.3 вытекает, что . Таким образом,  факторизуется своими -субнормальными силовскими подгруппами. Очевидно, . Поэтому по 2) теоремы 2.2.4 . Противоречие с . Следовательно,  дисперсивна.

Докажем, что из 3) следует 1). Пусть группа  – наименьший по порядку контрпример к утверждению 1) теоремы. Тогда , где  и ,  – -достижимые -подгруппы в , но сама группа  не принадлежит формации . По теореме Виландта-Кегеля  разрешима. Если  нильпотентна, то из насыщенности  и  следует, что . Противоречие с выбором группы . Следовательно,  ненильпотентна. Пусть  – минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда ввиду 1) леммы 2.2.3 все условия утверждения 1) теоремы 2.2.4 сохраняются для факторгруппы . Поэтому в силу выбора  получаем, что . Так как  – формация, то  – единственная минимальная нормальная подгруппа группы . Из насыщенности  следует, что . Тогда , где  – -группа ( – некоторое простое число) и  для некоторой максимальной подгруппы  группы .

По 3) теореме 2.1.2, не теряя общности рассуждений, можно считать, что  – силовская -подгруппа, а  – холлова -подгруппа группы . Ясно, что . Пусть  – произвольная собственная подгруппа группы . По теореме Холла , где  – силовская -подгруппа, а  – холлова -подгруппа группы . Заметим, что , а  для некоторых элементов . Следовательно,  динильпотентна с нильпотентными факторами  и . Далее из  и  следует по 3) леммы 2.2.3, что  и . Из  и насыщенности  вытекает, что  и . Тогда по 2) леммы 2.2.2  и . Следовательно, ввиду выбора  получаем, что . Итак,  – минимальная не -группа. Покажем, что  бипримарна. Так как все дополнения к  в  сопряжены, то можно считать, что . Тогда из  и  следует, что . Значит,

. Следовательно,  является -группой. Покажем, что  – -группа, где  – некоторое простое число, отличное от . Предположим, что  и . Тогда найдутся подгруппы  и  в  такие, что  и , где  – силовская -подгруппа, а  – холлова -подгруппа из . Рассмотрим подгруппы , . Так как , то , . Так как по условию формация  насыщена, то она является локальной. Пусть  – максимальный внутренний локальный экран формации , который существует и единственен. Ввиду  и  получаем . Следовательно,  – -группа, . Из  и  получаем, что , . Значит,  – наследственная формация. Поэтому , . Заметим, что . Аналогично, . Но тогда . Из  и  следует, что . Получили противоречие с выбором .

Итак,  – примарная группа, а значит,  бипримарна. По 3) теоремы 2.2.4  дисперсивна. Следовательно,  – максимальная подгруппа группы . Так как , то . Это означает, что  – -абнормальная максимальная подгруппа группы . Ясно, что подгруппа  ненормальна в . Получили противоречие с . Итак, наше допущение неверно. Теорема доказана.

Пусть  – формация всех сверхразрешимых групп. Подгруппа  разрешимой группы  является -субнормальной в  тогда и только тогда, когда либо , либо существует максимальная цепь подгрупп  такая, что  – простое число для любого .

2.2.5 Т е о р е м а (Васильев А.Ф. [5]). Группа сверхразрешима тогда и только тогда, когда её можно представить в виде произведения двух своих нильпотентных -субнормальных подгрупп.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  сверхразрешима. Тогда коммутант  нильпотентен. Возьмем добавление  к  в . Следовательно,

Отсюда и из

получаем, что . Итак, , где  и  – нильпотентные -субнормальные подгруппы группы .

Обратное утверждение следует из теоремы 2.2.4 ввиду того, что любая минимальная несверхразрешимая бипримарная подгруппа является дисперсивной.

2.2.6 Т е о р е м а. Пусть  – наслественная насыщенная формация, причем  и  – ди--разожимая группа. Тога справиливы следующие утверждения:

1) если   и  то

2) если   и  то

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Докажем утверждение 1). Пусть группа  – наименьший по порядку контрпример к утверждению 1) теоремы. Тогда  – ди--нильпотентная группа, где  и  нормальна в ,  – -достижимая подгруппа в , но сама группа  не принадлежит формации . Если  нильпотентна, то из насыщенности  и  следует, что . Противоречие с выбором группы .

