Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат

Курсова робота: Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат

Зміст

Розділ 1

1. Упорядковані множини

2. Ґрати

3. Дистрибутивні ґрати

4. Топологічні простори

Розділ 2

1. Верхні напівґрати

2. Стоуновий простір

Висновок

Список літератури

 

Розділ 1

 

1. Упорядковані множини

 

Визначення: Упорядкованою множиною  називається непуста множина, на якої визначене бінарне відношення , що задовольняє для всіх  наступним умовам:

1. Рефлективність: .

2. Антисиметричність: якщо  й , те .

3. Транзитивність: якщо  й , те .

Якщо  й , то говорять, що  менше  або  більше , і пишуть  або .

Приклади впорядкованих множин:

Множина цілих позитивних чисел, а  означає, що  ділить .

Множина всіх дійсних функцій  на відрізку  й

 означає, що  для .

Визначення: Ланцюгом називається впорядкована множина, на якої для  має місце  або .

Використовуючи відношення порядку, можна одержати графічне подання будь-якого кінцевого впорядковання множини . Зобразимо кожний елемент множини  у вигляді невеликого кружка, розташовуючи  вище , якщо . З'єднаємо  й  відрізком. Отримана фігура називається діаграмою впорядкованої множини .

Приклади діаграм упорядкованих множин:

2. Ґрати

 

Визначення: Верхньою гранню підмножини  в упорядкованій множині  називається елемент  із  , більший або рівний усіх  з .

Визначення: Точна верхня грань підмножини  впорядкованої множини  – це така іі верхня грань, що менше будь-який інший іі верхньої грані. Позначається символом  і читається «супремум X».

Відповідно до аксіоми антисиметричності впорядкованої множини, якщо точна верхня грань існує, то вона єдина.

Поняття нижньої грані й точної грані (яка позначається  й читається «інфинум»). Також, відповідно до аксіоми антисиметричності впорядкованої множини, якщо точна нижня грань  існує, то вона єдина.

Визначення: Ґратами  називається впорядкована множина , у якому будь-які два елементи  й  мають точну нижню грань, позначувану , і точну верхню грань, позначувану .

Приклади ґрат:

1. Будь-який ланцюг є ґратами, тому що  збігається з меншим, а  з більшим з елементів .

2.

Найбільший елемент, тобто елемент, більшого або рівний кожного елемента впорядкованої множини, позначають , а найменший елемент, тобто меншого або рівний кожного елемента впорядкованої множини, позначають .

На ґратах можна розглядати дві бінарні операції:

 - додавання й

 - добуток

Ці операції мають наступні властивості:

1. ,  ідемпотентність

2. ,  комутативність

3. ,

 асоціативність

4. ,

 закони поглинання

Теорема. Нехай  - множина із двома бінарними операціями , що володіють властивостями (1) – (4). Тоді відношення  (або ) є порядком на , а виникаюча впорядкована множина виявляється ґратами, причому:

 

Доказ.

Рефлективність відносини  випливає із властивості (1). Помітимо, що воно є наслідком властивості (4):

Якщо  й , тобто  й , те в силу властивості (2), одержимо . Це означає, що відношення  антисиметричне.

Якщо  й , то застосовуючи властивість (3), одержимо: , що доводить транзитивність відносини .

Застосовуючи властивості (3), (1), (2), одержимо:

,

.

Отже,  і

Якщо  й , то використовуючи властивості (1) – (3), маємо:

, тобто

По визначенню верхньої грані переконаємося, що

Із властивостей (2), (4) випливає, що  й

Якщо  й , то по властивостях (3), (4) одержимо:

Звідси по властивостях (2) і (4) треба, що

, тобто

Таким чином, . :

Нехай  ґрати, тоді її найбільший елемент  характеризуються одним із властивостей:

1.

2..

Аналогічно характеризується найменший елемент :

1.

2..