Указати значення параметра а, при якому рівняння

6. Указати значення параметра а, при якому рівняння

х⁴ + (1 – 2а)х² + а² – 4 = 0 має три різних корені.

 

Рішення: усяке біквадратне рівняння в загальному випадку має дві пари корінь, причому корінь однієї пари різняться тільки знаком. Три корені можливі у випадку, якщо рівняння має одну пару у вигляді нуля.

Корінь заданого рівняння рівні:

х =  

Одна з пар корінь буде дорівнює 0, якщо (2а-1) =  . Вирішуючи це рівняння за умови 2а-1 > 0 > , маємо: (2а – 1) =  (2а – 1)² = 17 – 4а

4а² – 4а +1 = 17 – 4а а = 2.

Відповідь: 2.

Указати ціле значення параметра p, при якому рівняння

cosx – 2sinx =  +  має рішення.

Рішення: р ≥ 0; 2 – р ≥ 0  р ≤ 2; поєднуючи припустимі значення параметра р, маємо:

0 ≤ р ≤ 2.

При р = 0 вихідне рівняння приймає вид – 2sinх = 2 х належить порожній множині ( у силу обмеженості синуса).

При р = 1 вихідне рівняння приймає вид:

cosx-2sinx =  +1.

Максимальне значення різниці (cosx-2sinx) становить

 = (- sinx – 2cosx) = 0 tgx = -2, при цьому sinx =

sin (arctg(-2)) = , cosx – 2sinx = , що менше  +1.

Отже, при р = 1 рівняння рішень не має.

При р = 2 вихідне рівняння приймає вид

.

Максимальне значення різниці  становить  при х = arctg(- ) (при цьому sinx =  , cosx = ). Оскільки >  +1, то рівняння  =  буде мати рішення.

Відповідь: 2.

8. Визначити число натуральних n, при яких рівняння  не має рішення.

Рішення: х ≠ 0, n ? 10.

 

Рівняння х² – 8х – n(n – 10) = 0 не має рішення, якщо його дискримінант менше 0, тобто 16 + n(n-10) < 0  n² -10n +16 < 0 (n-2) (n-8) <0  2 < n < 8.

У знайденому інтервалі 5 натуральних чисел: 3, 4, 5, 6 і 7. З огляду на умову n ? 10, знаходимо, що загальне число натуральних n, при яких рівняння не має рішень, дорівнює 6.

Відповідь: 6.

9. Знайти найменше ціле значення параметра а, при якому рівняння

(0 < х < ) має рішення.

 

Рішення: за умовою 1 > sinx > 0 1 < < + ,

1 > cosx > 0 1 < < + ,

Отже, 2 < а < + .

Зводячи обидві частини заданого рівняння у квадрат, маємо:

 = а²  = а²

 = а².

Уведемо змінну z = . Тоді вихідне рівняння прийме вид:

z² + 2z – а² = 0. Воно має рішення при будь-якому а, оскільки його дискримінант

D = 1 + а² позитивний при будь-якому а.

З огляду на, що 2 < а < + , містимо, що найменше ціле значення параметра а, при якому задане рівняння має рішення дорівнює 3.

Відповідь: 3.

Висновок

Під час створення даного проекту ми вдосконалили свої старі знання по темі «Рівняння з параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями » і якоюсь мірою одержали нові.

По завершенню роботи ми прийшли до висновку, що ця тема повинна вивчатися не тільки на елективних курсах і додаткових заняттях, але й у шкільній програмі, тому що вона формує логічне мислення й математичну культуру в школярів. Учням (студентам) знання по цій темі допоможуть здати незалежне оцінювання знань.

Література

1. П.І.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир Задачі з параметрами. – К., 2002.

2. Н.Ю.Глаголєва Задачі по математиці для вступників у вузи. – К., 1994р.

3. В.В.Лікоть Задачі з параметрами, - К., 2003р.

4. В.В.Ткачук Математика – абітурієнтові. – К., 1994р.

5. Г.А.Ястребинецький Рівняння й нерівності, що містять параметри. – К., 2004

6. А.Г.Мордкович Алгебра й початок аналізу. – К., 1997р.