Пусть  ненильпотентна и  – минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда ввиду 1) леммы 2.2.3 все условия утверждения 1) теоремы 2.2.4 сохраняются для факторгруппы . Поэтому в силу выбора  получаем, что . Тогда , где  – -группа ( – некоторое простое число) и  для некоторой максимальной подгруппы  группы .

Если  то из  и  следует, что  Противоречие с выбором  Будем считать, что  По 3) теоремы 2.1.2 можно считать, что  – силовская -подгруппа, а  – холлова -подгруппа группы  либо  – холлова -подгруппа, а  – силовская -погруппа.

Рассмотрим вначале первый случай. Тогда  и  Так как все дополнения к  в  сопряжены, то можно считать, что  Тогда из  и  следует, что . Из  и  следует, что . Следовательно, . Так как , то  – -абнормальная подгруппа в  Ясно, что  ненормальна в  Получили противоречие с -достижимостью подгруппы

Рассмотрим второй случай. Пусть  – силовская -группа, а  – холлова -группа. В этом случае  и  причем  Получили противоречие. Следовательно,  и  – нильпотентная -группа. Снова получили противоречие. Так как любая -субнормальная подгруппа является -достижимой, то утверждение 2) следует из утверждения 1). Теорема доказана.

Факторизуемые подгруппы ди--разложимых групп -классы Шунка и их проекторы

Для доказательства основных результатов нам потребуются некоторые факты, получены в работе Васильевой Т.И. [34].

В каждой разрешимой группе -полупроекторы сопряжены и совпадают с -проекторами. Однако, в -разрешимых группах указанное утверждение не всегда имеет место. Введение -класса Шунка  (т.е. класса Шунка, для которого из условия , всегда следует ) дало возможность доказать сопряженность -полупроекторов в -разрешимых группах.

3.1.1 Л е м м а. Пусть –-класс Шунка;  – нормальная -подгруппа группы ;  – -полупроектор  Тогда  является -полупроектором группы .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ввиду того, что  и  имеем  Тогда по определению -класса Шунка

Предположим, что  и , где  – произвольная нормальная в  подгруппа. Тогда

Из определения -полупроектора получаем

Лемма доказана.

3.1.2 Л е м м а. Пусть –-класс Шунка;  – нильпотентная нормальная подгруппа -разрешимой группы  и  Тогда:

1) существует такая максимальная -подгруппа  группы  что

2) любые две такие максимальные -подгруппы  и  группы  что  сопряжены с помощью элемента из

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ввиду насыщенности  можно считать, что  не содержится в . Поэтому,  где  есть добавление к  в . Следовательно, имеем . Тогда

так как , поэтому . Выбрав в  максимальную -подгруппу , содержащую , получаем 1).

Докажем 2) индукцией по . Предположим, что – группа наименьшего порядка, в в которой существуют такие максимальные -подгруппы  и , что , но  и  не сопряжены с помощью элемента из . Тогда  не принадлежит  и найдется примитивная фактор-группа , не принадлежащая , при этом  не содержится в  и .

Из примитивности  следует существование максимальной подгруппы  с ядром 1. Поскольку

 максимальна в  и , имеем . Поэтому

и

Отсюда и из максимальности  в  получаем, что  – минимальная нормальная подгруппа группы .

Если  – -группа, то лемма 3.1.1 дает противоречие . Значит,  – абелева -группа, . Тогда и  и  – максимальные подгруппы в  с единичными ядрами, . Тогда имеем

где . Так как , то найдутся такие , что .

Тогда  Откуда .

Рассмотрим . Подгруппа нильпотентна и нормальна в  и  – максимальные -подгруппы в  и . По индукции найдется такой элемент , что . Лемма доказана.

3.1.3 Л е м м а. Пусть  – -класс Шунка; – -разрешимая группа; – нильпотентная нормальная подгруппа в ;  – -полупроектор  и –такая максимальная -подгруппа группы , что . Тогда – -полупроектор группы .

3.1.4 Л е м м а. Пусть  – -класс Шунка;  – -разрешимая группа;  – такой нормальный ряд группы , что  –  – группа или нильпотентная группа, . Подгруппа  группы  является -полупроектором тогда и только тогда, когда  – максимальная -подгруппа группы .

3.1.5 Т е о р е м а. Пусть  – -класс Шунка;  – -полупроектор -разрешимой группы . Тогда  будет -полупроектором и в любой содержащей его подгруппе .

3.1.6 С л е д с т в и е. Для -класса Шунка  в любой -разрешимой группе понятия -полупроектора и -проектора совпадают.

Следующие две теоремы несут информацию о сопряженности и строении -проекторов.

