Системы линейных и дифференциальных уравнений

к/р № 1

1.  Решить матричные уравнения и сделать проверку.

 

Решение:

 

Найдём обратную матрицу .

Обратной для матрицы А есть матрица , где  - определитель матрицы А, а элементы матрицы A^* являются алгебраическими дополнениями соответствующих элементов матрицы А.

Тогда:

.

Найдем элементы матрицы А^*:

Тогда:

 и для Х получим следующее выражение:

Выполним проверку:

 - верное равенство.

Ответ: .

2. Даны координаты точек А, В, С. Найти уравнения сторон треугольника АВС. Найти уравнение одной из медиан треугольника АВС. Найти уравнение одной из высот треугольника АВС. Найти уравнение одной из биссектрис треугольника АВС. Найти площадь треугольника АВС.

Вариант	А	В	С
19	(-3;1)	(-1;-3)	(1;3)

 

Решение:

Уравнение прямой, проходящей через две точки можно записать как .

Тогда:

- уравнение стороны АВ:

- уравнение стороны АС:

- уравнение стороны ВС:

Найдем уравнение медианы ВМ, проведенной к стороне АС. Точка М – середина отрезка АС, следовательно координаты  или

- уравнение медианы ВМ:

Найдём уравнение высоты АH, проведенной к стороне ВС. Уравнение стороны ВС  с коэффициентом пропорциональности . Коэффициент пропорциональности перпендикулярной прямой будет  и тогда уравнение высоты принимает вид , где К – некая константа, значение которой найдем исходя из условия принадлежности точки А(-3; 1) уравнению высоты AH:

- уравнение высоты АН:

Будем искать уравнение биссектрисы угла С.

Прямые АС:  и ВС:  наклонены под острым углом к оси абсцисс (коэффициенты пропорциональности положительны), тогда угол между прямыми АС и ВС будет равен , где  угол между прямыми ВС и АС и осью ОХ соответственно.

По формуле тангенса разности получаем, что

Половина угла С будет

Тангенс угла наклона биссектрисы к оси ОХ тогда составит:

Уравнение биссектрисы примет вид: , где К некая константа, значение которой определим из условия принадлежности точки С(1; 3) биссектрисе, т.е.

Уравнение биссектрисы CL принимает вид

Для нахождения площади треугольника АВС воспользуемся формулой:

.

Тогда:

 кв.ед.

Выполним чертеж:

Ответ: АВ: АС: ВС:  - стороны треугольника

ВМ:  - медиана треугольника; АН:  - высота треугольника;

СL: - биссектриса треугольника; S = 10 кв.ед.

3. Даны координаты точек А₁ ,A₂ ,А₃ ,A₄

Найти длину ребра А₁А_2. Составить уравнение ребра А₁А₄ и грани А₁А₂А_3. Составить уравнение высоты опущенной из точки А₄ на плоскость А₁А₂А_3. Найти площадь треугольника А₁A₂A₃ . Найти объем треугольной пирамиды А₁A₂А₃A₄

N	Координаты точек
Вар	A1	A2	A3	A4
2.19	(8;6;4)	(10;5;5)	(5;6;8)	(8;10;7)

 

Решение:

Воспользуемся формулой для вычисления расстояние между двумя точками:

Наши точки А₁(8; 6; 4) и A₂(10; 5; 5):

 ед.

Длина ребра А₁А₂ равна  ед.

Составим уравнение прямой проходящей через точки А₁(8; 6; 4) и A₄(8; 10; 7).

Для этого воспользуемся уравнением:

, т.е. А₁А₄: .

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки А₁(8; 6; 4), A₂(10; 5; 5), А₃(5; 6; 8).

Воспользуемся формулой:

Подставим данные:

 или

Т.е. уравнение грани А₁А₂А₃: или

Искомая высота проходит через точку A₄(8; 10; 7) и перпендикулярна плоскости , имеющей вектор нормали .

Направляющий вектор высоты совпадает с вектором нормали плоскости, к которой проведена высота, следовательно, т.к. каноническое уравнение прямой , то  уравнение искомой высоты.

Площадь треугольника А₁А₂А₃ можно найти по формуле: , где  - векторное произведение двух векторов

 и .

кв.ед.

Объем пирамиды можно найти по формуле: , где  - смешанное произведение трех векторов ,  и

Тогда  куб.ед.

Ответ:

ед.; А₁А₄: ; А₁А₂А₃:

h: ; кв.ед.; куб.ед.