В ряде случаев, например при решении задач на многогранные углы

4. В ряде случаев, например при решении задач на многогранные углы,

вычисления упрощаются, если ввести единичные векторы, отложенные от вершины многогранного угла.

Примеры задач, решаемых векторным методом.

Задача. Вычислить тупой угол, образованный медианами, проведенными из вершин острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника.

Решение.

Пусть и ;

Согласно условию .

Вектор есть разность векторов и , т.е. (т.к. ).

Аналогично .

Угол между векторами находится по формуле:

,

но, , т.к. . Следовательно

.

длины векторов и найдем по теореме Пифагора.

Таким образом

Тогда

Ответ:

Задача. На ребрах прямоугольного трехгранного угла с вершиной О отложены равные отрезки ОА, ОВ, ОС. Из точки О на плоскости ABC опущен перпендикуляр ОН. Доказать, что если точка Н₁ симметрична точке Н относительно вершины О, то тетраэдр Н₁ ABC правильный.

Решение:

Примем вершину О трехгранного угла за начало векторов. Тогда

и .

Следовательно,

,

.

Найдем

Учитывая, что и , имеем: .

Далее находим:

,

,

.

Это значит , что отрезки H₁A и H₁B равны и образуют угол 60°, т.е. треугольник H₁AB правильный.

Аналогично устанавливается, что две другие грани H₁BC и H₁CA являются равносторонними треугольниками и вследствие этого тетраэдр правильный.

Задача. Доказать, что можно построить треугольник, стороны которого равны и параллельна медианам данного треугольника ABC.

Решение.

Обозначим середины сторон ВС, СА и АВ соответственно А’, B’, C’. Выразим векторы, представляющие медианы треугольника ABC, через , , (через стороны данного треугольника):

,

,

.

Составим сумму сторон треугольника ABC

.

Но так как векторы и образуют данный треугольник ABC, то их сумма равна нулю, следовательно, и . А это значит, что из векторов можно построить треугольник.

Задача. В треугольнике ABCD точка Е и F – середина рёбер АВ и CD соответственно. Доказать, что середины отрезков СЕ, DE, AF и BF являются вершинами параллелограмма.

Решение. Пусть К, L, М, N - середины отрезков СЕ, DE, AF и BF, соответственно. Доказать, что середины отрезков СЕ, DE, AF и BF являются вершинами параллелограмма.

Докажем равенство векторов и , выразив их через векторы , , , , где О – произвольная точка.

(1)

. (2)

Ч. Т. Д.

Задача. Точки К, L, M на сторонах АС, ВС, АВ треугольника ABC таковы, что , N – середина сторона АС. Найти отношение в котором точка пересечения отрезков KL и MN делит отрезок KL.

Решение.

Обозначим через О точку пересечения отрезков MN и KL и через х отношение KO : KL. Тогда . Учитывая, что L – середина МС и , получаем

Так как точка О лежит на прямой MN, то . Откуда . Значит, .

Ответ: KO : OL = 2:3

Задача. Отрезки DA₁, DB₁, DC₁ – медианы граней BCD, ACD и ABD тетраэдра ABCD соответственно. Точки К, М, N делят отрезки DA₁, DB₁, DC₁ в отношении , . В каком отношении плоскость KMN делит ребра DA и DB ?

Решение.

Пусть плоскость KMN пересекает ребра DA, DB и DC тетраэдра ABCD в точках Р, Q, R соответственно.

Точки А₁, В₁, С₁ – середины отрезков ВС, АС, АВ соответственно. Следовательно,

Решив эту систему, (например, сложив (1) и (2), и вычтя (3) получим

Пусть . Тогда, учитывая , , ,

имеем

, и, т.к. точки К, М, N, Р лежат в одной плоскости, то

.

Таким образом, , откуда .

Пусть теперь , тогда

, и

, откуда

Ответ: , .

Задача. Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, длина стороны которого равна . Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости оснований и имеет длину 2. Найти угол между прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра ВС, а друга проходит через точку С и середину ребра АВ.

Решение. Обозначим .

Выберем в качестве базиса векторы , и .

Тогда, из треугольника BCS: ,

а из треугольника ABC:

Ответ: .

Задача. Каждое ребро призмы ABCA₁B₁С₁ равно 2.

Точки М и N – середины ребер АВ и A₁А. Найти расстояние от точки М до прямой CN, если известно, что угол A₁AС paвeн 60° и прямые A₁A и АВ перпендикулярны.

Решение.

Рассмотрим базис, состоящий из векторов , , и составим таблицу умножения для этих векторов.