3.1.7 Т е о р е м а. Пусть  – -класс Шунка;  – -разрешимая группа;  и  – -проекторы группы ;  – -группа или нильпотентная группа. Тогда  и  сопряжены с помощью элемента из

3.1.8 Т е о р е м а. Для -класса Шунка  в каждой -разрешимой группе любой -проектор содержит некоторую -холловскую подгруппу группы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  – -разрешимая группа наименьшего порядка, для которой теорема неверна. Тогда в ней существует -проектор , который не содержит ни одной -холловской подгруппы группы . Выберем в  минимальную нормальную подгруппу . По индукции -проектор  содержит некоторую -холловскую подгруппу  группы . Тогда -холловская подгруппа  группы  содержится в . Если  – -группа, то  и, используя лемму 1, получаем . Противоречие. Поэтому  – абелева -группа для некоторого . Тогда  для , что противоречит выбору  Теорема доказана.

Следующая теорема указывает на существование и сопряженность подгрупп, являющихся обобщением подгрупп Картера в -разрешимой группе.

3.1.9 Т е о р е м а. Любая -разрешимая группа  обладает по крайней мере одной -картеровой подгруппой и любые две из них сопряжены в

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  – класс -нильпотентных групп. Так как  является насыщенной формацией и из условия  всегда следует, что , то  есть -класс Шунка.

Пусть  – -проектор группы . Тогда  -нильпотентна и по теореме 3 содержит некоторую -холловскую подгруппу группы . Для  можно выбрать такую подгруппу , содержащую , что  – нильпотентная группа. Тогда . Так как  является -проектором , то . Но тогда . Противоречие. Следовательно, . Первая часть теоремы доказана.

Пусть теперь  – -картерова подгруппа группы . Покажем, что  есть -проектор . Пусть .

Предположим, что . Тогда в  существует такая максимальная подгруппа , что . Так как некоторая -холловская подгруппа  группы  содержится в  и  -нильпотентна, то  является нильпотентной группой. Поэтому максимальная подгруппа

Следовательно, . Для любого  подгруппа  является -картеровой подгруппой группы , а значит, и  По индукции для  теорема верна, поэтому  и  сопряжены в . Тогда по обобщенной лемме Фраттини , что противоречит тому, что  и . Значит,  т.е.  есть -проектор . Так как любые два -проектора сопряжены в  то этим доказательство теоремы завершено.

Следующая теорема указывает на существование и сопряженность подгрупп, являющихся обобщением подгрупп Гашюца в -разрешимой группе.

3.1.10 Т е о р е м а. Любая -разрешимая группа  обладает -гашюцевой подгруппой и любые две из них сопряжены в .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  – класс -сверхразрешимых групп. Так как  является насыщенной формацией, то  – класс Шунка. Если , то и , так как  Поэтому есть -класс Шунка. м

Пусть  – -просктор группы . Тогда  -свсрхразрешима и по теореме 3 содержит некоторую -холловскую подгруппу группы . Предположим, что  и  – простое число. Возьмем в  минимальную нормальную подгруппу  Тогда

и  – самоцентрализуемая подгруппа в . Поэтому

изоморфна подгруппе циклической группы . Таким обрaзом,  сверхразрешима, т.е. принадлежит . Так как  – -проектор , то получаем . Противоречие. Следовательно, если , то  есть составное число. Первая часть теоремы доказана.

Пусть  – -гашюцева подгруппа группы . Пусть  и . Предположим, что . Тогда  содержится в некоторой максимальной подгруппе  группы . Так как  является максимальной подгруппой -сверхразрешимой группы  и  содержит -холловскую подгруппу группы , то  для некоторого , что дает противоречие . Значит  т.е.  есть -проектор группы . Так как любые два -проектора сопряжены в , то этим доказательство теоремы завершено.

Проекторы произведений ди--разложимых групп

3.2.1 Т е о р е м а. Пусть  – -класс Шунка,   – произведение -разложимых подгрупп  и  группы  причем

 Тогда в  имеется факторизуемый относительно  -проектор.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что теорема не верна. Пусть  – ди--разложимая группа такая, что любой -проектор группы  не факторизуется относительно

Пусть  – минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда для фактор-группы  утверждение теоремы выполняется. Следовательно, существует  – -проектор группы  который факторизуется относительно  то есть

и

Отсюда следует, что  и  Тогда  Откуда  т.е.  факторизуется относительно

Пусть  – некоторый -проектор группы . Тогда  является -проектором группы  и  Рассмотрим два случая.

