Навигация
Еліптична геометрія на площині
105144
знака
2
таблицы
4
изображения
2.2 Еліптична геометрія на площині
Були показані найпростіші факти сферичної геометрії, у якій усякі дві прямі перетинаються у двох діаметрально протилежних крапках. Для того, щоб звільнитися від зазначеного недоліку й прийти до нової геометрії, у якій прямі мали б не більше однієї загальної крапки, умовимося вважати всяку пару діаметрально протилежних крапок сфери за одну крапку. Отриману нову поверхню після такого ототожнення пар крапок сфери будемо називати еліптичною площиною й позначати символом S2.
Ясно, що одержимо ту ж площину, якщо будемо будувати множини векторів Евклідова простору відношенню еквівалентності в якій 
тоді й тільки тоді, коли вектори й непропорційні.
Прямі еліптичної площини виходять із більших кіл у результаті зазначеного ототожнення пара крапок і будуть як і раніше замкнутими лініями. Але побудована площина S2 стала принципово новим об'єктом математичного дослідження.
Залишаючись замкнутою поверхнею, вона втратила властивість двобічності. Еліптична площина є однобічною поверхнею, тобто, розфарбовуючи яку-небудь одну сторону цієї поверхні, розфарбуємо її по обидва боки. В еліптичній геометрії відсутнє поняття крапки, що лежить між двома іншими, якщо вони інцідентні прямій, тому що дві крапки на прямій визначають два взаємно додаткових відрізки. У цій геометрії можна встановити поняття поділу двох пар крапок А, У и М, N, інцідентних прямій. Пари A, B розділяє пари М, N, якщо крапки М, N лежать у різних відрізках, певних на даній прямій крапками А и В. Можна переконатися, що пари крапок A, У розділяє пари М, N тоді й тільки тоді, коли подвійне відношення
(АВМ) = АМ/ВМ:АN/ВN
чотирьох крапок А, В, М, N негативно.
Зрозуміло, еліптичну площину можна уявити собі також у вигляді півсфери, у якої діаметрально протилежні крапки екватора вважаються за одну крапку. Об'єкти нової моделі перебувають у певних зіставленнях з об'єктами відомої моделі на сфері. Завдяки цьому без звертання до аксіом виводимо, що ці дві моделі реалізують ту саму геометрію.
Проектування із центра о Евклідова простору на площину, дотичну до сфери в крапці З, де ОС
, переводить прямі еліптичної площини в прямі евклідової площини 
. Якщо до крапок дотичної площини приєднати невласні крапки, то побудоване центральне проектування буде взаємно однозначним відображенням всіх крапок еліптичної площини на всі крапки розширеної евклідової (проективної) площини. Не будемо виписувати систему аксіом еліптичної геометрії й помітимо лише, що її можна одержати з аксіом проективної геометрії й аксіом конгруентності.
Всі поняття площини S2 переводяться по відображенню в деякі поняття двомірної проективної геометрії. Зіставлення відповідних геометричних образів отриманої проективної моделі характеризується наступною таблицею:
| «крапка» | крапка проективної площини |
| «пряма» | пряма проективної площини |
| «рівність відрізків» | рівність прообразів відрізків |
Велике достоїнство проективної моделі полягає в тому, що крапки й прямі в ній зображуються звичними для нас образами. Однак, при вивченні властивостей конгруентних фігур сферична модель стає більше зручною.
Помітимо також, що прямі й площини зв'язування о Евклідова простору визначають нову модель площини S2, що відповідають геометричні образи якої представляються наступною таблицею:
| S2 | Зв'язування прямих і площин в Е3 |
| «крапка» | Площина зв'язування |
| «поділ двох пар крапок» | Поділ двох пар прямих того самого пучка прямих |
| «відстань між двома крапками» | Величина, пропорційна куту, між двома прямими зв'язування |
Реалізація еліптичної площини у вигляді сфери, у якої діаметрально протилежні крапки ототожнені, дозволяє на цій площині ввести координати (х, в, z), зв'язані співвідношенням
x2+y2+z2=R2;
де R називається радіусом кривизни, а зворотна величина квадрата радіуса — кривизною. У цих координатах відстань а між двома крапками А (х1, в1, z1) і В(х2, в2, z2 ) визначається по формулі
. (2.1)
Відношення відстані між крапками до радіуса кривизни називається наведеною відстанню. Дві крапки площини S2 називаються полярними, якщо відповідним цим крапкам прямі тривимірного Евклідова простору ортогональні. Інакше кажучи, полярні крапки характеризуються тим, що наведена відстань між ними рівняється 
. Відрізок прямій, обмежений полярно сполученими крапками, називається напівпрямій. Пряма складається із двох напівпрямих і має довжину, рівну 
. Очевидно, геометричне місце крапок, полярних даній крапці А (х1, в1, z1), утворить пряму
(2.1')
Ця пряма називається полярою крапки A, а крапка А - полюсом прямій (2.1').
