Найти

4.  Найти

 градиент функции Z в точке М.

уравнение матрица функция вектор дифференциальный

 

Решение:

Градиентом функции z в точке М является вектор grad (z) =

Т.е. grad(z) = .

Ответ: grad (z) = .

5.  Вычислить неопределенные интегралы.

а)  б)  с) .

 

Решение:

а)

Рассмотрим интеграл :

Тогда

б) Воспользуемся формулой интегрирования по частям:  

с) Разложим подинтегральное выражение на простые дроби:

, т.е.

Тогда:

 

Ответ: решения выше.

6.  Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций вокруг оси OY

 

Решение:

Построим в координатной плоскости заданную фигуру.

Объем тела, полученного вращением плоской фигуры около оси ОХ найдем по формуле:

В нашем случае получаем:

 куб.ед.

 

Ответ:  куб.ед.

7. 

А) Найти общее решение дифференциального уравнения.

Б) Найти решение задачи Коши

В) Найти общее решение дифференциального уравнения.

а) ; б) ; ; в) .

Решение:

а)  - уравнение с разделяющимися переменными.

Возьмем интегралы:

Таким образом

 - общее решение уравнения, где С – произвольная константа.

б)  - уравнение Бернулли.

Решим его, выполнив замену . Тогда  и исходное уравнение примет вид:  - линейное неоднородное уравнение первого порядка. Будем искать его решение в виде , тогда  и

Функцию u будем искать такую, что , т.е.

Тогда:

В итоге  и подставляя  получаем  - общее решение уравнения.

Найдём решение задачи Коши для :

Искомое решение .

в)  - неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Его решение представляет собой сумму , где  - общее решение однородного уравнения,  - частное решение неоднородного уравнения, зависящее от  и вида правой части неоднородного уравнения.

Решением уравнения вида  будет , где  - корни характеристического уравнения .

Запишем характеристическое уравнение для :

 и найдем его корни:

Тогда решение уравнения имеет вид: , где С₁ и С₂ – произвольные константы.

 будем искать в виде

Тогда:

 и подставляя в уравнение  получаем:

откуда, приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х, получаем:

,

т.е.

Общее решение неоднородного уравнения есть

Ответ: а) ;

б) ;

с) .

8.

а) Исследовать сходимость ряда.

б) Определить область сходимости ряда.

а) б) .

 

Решение:

а)  - рассмотрим ряд из абсолютных величин .

Поскольку , то .

Ряд  сходится как обобщенный гармонический ряд степени р = 2 >1, следовательно и меньший ряд  также сходится.

Исходный ряд  сходится абсолютно.

б) Для степенного ряда вида интервалом сходимости будет интервал (x₀ – R; x₀ + R), где  - радиус сходимости степенного ряда.

Для нашего ряда  получим: x₀ = 2 и общий член .

Тогда:

Получили интервал сходимости (2 – 2; 2 + 2) или (0; 4).

Рассмотрим концы интервала.

х = 4:  - расходящийся гармонический ряд.

х = 0:  - условно сходящийся ряд Лейбница.

Ответ: а) сходится абсолютно; б) [0; 4).