1)  Тогда  – ди--разложимая группа и для  все условия теоремы выполняются. Поэтому найдется такой , что  – факторизуемый -проектор группы , т.е.  и  Следовательно,  – факторизуемый -проектор относительно

2) Пусть  для любой минимальной нормальной подгруппы  и любого -проектора  группы . Так как , то .

Если  – не примитивная группа, то ее любая примитивная факторгруппа принадлежит . Так как  – класс Шунка, то  и  является своим -проектором. Получили противоречие с выбором .

Пусть  – примитивная группа. Тогда по теореме Бэра  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу  такую, что  – -группа,  – некоторое простое число.  и , где  – некоторая максимальная подгруппа группы . Ясно, что  и  является -проектором группы .

Пусть . Тогда из того, что  – -класс Шунка, следует . Противоречие с выбором .

Остается принять, что  Следовательно,  является силовской -подгруппой, а  – -холловской подгруппой.

Следовательно,  поэтому найдется  такой что  факторизуется относительно

Теорема доказана.

Так как всякая насыщенная формация является классом Шунка, то справедливо следующее:

3.2.2 С л е д с т в и е. Пусть  – насыщенная формация, причем  Если  – ди--разложимая группа, причем  то в  имеется хотя бы один факторизуемый относительно  -проектор.

3.2.3 О п р е д е л е н и е. Подгруппу  группы  назовем -картеровой подгруппой, если  -нильпотентна,  и  содержит некоторую -холловскую подгруппу группы .

3.2.4 С л е д с т в и е. Пусть  – ди--разложимая группа. Тогда в  имеется хотя бы одна факторизуемая относительно  -картерова подгруппа.

3.2.5 О п р е д е л е н и е. Подгруппу  группы  назовем -гашюцевой подгруппой, если  -сверхразрешима, содержит некоторую -холловскую подгруппу группы  и для  есть составное число.

3.2.6 С л е д с т в и е. Пусть  – ди--разложимая группа. Тогда в  имеется хотя бы одна факторизуемая относительно  -гашюцева подгруппа.

Заключение

Трудно представить себе в настоящее время теорию групп без вопросов, относящихся к группам, разложимым в произведение своих подгрупп.

Вот уже на протяжении свыше 70-ти лет исследования в абстрактной теории бесконечных групп продолжают интенсивно развиваться, причем темп и глубина исследований возрастают по мере удаления от момента получения основопологающих результатов. Самое удивительное в развитии этой теории то, что ни одно из основных ее направлений, возникших в 30–40-х годах XX в., не утратило значения до настоящего времени. Более того, на их основе возникают новые перспективные ответвления в теории групп, со временем превращающиеся в самостоятельные направления.

Получено немало важных результатов. Они отражены в ряде обзоров (см., например, Чунихин [6, 7], Азлецкий [8, 9], Кострикин [10], Чунихин, Шеметков [11], Мазуров [12], Казарин [13]).

В настоящей работе были исследованы свойства конечных разрешимых групп, представимых в произведение своих двух -разложимых подгрупп.

В классе всех конечных разрешимых групп, когда  где  – класс Шунка, и если  – ди--разложимая группа, причем , то был получен следующий результат: в  имеется хотя бы один факторизуемый относительно  -проектор.

Результаты настоящего диплома являются новыми и могут быть использованы в учебном процессе при чтении спецкурсов на математических специальностях в высших учебных заведениях.

Литература

[1] Frobenius G., Stickelberger L. Uber Gruppen von vertauschbaren Elementen // J. Reine Angew. Math. – 1879. – 86, N4, S.217–262.

[2] Huppert B. Uber das Produkt von paarweise vertauschbaren zyklischen Gruppen. // Math. Z. – 1953. – 58, N3. – S. 243–264.

[3] Amberg B., Hofling B. // Arch. Math. – 1994. – V.63. – P. 1–8.

[4] Wielandt H. Uber Produkte von nilpotenten Gruppen. // III.J. Math. – 1958. – 2, N4B. – S.611–618.

[5] Васильев А.Ф. Новые свойсва конечных динильпотентных групп // Вести НАН Беларуси. – 2004. – N 2. – C.29–33.

[6] Чунихин С.А. О некоторых направлениях в развитии теории конечных групп за последние годы. // Успехи мат. наук. – 1961. – 16, N4. – С. 31–50.

