Приклади гамільтонових графів

3.3 Приклади гамільтонових графів

Приклад 3.1. Знайти всі гамільтонові цикли для графа, наведеного на рис.3. 5 [10]

Рис.3.5. Пошук всіх гамільтонових циклів для орієнтованого графа

Таблиця 3.1

Результати пошуку гамільтонових циклів

Приклад 3.2. Знайти найкоротший гамільтонов цикл в задачі «комівояжера» для 6 –міст, розташованих згідно графу на рис.3.6 [10]

Рис.3.6. Графи при вирішенні задачі «комівояжера» [ ]

Результати розрахунків довжини «гамільтонових циклів» в задачі «комівояжера» (рис.3.6) наведені в табл.3.2

Таблиця 3.2

Результати розрахунків довжини «гамільтонових циклів»

Приклад 3.3. Покажіть, що граф, зображений на рисунку 3.7 , не є гамільтоновим [11].

 Рис. 3.7. Приклад не гамільтонового графа

Розв’язання.

Припустимо, що в зв’язному графі знайдеться гамільтонов цикл. Кожна вершина v включается в гамільтонів цикл С вибором двох інцидентних з нею ребер, а значить, степінь кожної вершини в гамільтоновому циклі (після вида-лення зайвих ребер) дорівнює 2. Степень вершин даного графа — 2 чи 3. Вер-шини степеня 2 входять в цикл разом з обома інцидентними з ними ребрами. Отже,ребра аb, ае, cd, cb, hi, hg и ij у тім або іншому порядку входять в гаміль-тонов цикл С (див. рис. 3.8).

Ребро bf не може бути частиною циклу С, оскільки кожна вершина

Такого циклу повинна мати ступінь 2. Значить, ребра fj і fg зобов'язані входити в цикл С, щоб включити в нього вершину f . Але тоді ребра je и gd ніяк не мо-жуть належати циклу С, оскільки у противному випадку у ньому з'являться вершини степеня три. Це змушує нас включити в цикл ребро ed, що приводить нас до протиріччя: ребра, котрі ми були змушені вибрати, утворюють два незв'язних цикла, а не один, існування котрого ми припускали. Висновок: граф, зображений на рисунку 3.8, не є гамільтоновим

Рис.3.8. До доведення негамільтоновості графа

ВИСНОВКИ

Теорія графів — це розділ дискретної математики, особливістю якого є геометричний підхід до вивчення об'єктів. Основне поняття теорії — граф. Поняття графа опирається на основні поняття теорії множин, тому що граф можна розглядати як об'єкт, що складається із двох множин — множини крапок (вершин) X і множини ліній (ребер) W, які з'єднують деякі вершини, кожне ребро являє собою неупорядковану пару вершин із множини X.
 При цьому зовсім несуттєво, чи з'єднані вершини графа відрізками прямих ліній або криволінійних дуг, яка довжина ліній, як розташовані вершини графа на площини й інші геометричні характеристики графа.

Останнім часом графи і пов’язані з ними методи досліджень використовуються практично в усіх розділах сучасної математики і, зокрема, дискретної математики.

Граф є математичною моделлю найрізноманітніших об’єктів, явищ і процесів, що досліджуються і використовуються в науці, техніці та на практиці. Коротко опишемо найвідоміші застосування теорії графів.

Наприклад, у вигляді графа можуть бути зображені:

- електричні і транспортні мережі;

- інформаційні і комп’ютерні мережі;

- карти автомобільних, залізничних і повітряних шляхів, газо- і нафтопроводів;

- моделі кристалів;

- структури молекул хімічних речовин;

- моделі ігор;

- різні математичні об’єкти (відношення, частково впорядковані множини, решітки, автомати, ланцюги Маркова, алгоритми і програми тощо);

- лабіринти;

- плани діяльності або плани виконання певних робіт (розклади);

- генеалогічні дерева тощо.

Приклади застосування теорії графів:

- пошук зв’язних компонентів у комунікаційних мережах;

- пошук найкоротших, “найдешевших” та “найдорожчих” шляхів у комунікаційних мережах;

- побудова кістякового дерева: зв’язність з найменшою можливою кількістю ребер;

- пошук максимальної течії для транспортної мережі, в якій визначено вхідні та вихідні вершини та пропускні спроможності ребер;

- ізоморфізм графів: ідентичність структур молекул (ізометрія);

- знаходження циклів графів:

- гамільтонів цикл: обійти всі вершини графа, побувавши в кожній з них лише один раз (задача комівояжера);

- ейлерів цикл: обійти всі ребра (контроль дієздатності мережі);

- розфарбування графів: розфарбування географічних карт, укладання розкладів, розміщення ресурсів тощо;

- планарність графів: проектування друкованих електронних та електричних схем, транспортних розв’язок тощо;

- знаходження центрів графа: вершин, максимальна відстань від яких до всіх інших вершин графа є мінімальною (“столиць”).

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1.  Белов В.В. и др. Теория графов:учебное пособие для втузов.- М.: „Высшая школа”,1976. – 392 с.

2.  Березина Л.Ю. Графы и их применение. – М.: Просвещение, 1979. – 143 с.

3.  Гервер М. Трехзначные числа и орграфы // Журнал «Квант», Москва, МЦНМО, 1987, №2

4. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженеров. / О.П. Кузнецов, Г.М. Адельсон–Вельский – 2–е изд., перераб. и доп. – М.: Энергоатомиздат, 1988 – 400 с.: ил.

5. Мелихов А.Н. применение графов для проектирования дискретных устройств. / А.Н. Мелихов, Л.С. Бернштейн, В.М. Курейчик – М.: Наука, 1974. 304 с.: ил.

6.  Уилсон Р. Введение в теорію графов. – М.: Мир, 1777. – 208 с.

7.  Оре О. Графы и их применение. – М.: Изд-во „Мир”, 1965.- 174 с.

8.  Оре О. Теория графов. –2-е изд.- М.: „Наука”, 1980.- 205 с.

9.  Уилсон Р. Введение в теорію графов. – М.: Мир, 1777. – 208 с.

10.  Хаггарти Р Дискретная математика для программистов. – М.: «Техносфера», 2003. – 320 с.

11.  Ядренко М.Й. Дискретна математика : навчальний посібник. – К.: Вид. – поліграф.центр „Експрес”, 2003. – 244 с.