*	а	b	с
а	4	0	2
b	0	4	2
с	2	2	4

Расстояние от точки М до прямой CN равно расстоянию от точки М до её проекции на прямую CN.

Пусть Р – проекция точки М на прямую CN.

Тогда

для некоторого числа х.

Так как и ,

Поскольку прямые и перпендикулярны, то т.е.

.

Раскрывая скобки и пользуясь таблицей умножения для нашего базиса, получаем: .

Тогда .

Искомое расстояние равно

Снова раскрывая скобки и пользуясь таблицей умножения, находим . Таким образом, расстояние от точки М до прямой равно .

Ответ : расстояние равно .

у ⁶

Задача. В параллелограмма ABCD точка К – середина стороны ВС, а точка М – середина стороны CD. Найдите AD, если АК = 6, АМ = 3, угол КАМ = 60°.

Решение.

В качестве базиса выберем векторы и и составим таблицу умножения для векторов этого базиса.

*	k	m
k	36	9
m	9	9

По формуле треугольника и .

Так как X – середина ВС, М – середина CD, то и , и получаем систему:

, откуда

Ответ: 4.

Задача. Ребра СА, СВ, СС, треугольной призмы ABCA₁В₁С₁ равны, соответственно 2, 3 и 4 образуют между собой углы ACB = 90°, ACС₁ = 45° и BCC₁ = 60°. Найдите объём призмы.

Решение.

Пусть отрезок С₁О является высотой данной призмы. Тогда

Для того, чтобы найти высоту С₁О, выберем в качестве базиса векторы

и составим

таблицу умножения.

*
	4	0
	0	9	6
		6	16

Разложим вектор C₁O по векторам . Получим: , где , а .

Таким образом .

Коэффициенты х, у находим из условий перпендикулярности вектора C₁O с векторами .

.

Следовательно,

Значит С₁О =

Тогда V = 3·C₁O = 3·2 = 6

Ответ: 6.

С помощью векторов можно решать не только геометрические задачи, но и доказывать алгебраические неравенства.

I. Доказать неравенство

Доказательство:

Рассмотрим векторы и .

Их скалярное произведение

Так как , , то, учитывая неравенство , получим .

II. Докажем, что для любых неотрицательных чисел a, b, c справедливо неравенство:

Доказательство:

Рассмотрим векторы и . Их скалярное произведение: , а длины и . Отсюда, учитывая неравенство , получаем

.

Глава 1

§1. Аксиоматика векторного пространства

Характеризация векторного пространства, как математической структуры осуществляются рядом аксиом.

Основные понятия теории: "вектор", "сумма двух векторов", "произведение вектора на действительное число".

Косвенным определением основных понятий теории векторного пространства являются следующие аксиомы:

I. Для любых векторов и существует единственный третий вектор , называемый их суммой

Таким образом аксиома I постулирует:

а) единственность этой суммы.

б) существование суммы двух векторов и ;

Данная аксиома вводит на множестве векторов V операцию

f₁: V x V  V.

которая называется сложением двух векторов.

II. Сложение векторов коммутативно, т.е.

.

III. Сложение векторов ассоциативно, т.е.

IV. Существует вектор такой, что для любого вектора, т.е.

Определение 1.1. Вектор , удовлетворяющий аксиоме IV, называется нулевым вектором и обозначается

V. Для каждого вектора существует такой вектор , что +=

Определение 1.2. Вектор , удовлетворяющий аксиоме V, называется противоположным вектору .

VI. Для любого вектора и действительно числа , существует единственный вектор , называемый произведением вектора на число и обозначаемый т.о.: , т.е.

, ,

Данная аксиома вводит операция нового типа (внешнюю операцию):

Эта операция носит название «умножение вектора на число».

VII. Для любого вектора умножение вектора на 1 не изменяет вектора , т.е.

,

VIII. Умножение вектора на число ассоциативно, т.е.

, ,

IX. Умножение вектора на число дистрибутивно сложения чисел, т.е.

, ,

X. Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов, т.е.

, ,

Этим заканчивается аксиоматика векторного пространства, которое можно теперь определить т.о.:

множество V с введенными двумя операциями

,

подчиняющееся аксиомам I-X, называется векторным пространством над полем действительных чисел R.

§2. Следствие из аксиом векторного пространства

Из аксиом I-X можно вывести целый ряд предложений.

Теорема 2.1. Существует единственный нулевой вектор.

Доказательство:

Предложим, что существует два различных вектора и таких, что и для любого вектора .

Положим . Тогда

и (1)

Положим теперь . Аналогично получим:

и (2)

Так как (по аксиоме II), то из (1) и (2) следует, что .

