Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05)

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

;

x	y
17	26	289	24,718	1,282	1,6435	13,69
22	27	484	28,523	-1,523	2,3195	75,69
10	22	100	19,391	2,609	6,8069	1,89
7	19	49	17,108	1,892	3,5797	39,9
12	21	144	20,913	0,087	0,0076	1,69
21	26	441	27,762	-1,762	3,1046	59,29
14	20	196	22,435	-2,435	5,9292	0,49
7	15	49	17,108	-2,108	4,4437	39,69
20	30	400	27,001	2,999	8,9940	44,89
3	13	9	14,064	-1,064	1,1321	106,09
133	219	2161	*	-0,023	37,9608	392,1

 

, следовательно, параметр  значим.

 

, следовательно, коэффициент регрессии значим.

Интервальная оценка:

 

а0: 11,781 2,31*1,617

а0: 11,781 3,735

Нижняя граница: 11,781-3,735=8,046

Верхняя граница: 11,781+3,735=15,516

а0: (8,04615,516), следовательно, параметр а0 значим, так как в эти границы не попадает 0.

а1: 0,761 2,31*0,11

а1: 0,7610,2541

Нижняя граница: 0,761-0,254=0,507

Верхняя граница: 0,761+0,254=1,015

а1: (0,5071,015), следовательно, коэффициент регрессии а1 значим, так как в эти границы не попадает 0.

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Для нахождения коэффициента детерминации найдём коэффициент парной корреляции:

Проверяем значимость по критерию Стьюдента:

, следовательно, значим.

=0,926, то есть связь между переменными y и x очень тесная (то есть близко к 1) и прямая (так как больше 0).

Находим коэффициент детерминации:

, то есть 85,8% - изменение объёма выпуска продукции (зависимой переменной «y») происходит под влиянием объёма капиталовложений (фактора «х», включённого в модель).

Значимость уравнения регрессии по критерию Фишера:

, следовательно, уравнение регрессии значимо, модель адекватна.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

x	y
17	26	24,718	1,282	0,0493
22	27	28,523	-1,523	0,0564
10	22	19,391	2,609	0,1186
7	19	17,108	1,892	0,0996
12	21	20,913	0,087	0,0041
21	26	27,762	-1,762	0,0678
14	20	22,435	-2,435	0,1218
7	15	17,108	-2,108	0,1405
20	30	27,001	2,999	0,1000
3	13	14,064	-1,064	0,0818
133	219	*	-0,023	0,7332

Так как , значит модель не достаточно точная.

F-критерий намного больше табличного значения, коэффициент детерминации  очень близок к 1, а относительная ошибка аппроксимации составляет 7,33%. На основании рассчитанных критериев можно сделать вывод о хорошем качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора X составляет 80% от его максимального значения.

 

- прогноз факторного признака (объема капиталовложений).

 - точечный прогноз.

(17,6; 25,2) – точка должна лежать на графике модели.

Интервальный прогноз:

 

25,21,861,81

25,23,37

Нижняя граница: 25,2-3,37=21,83

Верхняя граница: 25,2+3,37=28,57

То есть при уровне значимости =0,1, если прогнозное значение фактора «Х» составит 80% от его максимального значения или 17,6, точечный прогноз среднего значения «Y» по линейной модели составит 25,2. Доверительный интервал: 21,8328,57.

7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза рис. 3.

 

Рис. 3

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

·  Гиперболической;

·  Степенной;

·  Показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Уравнение степенной модели парной регрессии:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведём логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим , , . Тогда уравнение примет вид - линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры (см. приложение).

Получим уравнение степенной модели регрессии:

Построим график (рис. 4):

Рис. 4

Определим коэффициент корреляции:

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно тесной.

Коэффициент детерминации:

 

Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 57,5% объясняется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

В среднем расчётные значения  для степенной модели отличаются от фактических значений на 14,6%.

Коэффициент эластичности для степенной модели регрессии:

, значит, если фактор X (объём капиталовложений) увеличить на 1%, то значение зависимой переменной Y (объём выпуска продукции) увеличится в среднем на 0,16%.

Уравнение показательной модели парной регрессии:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим , , . Тогда уравнение примет вид - линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры.

Перейдём к исходным переменным x и y.

 

Построим график (рис. 5):

Рис. 5

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно тесной.

Коэффициент детерминации:

 

Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 82,9% объясняется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

В среднем расчётные значения  для степенной модели отличаются от фактических значений на 9,5%.

Коэффициент эластичности для показательной модели регрессии:

, значит, если фактор X (объём капиталовложений) увеличить на 1%, то значение зависимой переменной Y (объём выпуска продукции) увеличится в среднем на 0,49%.

Уравнение гиперболической модели парной регрессии:

Произведём линеаризацию модели путём замены .

В результате получим линейное уравнение:

Рассчитаем его параметры.

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

Построим график (рис. 6):

Рис. 6

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем y и фактором x можно достаточно тесной.

Коэффициент детерминации:

 

Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 67,2% объясняется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

В среднем расчётные значения  для степенной модели отличаются от фактических значений на 12,46%.

Коэффициент эластичности для гиперболической модели регрессии:

%, значит, если фактор X (объём капиталовложений) увеличить на 1%, то значение зависимой переменной Y (объём выпуска продукции) увеличится в среднем на 0,18%.

Сравним модели по коэффициенту детерминации, коэффициенту эластичности и средней относительной ошибке аппроксимации:

Модель парной регрессии	Критерий
Степенная	0,575	14,6%	0,16%
Показательная	0,829	9,5%	0,49%
Гиперболическая	0,672	12,5%	0,18%

Самое хорошее качество имеет показательная модель. Коэффициент детерминации наиболее близок к 1 (вариация объёма капиталовложений на 82,9% объясняет вариацию объёма выпуска продукции), наименьшая средняя относительная ошибка аппроксимации S=9,5% и среднее значение коэффициента эластичности .