[7] Чунихин С.А. Подгруппы конечных групп. – Мн: Наука и техника, 1964. – 158с.

[8] Азлецкий С.П. О факторизации конечных групп. // Мат.зап. Урал.ун-та. – 1962. – 3, N3. – С. 3–17.

[9] Азлецкий С.П. О факторизации конечных групп. // Мат.зап. Урал.ун-та. – 1966. – 5, N3. – С. 3–14.

[10] Кострикрн А.И. Конечные группы. В кн.: Алгебра – 1964 (Итоги науки). – М: ВИНИТИ АН СССР. – 1966. – С.7–46.

[11] Чунихин С.А., Шеметков Л.А. Конечные группы. В кн.: Алгебра, Топология. Геометрия 1969 (Итоги науки). – М: ВИНИТИ АН СССР. – 1964. – 154, N3. – С.7–70.

[12] Мазуров В.Д. Конечные группы. В кн.: Алгебра. Топология. Геометрия 1976 (Итоги науки и техники). – М: ВИНИТИ АН СССР. – 1977. – С.5–56.

[13] Казарин Л.С. Группы с факторизацией. – Ярославль, 1981.–79с.–Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 3900–81 Деп.

[14] Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов. – Гомель, 2003.

[15] Шеметков Л.А. Формации конечных групп. – М: Наука, 1978. – С.165–204.

[16] Ballester-Bolinches A., Perez-Ramos M.D. // J. Algebra. – 1996. – V. 179. – P. 905–917.

[17] Черников С.Н. О дополняемости силовских П-подгрупп в некоторых классах конечных групп // Мат.сб. – 1955. – 37, N3. – С.557–566.

[18] Сесесекин Н.Ф. О произведении финитно связанных абелевых групп // Сиб.мат. журн. – 1968. – 9, N6. – С.1427–1430.

[19] Kegel O.H. On the solvability of some factorized linear groups // III.J. Math. – 1965. – 9, N3. – P. 535–547.

[20] Amberg B. Artinian and Noetherian factorized groups // Rend. Semin Math. Univ. Padova/ – 1976 – 55/ – P. 105–122.

[21] Amberg B. Soluble products of two locally finite groups with min- for every prime  // Rend. Semin. Mat. Univ. Padova. – 1983. – 69. – P.7–17.

[22] Чунихин С.А. О существовании подгрупп у конечной группы. В кн.: Труды семинара по теории групп. – М.; Л.:ГОНТИ. – 1938. – С. 106–125.

[23] Wielandt H. Uber das Produkt von paarweise vertauschbaren nilpotenten Gruppen // Math.Z. – 1951. – 55, N1. – S.1–7.

[24] Huppert B. Endliche Gruppen.I. – Berlin etc.: Springer, 1967. – 795s.

[25] Черников Н.С. О факторизациях локально конечных групп // Сиб. мат. журн. – 1980. – 21, N6. – С.186–195.

[26] Зайцев Д.И. Факторизации полициклических групп // Мат. заметки. – 1981. – 29, N4. – С.481–490.

[27] Черников Н.С. Произведения групп конечного свободного ранга. В кн.:Группы и системы их подгрупп. Киев: Ин-т математики АН УССР. – 1983. – С.42–56.

[28] Hall Ph. On the Sylow system of a soluble groups // Proc. London. Math. Soc. – 1937. – 43, N5. – Р.316–323.

[29] Чунихин С.А. О разешимых группах // Изв. НИИ математики и механики Том. ун-та. – 1938. – 2. – С.220–223.

[30] Hall Ph. A characteristic property of soluble groups // Ibid. – 1937. – 12, N 47. – Р.198–220.

[31] Kegel O.H. On the solvability of some factorized linear groups // III. J. Math. – 1965. – 9, N3. – Р.535–547.

[32] Черников Н.С. Группы, разложимые в произведение перестановочных подгрупп. – Киев: Навукова думка, 1987. – С.17–59.

[33] Gardiner A.D., Hartley B., Tomkinson M.J. Saturated formations and Sylow structure in locally finite groups // J. Algebra. – 1971. – 17, N2. – Р.177–211.

[34] Васильева Т.И. (Островская Т.И.) – В кн.: Вопросы алгебры. Мн: изд-во «Университетское». – 1985. – 1. – С.57–62. Докл. АН СССР. – 1980. – 255, N3. – С.537–539.

[35] Черников Н.С. О произведении почти абелевых групп // Укр. мат. журн. – 1981. – 33, N1. – С.136–138.