Преобразование матрицы парных коэффициентов корреляции в редуцированную матрицу

3.1 Преобразование матрицы парных коэффициентов корреляции в редуцированную матрицу.

Запишем корреляционную матрицу:

Следующим шагом будет – построение редуцированной матрицы кор­реляции с общностями на главной диагонали. Общность показывает какую часть, какую долю составляет относительно дисперсии каждого из m общих факторов в дисперсии I - го исходного признака. Существуют следующие методы нахождения общности:

a)    наибольшего элемента метод по строке

Суть метода заключается в том, что в строке матрицы , соответствующей данному признаку, выбирается элемент с наибольшим абсолютным значе­нием. Это наибольшее значение коэффициента корреляции записывается на главной диагонали.

h= 0,940 h=0,219 h=0,415 h=0,172 h=0,940

b)   метод среднего коэффициента корреляции

h= 0,3977 h=0,1175 h=0,2627 h=0,10025 h=0,4117

с) метод триад

В j – ом столбце или строке отыскивают два наибольших значения ко­эффициентов корреляции  и , тогда

h= 0,2314 h=0.0821 h=0,1717 h=0,0306 h=0,1956

d) метод первого центроидного фактора

h= 0,6562 h=0,8181 h=0,9407 h=0,2054 h=0,4315

Запишем матрицу , используя метод среднего коэффициента корреляции:

h= 0,3977 h=0,1175 h=0,2627 h=0,10025 h=0,4117

Построим матрицу Rh – редуцированную корреляционная матрица.

Для получения первого вектора коэффициентов первого главного фактора необходимо найти наибольшее собственное число матрицы  и по нему построить соответствующий собственный вектор, затем нормировать его и умножить все компоненты этого вектора на  ( для того, чтобы длина этого вектора была ), тогда получим искомый вектор .Затем необходимо найти матрицу рассеивания , обусловленную влиянием первого общего фактора, и матрицу остатков, которая содержит в себе связи, обусловленные влиянием всех общих факторов, начиная со второго. Далее переходим по той же схеме к поиску собственных чисел матрицы . Но, оказывается, что собственные числа и собственные вектора матриц  и  совпадают, начиная со второго, а это означает, что достаточно найти собственные числа матрицы , ранжировать их и найти собственные вектора.

Получим следующие собственные числа:

₁=1.658 ₂=0.21 ₃=0.069 ₄=-0.105 =-0.542

Процесс выделения главных факторов прекращают как только сумма собственных чисел соответствующих выделенным главным факторам превысят след матрицы R_h. В нашем случае при выделении первых трех главных факторов , а То есть в нашем случае выделения трех главных факторов достаточно для объяснения корреляционных связей между признаками.

Положительное, максимальное собственное число ₁=1,568, построим собственный вектор соответствующий данному

собственному числу: ₌, - ненормированный вектор полученный из =0

Найдем: , ₁=.

Рассмотрим второе положительное максимальное собственное число и третье, а также соответственные собственные собственные вектора ₂=, для ₂=0,21

₃=, для =0,069

Матрица факторного отображения:

Произведем экономическую интерпретацию полученных общих факторов на основании матрицы факторных нагрузок А.

Первый главный фактор имеет тесную взаимосвязь с первым (X₅ – удельный вес рабочих в составе ППП) и третьего (X₇ – коэффициент сменности оборудования) исходного признака, следовательно его можно обозначить как «Эффективность основного производства». Второй общий фактор наиболее тесную взаимосвязь имеет со вторым исходным признаком, обозначим его как «Удельный вес покупных изделий». Третий главный фактор имеет очень низкую взаимосвязь со всеми исходными признаками