Навигация
1.2 Постулати Евкліда
Евклід - автор першого логічної побудови, що дійшло до нас строгого, геометрії. У ньому виклад настільки бездоганно для свого часу, що протягом двох тисяч років з моменту появи його праці «Начало» воно було єдиним керівництвом для вивчаючу геометрію.
«Начало» складаються з 13 книг, присвячених геометрії й арифметиці в геометричному викладі.
Кожна книга «Начало» починається визначенням понять, які зустрічаються вперше. Так, наприклад, першій книзі подані 23 визначення. Зокрема,
Визначення 1. Крапка є те, що не має частин.
Визначення 2. Лінія є довжини без ширини
Визначення 3. Границі лінії суть крапки.
Слідом за визначеннями Евклід приводить постулати й аксіоми, тобто твердження, прийняті без доказу.
Постулати
I. Потрібно, щоб від кожної крапки до всякої іншої крапки можна було провести пряму лінію.
II . І щоб кожну пряму можна було невиразно продовжити.
III. І щоб з будь-якого центра можна було описати окружність будь-яким радіусом.
IV. І щоб всі прямі кути були рівні.
V. І щоб щораз, коли пряма при перетинанні із двома іншими прямими утворить із ними однобічні внутрішні кути, сума яких менше двох прямих, ці прямі перетиналися з тієї сторони, з якої ця сума менше двох прямих.
Аксіоми
I. Рівні порізно третьому рівні між собою.
II. І якщо до них додамо рівні, то одержимо рівні.
III. І якщо від рівних віднімемо рівні, то одержимо рівні.
IV. І якщо до нерівного додамо рівні, то одержимо нерівні.
V. І якщо подвоїмо рівні, то одержимо рівні.
VI. І половини рівних рівні між собою.
VII. І сумісні рівні.
VIII. І ціле більше частини.
IX. І дві прямі не можуть містити простори.
Іноді IV і V постулати відносять до числа аксіом. Тому п'ятий постулат іноді називають XI аксіомою. По якому принципі одні твердження ставляться до постулатів, а інші до аксіом, невідомо.
Ніхто не сумнівався в істинності постулатів Евкліда, що стосується й V постулату. Тим часом уже зі стародавності саме постулат про паралельні залучив до себе особлива увага ряду геометрів, що вважали неприродним приміщення його серед постулатів. Імовірно, це було пов'язане з відносно меншою очевидністю й наочністю V постулату: у неявному виді він припускає досяжність будь-яких, як завгодно далеких частин площини, виражаючи властивість, що виявляється тільки при нескінченному продовженні прямих.
Можливо, що вже сам Евклід намагався довести постулат про паралельні. На користь цього говорить та обставина, що перші 28 пропозицій «Начало» не опираються на V постулат. Евклід як би намагався відсунути застосування цього постулату доти, поки використання його не стане настійно необхідним.
Одні математики намагалися довести постулат про паралельний, застосовуючи тільки інші постулати й ті теореми, які можна вивести з останніх, не використовуючи сам V постулат. Всі такі спроби виявилися невдалими. Їхній загальний недолік у тім, що в доказі неявно застосовувалося яке-небудь припущення, рівносильне доказуваному постулату.
Інші пропонували по-новому визначити паралельні прямі або ж замінити V постулат яким-небудь, на їхню думку, більше очевидною пропозицією. Так, наприклад, в XI столітті Омар Хайям увело замість V постулату «принцип», відповідно до якого дві лежачі в одній площині збіжні прямі перетинаються й не можуть розходитися в напрямку сходження. За допомогою цього принципу Хайям доводить, що в чотирикутнику ABCD, у якому кути при підставі А и В - прямі й сторони АС, ВD рівні, кути С и D так само прямі, а із цієї пропозиції про існування прямокутника виводиться V постулат. Міркування Хайяма одержали оригінальний розвиток в XIII столітті в Насиредина ат-туси, роботи якого у свою чергу стимулювали дослідження Д. Валлиса. В 1663 році Валлис довів постулат про паралельний, виходячи з явного допущення, що для кожної фігури існує подібна їй фігура довільної величини. Це допущення він уважав, що випливає з істоти просторових відносин.