Прямі, перпендикулярні прямій, перетинаються в її полюсі. Обернено, усяка пряма, що проходить через полюс даної прямої, буде перпендикулярної до цієї прямої. Звідси треба, що через кожну крапку площини, відмінну від полюса даної прямої, можна провести єдиний перпендикуляр до цієї прямої. Ці властивості безпосередньо випливають із визначення полюсів і поляр.
У геометрії S2 можна побудувати взаємно однозначне відображення між крапками й прямими, при якому кожній крапці відповідає її полярна пряма, а кожній прямій - її полюс. Таке відображення називається полярним відображенням. В еліптичній площині одиничної кривизни полярне відображення переводить дві прямі а, b у такі крапки А, В, що відстань між цими крапками рівняється куту між даними прямими. Звідси випливає так званий принцип подвійності в еліптичній планіметрії: якщо в якій-небудь теоремі еліптичної геометрії замінити слова «крапка», «пряма», «відстань» і «кут» відповідно на слова «пряма», «крапка», «кут» і «відстань», те в результаті одержимо також справедливу пропозицію в цій геометрії. Прикладом двоїстих пропозицій, тобто пропозицій, що виходять одне з іншого, зазначеного правила є наступне: будь-які дві крапки визначають пряму, їм інцідентну; будь-які дві прямі визначають крапку, їм інцідентну.
Знайдемо тепер відстані між двома нескінченно близькими крапками М (х, в, z) і M’ (х + dх, в + dу, z + dz). З формули (2.1) треба, що
. (2.2)
Звідки з точністю до нескінченно малих другого порядку включно маємо
ds=-2(xdx+ydy+zdz).
З огляду на, що координати крапки (х + dх, в + dу, z + dz) задовольняють рівності
(х + dх)2 +(в + dу)2+ (z + dz)2 =R2,
будемо мати
2(хdх + уdу + zdz) + dx2 + dу2 + dz2 = 0.
ds2 = dx2 + dу2 + dz2. (2.2')
Отримана формула приводить до очевидного висновку про те, що в малому геометрія еліптичної площини збігається зі сферичною геометрією. Зокрема, формули (1.12) і (1.13) відповідно теорему косинусів і синусів, справедливі й в еліптичній геометрії. Формула 2.2' показує також, що руху еліптичної площини S2 представляються обертаннями й відбиттями Евклідова простору E3 навколо Начало координат. Зазначені рухи визначаються ортогональними матрицями. Так називаються матриці, у яких сума квадратів елементів кожного стовпця рівняється одиниці, а сума добутків відповідних елементів різних стовпців рівняється нулю. Тому що матриці, що відрізняються знаками, індуцірують те саме рух в еліптичній площині, то група рухів останньої зв'язана.
Площа трикутників в еліптичній геометрії
Нехай в еліптичній площині даний трикутник AВС, позначеної на мал. 8 номером I. Як відомо, на даній площині породжуються ще три трикутники з тими ж вершинами. Ці трикутники позначені на малюнку номерами II, III, IV. Тому що вcя еліптична площина кінцева й має площу, рівну 2 R2 , то площа частини площини, обмеженої вертикальними кутами А трикутника I, рівняється
Аналогічно, площа частин еліптичної площини, обмежених вертикальними кутами В и С трикутника AВС, рівні 2R2B, 2R2С. З іншого боку, сума всіх трьох знайдених площ становить площу всієї еліптичної площини з доданою подвоєною площею SАВС даного трикутника АВС. У результаті одержуємо
.
Звідси випливає, що
SАВС = R2(A + B + C -
). (2.3)
Ця формула показує, що площа трикутника пропорційна його дефекту. Можна довести, що в геометрії Лобачевского площа трикутника АВС визначається по формулі, аналогічної (2.3),
SАВС = k2( - A - B - C ),
де k — радіус кривизни.
Окружність
Окружністю називається геометричне місце крапок М(х, в, z), що відстоять від даної крапки А(х1,в1,z1) на дану відстань r. Крапка A називається центром окружності, r - її радіусом.
