Найдите сумму членов прогрессии от 10 по 20 включительно, если первый член прогрессии равен –10, а разность равна 3

1. Найдите сумму членов прогрессии от 10 по 20 включительно, если первый член прогрессии равен –10, а разность равна 3.

2. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии: 2; 5; ...., стоящих на четных местах.

3. Найдите первый член арифметической прогрессии, если a₁₀ = 4, a₁₈ = 20.

Тесты 4 уровня. Они нацелены на выявление творческого уровня усвоения материала, сопровождающееся возможностью учащегося переносить усвоенные методы (приемы) решения задач в совершенно новую для него задачную ситуацию, находить новые способы решения задачи.

Задачи математических олимпиад часто соответствуют этому уровню сложности.

Во время текущего математического контроля можно предлагать учащимся задачи, выводящие учащегося на субъективно новую информацию. Такие задачи особенно уместны для коллективного обсуждения решения на уроке. Но на итоговом контроле такие задачи лучше не предлагать, а ограничиться задачами, в которых субъективная новизна проявляется не в новом для учащегося способе деятельности, а в новом, ранее не встречающемся сочетании приемов решения типовых задач.

1. Докажите, что для любых чисел а и b значения выражений

образуют арифметическую прогрессию.

2. Сумму n членов некоторой последовательности можно найти по формуле:

Будет ли эта последовательность арифметической прогрессией?

Решая первую задачу, ученик должен показать умение обобщить изученные свойства числовой арифметической прогрессии на алгебраические выражения, используемые в тексте. Решая вторую задачу, учащийся ставится в совершенно новую для него ситуацию, когда последовательность задана формулой суммы, и необходимо, прояснив ситуацию, определить, является ли последовательность арифметической прогрессией. Решая эту задачу, учащийся выводит новые соотношения, формулы, свойства.

3.3 Уровневая (балльная, рейтинговая) контрольная работа

Уровневая контрольная работа, ориентированная на уровневый подход в обучении математике, реализует принцип открытых перспектив, представляет учащемуся возможность выбора уровня своего обучения и уровня контроля.

Схема уровневой контрольной работы, составленной по критерию новизны и самостоятельности решения, может быть следующей:

Контрольная работа состоит из 10 задач, из которых учащемуся предлагается решить любые 5. Заранее сообщаются уровни сложности. Задачи 1-5 относятся к I уровню (решение по готовой формуле, известному правилу, алгоритму, закону...). Задачи 1-5 чаще всего 1 - 2 шаговые, проверяющие сформированность основных (базовых) умений и навыков темы.

Задачи 6 - 8 относятся ко II уровню, т.е., решая их, ученик должен показать умения использовать знания в усложненной, комбинированной, но знакомой ситуации. Задачи, предлагаемые учащимся, должны быть известны, но учащийся должен прояснить ситуацию и выбрать среди известных способов решения подходящий для этой задачи.

Задачи 9 - 10 относятся III уровню сложности и позволяют выявить более высокий уровень освоения темы, выявить умение применять типовые знания и умения в новой ситуации.

Субъективная новизна задач не должна достигаться включением новых для учащегося объектов, поскольку знание их не может быть получено самостоятельным путем в процессе решения. Все новые термины, специфические обороты речи должны рассматриваться в процессе обучения до контроля.

Субъективная новизна должна проявляться только в сочетании объектов и отношений в задаче, т.е. в их системе, которая выносится для контроля на III уровень. Творчество учащегося проявляется здесь в самостоятельном конструировании систем действий, ведущих к решению.

Норма оценивания работы, так же как и структура работы, должна быть известна учащимся до контрольной.

Задачи 1-5 оцениваются в 1 балл.

Задачи 6 - 8 в 2 балла.

Задачи 9, 10 - в 3 балла в соответствии со сложностью.

На контрольной работе учащийся может решать любое число задач, но заранее оговаривается, что зачет (подсчет баллов) ведется только по 5 задачам (наиболее сложных из решенных), хотя проверяются все решенные. Перед учащимся ставится цель, выполняя контрольную работу, набрать наибольшее количество баллов.

За набранные 5-6 баллов ставится отметка "3", за 7 - 8 баллов отметка "4", за 9 -10 баллов отметка "5".

Таким образом, чтобы получить отметку "4", учащийся должен решить хотя бы 2 комбинированные задачи II уровня, на отметку "5" необходимо решить одну из трёхбалльных задач, показав тем самым творческий уровень усвоения материала. Норма оценивания контрольной работы (количество баллов на отметку "3","4","5") может варьироваться в зависимости от подготовленности класса, сложности материала и т.п.

Если учащийся, решая 2-х и 3-х балльную задачу, допустил ошибку, но показал, что понимает способ решения, довел его до конца, то задание может быть оценено меньшим количеством баллов (если основной проверяемый материал выполнен верно, а ошибка на неосновной материал может расцениваться как случайная, если задача скомбинирована из двух типовых и учащийся допустил ошибку, решая задачу одного типа, а задача другого типа решена верно и т.д.)