З логічної точки зору результати Хайяма або Валлиса лише виявляли рівносиль V постулату й деяких інших пропозицій геометрії. Так, Хайям, по суті, установив еквівалентність постулату й пропозиції про суму кутів трикутника, а Валлис показав, що не тільки з V постулату можна вивести вчення про подобу, але й обернено - їх Евклідова вчення про подобу треба V постулат.
Один з підбадьорюючих способів підходу до доказу п'ятого постулату, яким користувалися багато геометрів XVIII і першої половини XIX століть, полягає в тому, що п'ятий постулат заміняється його запереченням або яким-небудь твердженням, еквівалентним запереченню. Опираючись на змінену в такий спосіб систему постулатів і аксіом, доводяться всілякі пропозиції, логічно з її що випливають. Якщо п'ятий постулат дійсно випливає з інших постулатів і аксіом, то змінена зазначеним образом система постулатів мі аксіом суперечлива. Тому рано або пізно ми прийдемо у двом взаємно, що виключають висновкам. Цим і буде доведений п'ятий постулат.
Саме таким шляхом намагалися довести п'ятий постулат Д. Саккери (1667-1733), И. Г. Ламберт (1728-1777) і А.М. Лежандр (1752-1833).
Дослідження Саккери були опубліковані в 1733 році за назвою «Евклід, очищений від усяких плям, або досвід, що встановлює найперші принципи універсальної геометрії».
Саккери виходив з розгляду чотирикутника 
із двома прямими кутами при підставі
й із двома рівними бічними сторонами 
й 
. Із симетрії фігури щодо перпендикуляра 
до середини підстави треба, що кути при вершинах 
і 
рівні. Якщо прийняти п'ятий постулат і, отже, Евклідову теорію паралельних, то можна встановити, що кути й прямі й - прямокутник. Обернено, як доводить Саккери, якщо хоча б в одному чотирикутнику зазначеного виду кути при верхній підставі виявляться прямими, то буде мати місце Евклідов постулат про паралельні. Бажаючи довести цей постулат Саккери робить три можливих припущення: або кути й прямі, або тупі, або гострі (гіпотези прямого, гострого й тупого кута). Для доказу п'ятого постулату необхідно спростувати гіпотези гострого й тупого кута. Зовсім точними міркуваннями Саккери приводить до протиріччя гіпотезу тупого кута. Слідом за тим, прийнявши гіпотезу гострого кута, він виводить досить що далеко йдуть її наслідки для того, щоб і тут одержати протиріччя. Розвиваючи ці наслідки Саккери будує складну геометричну систему, не містячи про протиріччя тільки тому, що отримані їм висновки не відповідають звичним уявленням про розташування прямих. У результаті він «знаходить» логічне протиріччя, але в результаті обчислювальної помилки.
Ідеї Ламберта, розвинені їм у творі «теорія паралельних ліній» (1766р.), близько примикають до міркувань Саккери.
Він розглядає чотирикутник із трьома прямими кутами. Щодо четвертого кута так само виникають три гіпотези: цей кут прямий, тупий або гострий. Довівши еквівалентність п'ятого постулату гіпотезі прямого кута й звівши до протиріччя гіпотезу тупого кута, Ламберт, подібно Саккери, змушений займатися гіпотезою гострого кута. Вона приводить Ламберта до складної геометричної системи, у якій йому не вдалося зустріти логічного протиріччя. Ламберт ніде у своєму творі не затверджує, що V постулат їм доведений, і приходить до твердого висновку, що й всі інші спроби в цьому напрямку не привели до мети.
«Доказом Евклідова постулату, - пише Ламберт, - можуть бути доведені настільки далеко, що залишається, очевидно, незначний дріб'язок. Але при ретельному аналізі виявляється, що в цьому гаданому дріб'язку й полягає вся суть питання; звичайно вона містить або доказувану пропозицію, або рівносильний йому постулат».
Більше того, розвиваючи систему гіпотези гострого кута, Ламберт виявляє аналогію цієї системи зі сферичною геометрією й у цьому вбачає можливість її існування.
