Х=1

1 х=1. 1.3 Решение квадратных уравнений с параметром

Для начала напомню, что квадратное уравнение – это уравнение вида , где а, b и с – числа, причем, а0.

Условия параметрических квадратных уравнений могут быть различны, но для решений всех их нужно применять свойства обыкновенного квадратного уравнения :

а) Если D>0, а>0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с>0 одинаковые и противоположны по знаку коэффициента b, а при с<0, причем по абсолютной величине больше тот, знак которого противоположен коэффициенту b.

б) Если D=0, а>0, то уравнение имеет два действительных и равных между собой корня, знак которых противоположен знаку коэффициента b.

в) Если D<0, а>0, то уравнение не имеет действительных корней.

Аналогично можно представить свойства корней при а<0. Кроме того, в квадратных уравнениях справедливы следующие утверждения:

1.  Если поменять местами коэффициенты а и с, то корни полученного квадратного уравнения будут обратны корням данного.

2.  Если поменять знак коэффициента b, корни полученного квадратного уравнения будут противоположны корням данного.

3.  Если коэффициенты а и с разных знаков, то уравнение имеет действительные корни.

Пример1. Найти все значения параметра а, для которых квадратное уравнение : а) имеет два различных корня; б) не имеет корней; в) имеет два равных корня.

Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому а-1. Рассмотрим дискриминант данного уравнения:

При а>-1 уравнение имеет два различных корня, т.к. D>0, при a<-1 уравнение корней не имеет, т.к. D<0, а двух одинаковых корней это уравнение иметь не может, т.к. D=0 при а=-1, а это противоречит условию задачи.

Пример2. Решить уравнение

При а=0 уравнение является линейным 2х+1=0, которое имеет единственное решение х=-0.5. А при а0, уравнение является квадратным и его дискриминант D=4-4a.

При а>1 D<0 поэтому уравнение корней не имеет. При а=1 D=0, поэтому уравнение имеет два совпадающих корня =-1.

При a<1, но а0, D>0 и данное уравнение имеет два различных корня

 ; .

Ответ:  и  при a<1, но а0; х=-0.5 при а=0; =-1 при а=1.

Пример3. Корни уравнения  таковы, что . Найдите а.

По теореме Виета  и . Возведём обе части первого равенства в квадрат: . Учитывая, что , а , получаем:  или ,  . Проверка показывает, что все значения  удовлетворяют условию.

Ответ:

2. Примеры решений уравнений с параметром из ГИА и ЕГЭ части С

Узнав всю теоретическую основу и методы решений различных уравнений, содержащих параметр, я решила применить свои знания на практике. Мы выбрали несколько вариантов заданий ГИА и ЕГЭ из части С, представляющих собой именно те виды уравнений, которые были представлены в моей работе, а именно: уравнение первой степени с одним неизвестным, уравнение с модулем и квадратное уравнение. Ниже будут предложены решения этих уравнений.

1.  Определить значения k, при которых корни уравнения  положительны.

Сразу можно выделить, что , , из этого следует, что при  уравнение не имеет смысла.

В уравнение х(3k-8)=6-k подставим недопустимые значения х, чтобы узнать, при каких k уравнение не имеет смысла:

Итак, мы выяснили, что .

Выразим х: . Х будет больше нуля, если .

Учитывая, что , , . Ответ: , .

2. При каких значениях а уравнение  имеет равные корни?

Уравнение имеет равные корни в том случае, если дискриминант равен нулю. Найдем дискриминант данного уравнения и приравняем его к нулю:

Ответ: при а=2 и а=2/35.

3. Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению a|x+3|+2|x+4|=2.

1)  х+3=0 2) х+4=0

х= – 3 х= – 4 .

х+3 – –  +

х+4 – -4 + -3 +

Рассмотрим 3 промежутка.

1.

а(-(х+3)+2(-(х+4)=2

-ах – 3а –2х – 8=2

х(- а – 2)=10+3а (при а- 2)

.

Теперь надо выяснить, при каких а х попадает на промежуток .

Следовательно, на промежутке  уравнение имеет единственный корень  при .

2. .

 => При а2 х= -3

При а=2 .

3.

=> При а -2 х= -3

При а= -2 .

Ответ: 1. при  

2. при а2 х= -3

при а=2 .

3. при а -2 х= -3

при а= -2 .

Заключение

Итак, проделав эту работу, я действительно поняла, как решаются уравнения с параметрами, приобрела навык решения и, надеюсь, теперь не столкнусь с трудностями при решении подобных заданий на экзамене. Я надеюсь, что моя работа поможет ученикам успешнее и смелее решать различные задачи с параметрами.

Конечно, не все далось сразу и легко – чтобы научиться решать уравнения с параметрами, нужно выйти за рамки представлений об уравнении, при этом не забывая о свойствах того или иного типа уравнения. Удаётся это не сразу. К тому же, в школьной программе задачам с параметрами не уделяется должного внимания, поэтому, увидев такое на экзамене, конечно, можно растеряться. Но я надеюсь, что вызвала интерес учащихся к изучению таких интересных и нестандартных заданий, как уравнения, содержащие параметр.