Таким образом, векторное пространство содержит единственный вектор , удовлетворяющий равенству .

Теорема 2.2. Для любого вектора существует единственный противоположный вектор .

Или:

и

Доказательство:

Допустим, что и и , т.е. существует , имеющий два различных противоположных вектора и .

и (1)

(2)

Тогда

и (3)

Левые части равенств (3) равны между собой. Действительно:

(4)

Из равенства (3) и (4) следует, что .

Теорема 2.3. Для любых векторов и существует единственный вектор , такой, что .

Доказательство:

I. Существование. Убедимся, что в качестве вектора можно будет выбрать вектор . В самом деле,

Таким образом, для векторов и существует вектор , удовлетворяющий равенству:

.

II. Единственность (от противного). Пусть

и (1)

Тогда:

Отсюда . Получим противоречие с допущением. Таким образом, единственность вектора доказана.

Определение 2.1. Вектор, удовлетворяющий равенству , называется разностью векторов и , и обозначается через - .

Таким образом

Теорема 2.3., как видно, вводит на множестве v новую операцию "–":

называемую вычитанием, которая является обратной по отношению к операции сложения.

Следствие 1.

Теорема 2.4.

Доказательство:

, т.к. - вектор, противоположный вектору . Тогда

Ч.т.д.

Теорема 2.5.

Доказательство:

Имеем:

;

Отсюда следует, что .

Ч.т.д.

Теорема 2.6. .

Доказательство:

Имеем:

Отсюда следует, что .

Теорема 2.7.

Доказательство:

Имеем:

(по Теореме 2.6.)

Отсюда следует, что .

Следствие 2. .

Теорема 2.8. или .

Доказательство:

Возможны два случая:

I. и

II. .

I. Если , то дизъюнкция или истинна и теорема доказана.

II. Пусть . Тогда существует число , отсюда имеем:

(по условию Т. 2.5.) ,

(по Т. 2.5.) .

Таким образом, в случае II имеем, что .

Итак, если , то или .

Теорема 2.9. .

Доказательство:

Для того, чтобы установить, что вектор является противоположным для вектора , необходимо и достаточно проверить, выполняется ли следующее равенство:

, или все равно, что .

Имеем:

Таким образом или . И, следовательно, .

Рассмотренные свойства операций над векторами аналогичны соответствующим свойствам арифметических операций над числом. Так, например, сумма конечного числа векторов, как и сумма в любой коммуникативной группе, не зависит ни от порядка слагаемых в этой сумме, ни от способа расстановки скобок:

и т.д.

Однако между векторной и числовой алгеброй существуют серьезные отличия. Одно из наиболее существенных отличий состоит в том, что множество векторов не является упорядоченным, т.е. для векторов нельзя ввести отношение «меньше» и «больше». Например для двух противоположных чисел и мы знаем, что и, что одно из этих двух чисел больше 0, а другое – меньше 0. Для векторов же, удовлетворяющих равенству , постановка вопроса о том, какой из векторов или больше нулевого, а какой меньше нулевого, бессмысленна.

§3. Размерность

Определение 3.1. Векторное пространство называется n-мерным, если в нем имеется n линейно независимых векторов, а всякие n+1 векторы линейно зависимы.

Иначе говоря, размерность векторного пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

Если максимальное число линейно независимых векторов равно 1, то векторное пространство называется одномерным, если это число равно 2,. То векторное пространство называется двумерным, и т.д.

Векторное пространство, имеющее конечную размерность, называется конечномерным. Пространство, в котором существует сколь угодно линейно независимых векторов, называется бесконечномерным.

Определение 3.2. Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства называется его базой.

Теорема 3.1. Каждый вектор n-мерного векторного пространства можно представить, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации векторов базы.

Доказательство:

Пусть – произвольная база n-мерного векторного пространства. Так как любые n+1 векторы n-мерного векторного пространства линейно зависимы, то векторы

,

линейно зависимы, т.е. нулевой вектор является нетривиальной линейной комбинацией векторов :

,

где не все равны нулю. При этом . Если бы , то тогда среди чисел хотя бы одно было отлично от нуля, а отсюда следует, что векторы линейно зависимы.

Пусть например, , тогда .

Откуда следует линейная зависимость векторов , что противоречит условию.

Итак, . Если , то

Полученное представление вектора является искомым.

Докажем, что оно единственно.

Допустим, что возможны два представления вектора в виде линейной комбинации базы:

и .

Тогда

, отсюда

.

Так как векторы линейно независимы, то

и, следовательно,

.

Ч.т.д.

Примеры.