«Я схильний навіть думати, що третя гіпотеза справедлива на якій-небудь мнимій сфері. Повинна ж бути причина, внаслідок якої вона на площині далеко не піддається спростуванню, як це легко може бути зроблене із другою гіпотезою».
Лежандр у своєму доказі п'ятого постулату розглядає три гіпотези щодо суми кутів трикутника.
Сума кутів трикутника дорівнює двом прямим.
Сума кутів трикутника більше двох прямих.
Сума кутів трикутника менше двох прямих.
Він довів, що перша гіпотеза еквівалентна п'ятому постулату, друга гіпотеза неможлива; і прийнявши третю гіпотезу приходить до протиріччя, неявно скориставшись у доказі п'ятим постулатом через один з його еквівалентів.
У результаті проблема паралельних залишалася до Начало XIX століття недозволеної й положення здавалося безвихідним. Великий знавець питання угорський математик Фаркаш Бояи в 1820 році писав своєму синові Яношу: «Молю тебе, не роби тільки й ти спроб здолати теорію паралельних ліній: ти затратиш на це увесь свій час, а пропозиції цього ви не доведете всі разом. Не намагайся здолати теорію паралельних ліній ні тим способом, що ти повідомляєш мене, ні яким-небудь іншим. Я вивчив всі шляхи до кінця: я не зустрів ні однієї ідеї, який би я не розробляв. Я пройшов весь безпросвітний морок цієї ночі, і всякий світоч, усяку радість життя я в ній поховав... Цей безпросвітний морок... ніколи не проясниться на землі, і ніколи нещасний рід людський не буде володіти чим-небудь зробленим навіть у геометрії. Це більша й вічна рана в моїй душі...». Безпросвітний морок, про яке з гіркотою писав старший Бойяи, розсіяв Лобачевский і, трохи пізніше, Я. Бояи.
Але багатовікові спроби доказу п'ятого постулату Евкліда привели зрештою до появи нової геометрії, що відрізняється від евклідової тем, що в ній V постулат не виконується. Ця геометрія тепер називається неевклідової, а в Росії має ім'я Лобачевского, що вперше опублікував роботу з її викладом.
І однієї з передумов геометричних відкриттів Н. И. Лобачевского (1792-1856) був саме його матеріалістичний підхід до проблем пізнання. Лобачевский Він був твердо впевнений в об'єктивному й не залежному від людської свідомості існуванні матеріального світу й у можливості його пізнання. У мові «Про найважливіші предмети виховання» (Казань, 1828) Лобачевский співчутливо наводить слова Ф. Бекона: «залишіть трудитися дарма, намагаючись витягти з одного розуму всю мудрість; запитуйте природу, вона зберігає всі істини й на всі питання ваші буде відповідати вам неодмінно й задовільно». У своєму творі «Про початки геометрії», що є першою публікацією відкритої їм геометрії, Лобачевский писав: «перші поняття, з яких починається яка-небудь наука, повинні бути ясні й наведені до найменшого числа. Тоді тільки вони можуть служити міцною й достатньою підставою навчання. Такі поняття здобуваються почуттями; уродженим - не повинне вірити». Тим самим Лобачевский відкидав ідею про апріорний характер геометричних понять, що підтримувалася И. Кантом.
Перші спроби Лобачевского довести п'ятий постулат ставляться до 1823 року. До 1826 року він переконався в тім, що V постулат не залежить від інших аксіом геометрії Евкліда й 11(23) лютого 1826 року зробив на засіданні факультету казанського університету доповідь «Стислий виклад Начало геометрії зі строгим доказом теореми про паралельний», у якому були викладені початки відкритої їм «уявлюваної геометрії», як він називав систему, що пізніше одержала назву неевклідової геометрії. Доповідь 1826р. увійшов до складу першої публікації Лобачевского по неевклідовій геометрії - статті «Про початки геометрії», надрукованої в журналі Казанського університету «Казанський вісник» в 1829-1820р. подальшому розвитку й додаткам відкритої їм геометрії були присвячені мемуари «Уявлювана геометрія», «Застосування уявлюваної геометрії до деяких інтегралів» і «Нові початки геометрії з повною теорією паралельних», опубліковані в «Учених записках» відповідно в 1835, 1836 і 1835-1838 р. Перероблений текст «Уявлюваної геометрії» з'явився у французькому перекладі в Берліні, там же в 1840р. вийшли окремою книгою німецькою мовою «Геометричні дослідження з теорії паралельних ліній» Лобачевского. Нарешті, в 1855 і 1856 р. він видав у Казані на російській і французькій мовах «Пангеометрію».