Уровневая контрольная работа позволяет:

– уменьшить стресс учащихся на контрольной работе, т. к. задачи типовой части известны ученикам (типы задач);

– сделать учащегося субъектом учебного процесса, т. к. он выбирает задачи для решения в соответствии со своим уровнем усвоения темы и в этом выборе нет произвола учителя;

–перенести цели контроля с выяснения того, что он не знает, на контроль того, что он знает (гуманизировать контроль);

– сориентировать учащихся на творческое усвоение материала, а не на зубрежу.

Приведем примерные варианты итоговых и тематических уровневых контрольных работ для различных классов. Следует напомнить, что задачи 4 уровня приводятся как примерные. Если контрольная работа составляется по критерию субъективной новизны и ориентирована на контроль развития учащихся, то задания 4 уровня должны быть неизвестны учащимся.

Контрольные работы, предлагаемые в методической литературе, можно легко преобразовать в уровневые с возможностью выбора. Для этого увеличивается до 5 базовый набор первых задач за счет включения типовых и перевода комбинированных задач во второй уровень. Задачи 4 уровня подбираются в соответствии с содержанием задач, предлагаемых на уроке с учетом критерия субъективной новизны.

Уровневые итоговые контрольные работы

Алгебра (за курс девятилетней школы).

1. Найдите значение выражения:

при а = 12, b = 5.

2. Упростите выражение:

3. Решите систему уравнений:

4. Докажите тождество:

5. Произведение двух положительных чисел равно 96. Одно из них на 4 меньше другого. Найдите эти числа.

6. Решите графически систему:

7. Упростите выражение:

8. При каких значениях х выражение

имеет смысл?

9. При каких значениях k квадратное уравнение

а) не имеет корней;

б) имеет один корень;

в) имеет два корня.

10. Две бригады, работая вместе, могут выполнить некоторую работу за 8 часов. Первая бригада, работая одна, когда бы выполнить эту работу на 12 часов быстрее, чем вторая бригада. За сколько часов могла бы выполнить всю работу первая бригада, если бы она работала одна?

Геометрия (за курс девятилетней школы)

1. Из точки D, лежащей на биссектрисе угла В, опущены перпендикуляры DА и DC на стороны угла. Докажите, что DA = DC.

2. Постройте биссектрису данного тупого угла.

3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 10 см, а его катет - 6 см.

4. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12 см, а один из его углов 60°.

5. Основания прямоугольной трапеции равны 6 см и 10 см, а острый угол равен 45°. Найдите высоту трапеции.

6. Даны векторы

Найдите длину вектора

7. Найдите сторону квадрата, если его диагональ равна 8 см.

8. Найдите площадь равнобедренного треугольника по основанию 6 см и углу при основании 65°.

9. Докажите, что медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.

10. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами 5 cм и 12 см.

Логарифмы (11 класс).

1. Найдите область определения функции:

2. Найдите x, если:

3. Решите уравнение:

4. Решите уравнение:

5. Решите неравенство:

6. Найдите наибольший корень уравнения:

7. Решите систему уравнений:

8. Решите неравенство:

9. Решите неравенство:

10. Решите уравнение:

11. Решите систему уравнений:

Тела вращения (11 класс).

1. Цилиндр получен вращением прямоугольника со сторонами 4 см и 6 см вокруг большей стороны. Найдите диагональ осевого сечения.

2. Конус получен вращением прямоугольного треугольника с катетом 12 см и гипотенузой 18 см вокруг большего катета. Найдите радиус конуса и площадь осевого сечения.

3. Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра на расстоянии 4 см, имеет радиус 3 см. Найдите радиус шара.

4. Осевое сечение цилиндра - квадрат, площадь которого 16 . Найдите площадь основания цилиндра.

5. Радиус основания цилиндра равен 10 см, высота - 6 см. На каком расстоянии от оси цилиндра находится сечение, имеющее форму квадрата.

6. В конус вписана правильная треугольная пирамида, сторона основания которой равна а, боковое ребро составляет с плоскостью основания угол . Найдите площадь осевого сечения конуса.

7. Найдите радиус шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна а, двугранный угол при основании равен α.

Примечание: 1-4 задачи 1 уровня (1 балл), 5-6 задачи 2 уровня (2 балла), 7 задача 3 уровня (3 балла).

Норма оценивания: на отметку "5" - 6-7 баллов, "4" - 5 -4 балла, "3" - 2-3 балла.

Алгебра и начала анализа (10 класс)

1. Найдите область определения функции:

2. Решите уравнение 2 cosx = 1.

3. Найдите

4. Докажите тождество:

5. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции

6. Исследуйте функцию

и постройте ее график. Найдите по графику наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–0,5; 3].

7. Решите уравнение:

8. Напишите уравнение касательной к графику функции

9. Среди всех равнобедренных треугольников данного периметра 2р найдите треугольник наибольшей площади.

10. Решите неравенство:

11. На графике функции

найдите точки, расположенные в верхней полуплоскости, произведение расстояний от каждой из которых до осей координат является наибольшим.

Алгебра и начала анализа (за курс средней школы)

1. Найдите область определения функции:

2. Решите уравнение:

3. Решите уравнение:

4. Решите неравенство:

5. Вычислите:

6. Решите уравнение:

7. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график:

8. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

9. На графике функции

найдите точки, расположенные в верхней полуплоскости, произведение расстояний от каждой из которых до осей координат является наибольшим.

10. При каком положительном а площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями

принимает наименьшее значение.