До поняття окружності можна прийти іншим шляхом, відправляючись від пучків прямих і відповідних крапок на прямих даного пучка. Ці допоміжні поняття тут уводяться так само, як у геометрії Лобачевского. Сукупність прямих, що перетинаються в даній крапці A, називається пучком прямих першого роду. Крапка А називається центром пучка. Пучком прямих другого роду називаються прямі площини, перпендикулярні даній прямій а. Неважко переконатися, що ці пучки двоїсті один одному. Справді, поляра центра пучка прямих першого роду ортогональне перетинає всі прямі пучка й розглянута сукупність прямих є пучком прямих другого роду. Обернено, прямі пучка другого роду проходять через полюс осі пучка й становлять пучок прямих першого роду. Таким чином, усякий пучок прямих одночасно є пучком першого й другого роду. Припустимо, що крапки М и N лежать відповідно на прямих тиn даного пучка прямих. Ці крапки М, N називаються відповідними, якщо відрізок МN утворить рівні однобічні кути із прямими т и n. Найпростіша крива тут визначається так само, як у планіметрії Лобачевского. Ця крива по визначенню є множиною крапок, що відповідають крапці М на прямій т даного пучка. Отримана в такий спосіб найпростіша крива одночасно є окружністю радіуса r із центром у крапці А и еквидистантой з висотою r' = 
R/2 — r. Можна встановити, що окружність ортогональне розсікає прямі свого пучка.
З (2.1) треба, що рівняння окружності із центром у крапці А(х1,в1,z1) і радіусом r < R/2 приводиться до виду:
. (2.4)
Наявність подвійного знака пояснюється тим, що права частина позитивна, а вираження в дужках може мати значення різних знаків.
Помітимо, що множина крапок, віддалених від двох крапок A, В, складається із двох взаємно перпендикулярних прямих, що проходять через полюс прямій, певної даними крапками. Одна із цих прямих ділить навпіл один відрізок АВ, а інша - додатковий. Звідси випливає існування однієї й тільки однієї окружності, описаної біля заданого трикутника АВС. Зокрема, три крапки, що не належать прямій, визначають на еліптичній площині чотири трикутники. Таким чином, через три крапки А, В, З, що не лежать на одній прямій, можна провести чотири окружності, які на сферичній моделі визначаються наступними трійками крапок: АВС, АВС', АВ'С, А'ВС, де А', В', С' позначають крапки, діаметрально протилежні відповідно до крапок А, В, С.
Розглянемо коротенько властивості пар окружностей в еліптичній площині. У сферичній геометрії дві окружності, як і в евклідовій площині, можуть не перетинатися один з одним, стосуватися або перетинатися у двох крапках. В еліптичній геометрії властивості пара окружностей більше різноманітні. Щоб переконатися в цьому, припустимо, що еліптична площина інтерпретована у вигляді сфери, у якої діаметрально протилежні крапки ототожнені. У цьому випадку, окружність еліптичної площини представляється на такій сфері у вигляді двох окружностей, що лежать у паралельні й рівновіддалених від центра сфери площинах. Обернено, дві окружності, отримані від перетинання сфери симетричними щодо її центра площинами, зображують в еліптичній геометрії одну окружність. Зроблені зауваження дозволяють скласти уявлення про нові випадки взаємних положень двох окружностей у порівнянні зі сферичною або евклідовою планіметрією.
Похожие работы
... общин, де кожний буде зобов'язаний трудитися. М.А. Бакунін дотримувався ідей анархізму, бачивши у владі причину експлуатації. Один з феноменів російської науки - плідна розробка ідей економіко-математичного моделювання, заснована на базі як „чистих” математиків, що направили свої зусилля в економіку, так і розробок професійних економістів. Перші російські економісти-математики (Ю.Г. Жуковській, ...
... з арифметики: відшукати суму деякої кількості натуральних послідовних чисел. Учитель вважав, що учні досить довго шукатимуть відповідь. Але через кілька хвилин Карл розв'язав задачу. Коли вчитель проглянув розв'язання, то побачив, що малий Гаусс винайшов спосіб скороченого знаходження суми членів арифметичної прогресії. Щасливий випадок звів Гаусса з першим у навчанні учнем цієї самої школи – ...
... дощ?—отримаємо таку загальну відповідь:—і корисний, і шкідливий; або: плоска чи сферична поверхня Землі? Відповідь — і плоска, і сферична. Звернемося для прикладу до оцінки відомого вчинку гетьмана України І. Мазепи російським імператором Петром І у листі до полтавського полковника після одержання звістки про виступ Мазепи проти Москви: “Изменник, богоотступник, вор. . . для собственной своей ...
... більш евристичним шляхом ("зважуючи" нескінченно малі), але потім він публікував їх, дотримуючи самі тверді вимоги строгості. Достаток обчислень в Архімеда відрізняє його від більшості творчих математиків Греції. Це додає його працям, при всіх їхній типово грецьких особливостях, східний відтінок. Такий відбиток помітний у його "Задачі про бики" - дуже складній задачі невизначеного аналізу, яку ...
0 комментариев