Високо оцінив «Геометричні дослідження» Гаусс, що провів Лобачевского (1842) у члени-кореспонденти Геттингенського вченого суспільства, що було по суті Академією наук гановерського королівства. Однак у пресі в оцінкою нової геометричної системи Гаусс не виступив.
Висока оцінка гауссом відкриття Лобачевского була пов'язана з тим, що Гаусс, ще з 90-х років XVIII в. займався теорією паралельності ліній, прийшов до тих же висновкам, що й Лобачевский. Свої погляди по цьому питанню Гаусс не публікував, вони збереглися тільки в його чорнових записках і в деяких листам до друзів. В 1818 р. у листі до австрійського астронома Герлингу (1788-1864) він писав: «Я радуюся, що ви маєте мужність висловитися так, ніби Ви визнавали хибність нашої теорії паралельних, а разом з тим і всієї нашої геометрії. Але оси, гніздо яких Ви потривожите, полетять Вам на голову»; очевидно, під «потривоженими осами» Гаусс мав на увазі прихильників традиційних поглядів на геометрію, а також апріорізму математичних понять.
Незалежно від Лобачевского й Гаусса до відкриття неевклідової геометрії прийшов угорський математик Янош Бояи (1802-1860), син Ф. Бояи.
Коли Я. Бояи прийшов до тих же ідеям, що Лобачевский і Гаусс, батько не зрозумів його, однак запропонував надрукувати короткий виклад його відкриття у вигляді додатка до свого посібника з математики, що вышли в 1832р. Повна назва праці Я. Бояи - «Додаток, що містить науку про простір, абсолютно щиру, що не залежить від істинності або хибності XI аксіоми Евкліда (що a priori ніколи вирішено бути не може)» і його звичайно коротко називають просто «Апендикс». Відкриття Я. Бояи не було визнано при його житті; Гаусс, якому Ф. Бояи послав "Апендикс", зрозумів його, але ніяк не сприяв визнанню відкриття Я. Бояи.
Похожие работы
... общин, де кожний буде зобов'язаний трудитися. М.А. Бакунін дотримувався ідей анархізму, бачивши у владі причину експлуатації. Один з феноменів російської науки - плідна розробка ідей економіко-математичного моделювання, заснована на базі як „чистих” математиків, що направили свої зусилля в економіку, так і розробок професійних економістів. Перші російські економісти-математики (Ю.Г. Жуковській, ...
... з арифметики: відшукати суму деякої кількості натуральних послідовних чисел. Учитель вважав, що учні досить довго шукатимуть відповідь. Але через кілька хвилин Карл розв'язав задачу. Коли вчитель проглянув розв'язання, то побачив, що малий Гаусс винайшов спосіб скороченого знаходження суми членів арифметичної прогресії. Щасливий випадок звів Гаусса з першим у навчанні учнем цієї самої школи – ...
... дощ?—отримаємо таку загальну відповідь:—і корисний, і шкідливий; або: плоска чи сферична поверхня Землі? Відповідь — і плоска, і сферична. Звернемося для прикладу до оцінки відомого вчинку гетьмана України І. Мазепи російським імператором Петром І у листі до полтавського полковника після одержання звістки про виступ Мазепи проти Москви: “Изменник, богоотступник, вор. . . для собственной своей ...
... більш евристичним шляхом ("зважуючи" нескінченно малі), але потім він публікував їх, дотримуючи самі тверді вимоги строгості. Достаток обчислень в Архімеда відрізняє його від більшості творчих математиків Греції. Це додає його працям, при всіх їхній типово грецьких особливостях, східний відтінок. Такий відбиток помітний у його "Задачі про бики" - дуже складній задачі невизначеного аналізу, яку ...
0 комментариев