Стоуновий простір

2. Стоуновий простір

Визначення: Підмножина  верхніх напівґрат  називається коідеалом, якщо  з нерівності  треба  й  існує нижня границя множини , така, що .

Визначення: Ідеал  напівґрати  називаються простим, якщо  й множина  є коідеалом.

Надалі нам буде потрібно лема Цорна, що є еквівалентним твердженням аксіомі вибору.

Лема Цорна. Нехай A – множина й X – непуста підмножина множини P(A). Припустимо, що X має наступну властивість: якщо C – ланцюг в < >, те . Тоді X має максимальний елемент.

Лема 2: Нехай  – довільний ідеал і  – непустий коідеал дистрибутивних верхніх напівґрат . Якщо , то в напівґратах  існує простий ідеал  такий, що  й .

Доказ.

Нехай X – множина всіх ідеалів в L, що містять I і не пересічних з D. Покажемо, що X задовольняє лемі Цорна.

Нехай C – довільний ланцюг в X і  Якщо , те  для деяких  Нехай для визначеності . Тоді  й , тому що  - ідеал. Тому . Обернено, нехай , тоді , для якогось  Одержуємо , звідки .

Довели, що M – ідеал, мабуть, що містить I і не пересічний з D, тобто . По лемі Цорна X має максимальний елемент, тобто максимальним ідеалом P серед утримуючих I і не пересічних з D.

Покажемо, що P – простій. Для цього досить довести, що L\P є коідеалом. Нехай L\P і . Оскільки , те, інакше в противному випадку  по визначенню ідеалу. Отже, . Якщо , то  й  пересічних з D у силу максимальності P. Одержуємо  й  для деяких елементів . Існує елемент  такий, що  й , по визначенню коідеала, отже  й  для деяких  Помітимо, що  й  не лежать в P, тому що в противному випадку .

Далі, , тому  для деяких  і . Як і колись . Крім того , тому  - нижня грань елементів a і b, що не лежить в P. :

Надалі, через  будемо позначати дистрибутивні верхні напівґрати з нулем, через множину всіх простих ідеалів напівґрати .

Множини виду  представляють елементи напівґрат  у ч.в. множині  (тобто ). Зробимо всі такі множини відкритими в деякій топології.

Позначимо через  топологічний простір, певний на множині . Простір SpecL будемо називати стоуновим простором напівґрат L.

Лема 3: Для будь-якого ідеалу I напівґрати L покладемо:

Тоді множини виду  вичерпують всі відкриті множини в стоуновом просторі SpecL.

Доказ.

Потрібно перевірити виконання аксіом топологічного простору.

1) Розглянемо ідеал, утворений 0. Тоді

,

але 0 лежить у будь-якому ідеалі, а значить .

2) Візьмемо довільні ідеали  й  напівґрати  й розглянемо

Нехай . Тоді існують елементи a і  Звідси треба, що , де L\P – коідеал. По визначенню коідеала існує елемент d такий, що  й , виходить, . Так як. , отже, . Одержуємо, що .

Зворотне включення очевидно.

2) Нехай  - довільне сімейство ідеалів. Через  позначимо множину всіх точних верхніх граней кінцевого числа елементів, що є представниками сімейства . Покажемо, що  - ідеал. Нехай , тоді , де  для деякого ідеалу . Тоді  лежить в ідеалі , отже,  і , тобто . Обернено очевидно.

Довели, що  - ідеал. Тепер розглянемо довільне об'єднання.

 ■

Лема 4: Підмножини виду  простору  можна охарактеризувати як компактні відкриті множини.

Доказ.

 Дійсно, якщо сімейство  відкритих множин покриває множина , тобто  , те  Звідси треба, що для деякої кінцевої підмножини , тому  . Таким чином, множина  компактно.

 Нехай відкрита множина r(I) компактно, тоді  й можна виділити кінцеве під покриття  для деяких .

Покажемо, що I породжується елементом .

Припустимо, що це не так, і в ідеалі I найдеться елемент b не лежачий в.  Тоді [b) – коідеал, не пересічний с. По лемі 2 найдеться простий ідеал P утримуючий  і не пересічний з [b). Одержуємо, , тому що  (тобто ), але , тому що , протиріччя. Отже, компактною відкритою множиною r(I) буде тільки у випадку, якщо  - головний ідеал.

Пропозиція 5: Простір  є - простором.

Доказ.

Розглянемо два різних простих ідеали  й Q. Хоча б один не втримується в іншому. Допустимо для визначеності, що . Тоді r(P) містить Q, але не містить P, тобто SpecL є - простором. :

Теорема 6: Стоуновий простір  визначає напівґрати  з точністю до ізоморфізму.

Доказ.

Потрібно показати, що двоє напівґрат  і  ізоморфні тоді й тільки тоді, коли простори  й  гомеоморфни.

 Очевидно, якщо ґрати ізоморфні, то простору, утворені цими напівґратами будуть збігатися.

 Нехай  і  гомеоморфни ( ) і . Тоді a визначає компактна відкрита множина r(a) . Множині r(a) відповідає компактна відкрита множина , з однозначно певним елементом  по лемі 4. У такий спосіб одержуємо відображення : , при якому . Покажемо, що  - ізоморфізм ґрат. Якщо a,b – різні елементи з , те, отже, , тому  й  - ін'єкція.

Для довільного  відкритій множині  відповідає  й очевидно, що показує сюрективність .

Нехай a,b – довільні елементи з . Помітимо, що . Відкритій множині  при гомеоморфізмі  відповідає відкрита множина , а  відповідає . Отже, = . Оскільки = , те, тобто  

Висновок

алгебра множина грань грата топологічний

Дистрибутивні ґрати є одним з основних алгебраїчних об'єктів. У даній роботі розглянута частково впорядкована множина P(L) простих ідеалів. Вона дає нам багато інформації про дистрибутивні ґрати L, але вона не може її повністю охарактеризувати. Тому, для того, щоб множина P(L) характеризувало ґрати L, необхідно наділити іі більше складною структурою. Стоун [1937] задав на множині P(L) топологію. У цій роботі метод розглянутий у трохи більш загальному виді.

Література

1. Биргкоф Г. Теорія ґрат. – К., 2003.

2. Гретцер Г. Загальна теорія ґрат. – К., 2005

3. Чермних В.В. Півкільця. – К., 1997.

Похожие работы

Прогностичні дослідження маїбутнього

Скачать

75328

1

4

... ЄТЬСЯ, що Одкровення було записано близько 66 року н.е. і, імовірно, доповнене Іоанном згодом через 30 років. З тих пір не проходило жодного століття (а в наш час і жодного року) без нових досліджень і тлумачень цього пророцтва. Число разючих збігів із пророкуванням Іоанна в кожнім столітті було велике, іноді навіть доходило до критичної маси, коли віруючі тієї чи інша країни готувалися до "кінця ...

Проектування екологічних мереж Ратнівського району

Скачать

192341

49

14

... видів риб та водоплавних та навколоводних птахів. З птахів домінують гусеподібні, сивкоподібні, а також зустрічаються норцеподібні, лелекоподібні, журавлеподібні і горобцеподібні. Розділ 4. Проектування екологічних мереж Ратнівського району 4.1 Загальні поняття Сучасна стратегія охорони природи полягає у забезпеченні динамічної екологічної рівноваги окремих регіонів, пошуку різноманітних ...