Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння

Курсова робота з математики

«Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння»

Введення

У зв'язку із широким розвитком чисельних методів і зростанням ролі чисельного експерименту у великому ступені підвищився інтерес до спеціальних функцій. Це пов'язане із двома обставинами. По-перше, при розробці математичної моделі фізичного явища для з'ясування відносної ролі окремих ефектів вихідну задачу часто доводиться спрощувати для того, щоб можна було одержати рішення в легко аналізованій аналітичній формі. По-друге, при рішенні складних задач на ЕОМ зручно використовувати спрощені задачі для вибору надійних і економічних обчислювальних алгоритмів. Дуже рідко при цьому можна обмежитися задачами, що приводять до елементарних функцій. Крім того, знання спеціальних функцій необхідно для розуміння багатьох важливих питань теоретичної й практичної фізики.

Найбільше часто вживаними функціями є так звані спеціальні функції математичної фізики: класичні ортогональні поліноми (поліноми Якоби, Лагерра, Ермита), циліндричні, сферичні й гіпергеометричні. Теорії цих функцій і їхніх додатків присвячений цілий ряд досліджень.

1. Гіпергеометричне рівняння

1.1 Визначення гіпергеометричного ряду

Гіпергеометричним рядом називається статечної ряд виду

де z – комплексна змінна, , ,  - параметри, які можуть приймати будь-які речовинні або комплексні значення ( 0,-1,-2,…),і символ  позначає величину

==1

Якщо  й  – нуль або ціле негативне число, ряд обривається на кінцевому числі членів, і сума його являє собою поліном відносно z. За винятком цього випадку, радіус збіжності гіпергеометричного ряду рівняється одиниці, у чому легко переконатися за допомогою ознаки збіжності Даламбера: думаючи

z^k

маємо

= ,

коли k , тому гіпергеометричний ряд сходиться при <1 і розходиться при >1.

Сума ряду

F( , , ,z) = , <1 (1.1)

називається гіпергеометричною функцією.

Дане визначення гіпергеометричної функції придатне лише для значень z, що належать колу збіжності, однак надалі буде показано, що існує функція комплексного змінного z, регулярна в площині з розрізом (1, ) яка при <1 збігається з F( , , ,z). Ця функція є аналітичним продовженням F( , , ,z) у розрізану площину й позначається тим же символом.

Щоб виконати аналітичне продовження припустимо спочатку що R( )>R( )>0 і скористаємося інтегральним поданням

(1.2)

k=0,1,2,..

Підставляючи (1.2) в (1.1) знаходимо

F( , , ,z) = = =

причому законність зміни порядку інтегрування й підсумовування випливає з абсолютної збіжності.

Дійсно, при R( )>R( ) >0 і <1

=

= F( , R( ),R( ), )

На підставі відомого біноминального розкладання

=(1-tz)^-a(1.3)

0 t 1, <1

тому для F( , , ,z) виходить подання

F( , , ,z)= (1.4)

R( )>R( ) >0 і <1

Покажемо, що інтеграл у правій частині останньої рівності зберігає зміст і представляє регулярну функцію комплексного змінного z у площині з розрізом (1, ).

Для z приналежні області ,  (R – довільно велике,  і  довільно малі позитивні числа), і 0 < t < 1 підінтегральне вираження є регулярна функція z і безперервна функція t ; тому досить показати що інтеграл сходиться рівномірно в розглянутій області. Доказ треба з оцінки

(М – верхня границя модуля функції (1-tz)^-a, безперервної в замкнутій області

, , 0 t 1)

що показує, збіжність інтеграла буде при R( )>R( ) >0 інтеграл

 сходиться

Таким чином, умова <1 в (1.4) може бути відкинуто, і шукане аналітичне продовження гіпергеометричної функції в розрізану площину дається формулою

F( , , ,z)= (1.5)

R( )>R( ) >0;

У загальному випадку, коли параметри мають довільні значення, аналітичне продовження F( , , ,z) площина з розміром (1, ) може бути отримане у формі контурного інтеграла, до якого приводить підсумовування ряду (1.1) за допомогою теорії відрахувань.

Більше елементарний метод продовження, що не дає, однак, можливість одержати в явній формі загальне аналітичне вираження гіпергеометричної функції, полягає у використанні рекурентного співвідношення (1.6)

 F( , , ,z) =  +

справедливість якого може бути встановлена підстановкою в нього ряду (1.1). Після підстановки й приведення подібних членів коефіцієнт при z^k у правій частині (1.6) буде

+ -  = = { - - }= = (

Шляхом повторного застосування цієї тотожності можна представити функцію F( , , ,z) з довільними параметрами ( 0,-1,-2,…)у вигляді суми

F( , , ,z)= F( +s, +p, +2p, z) (1.7)

де р – ціле позитивне число  ( , , ,z) – поліном відносно z. Якщо вибрати число р досить більшим, так, щоб R( )>-p і R( - )>-p, то аналітичне продовження кожної з функцій F( +s, +p, +2p, z) може бути виконане по формулі (1.5). Підставляючи отримані вираження в (1.7) одержимо функцію, регулярну в площині з розрізом (1, ), що при <1 збігається із сумою гіпергеометричного ряду (1.1) і, отже, є шуканим аналітичним продовженням.

Гіпергеометрична функція F( , , ,z) відіграє важливу роль в аналізі і його додатках. Введення цієї функції дає можливість одержати рішення багатьох цікавих проблем теоретичного й прикладного характеру, до яких, зокрема, ставиться задача конформного відображення трикутника, обмеженого пересічними прямими або дугами окружностей, різні задачі квантової механіки й так далі.

Велика кількість спеціальних функцій може бути виражене через функцію F( , , ,z), що дозволяє розглядати теорію цих функцій як відповідні спеціальні випадки загальної теорії, даної в справжньому пункті.