ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение: множество перестановок n-й степени образует по умножению группу, притом конечную порядка n!. Эта группа называется симметрической группой n-й степени и обозначается S_n.

Определение: подмножество Н множества S_n называется подгруппой группы S_n, если оно является группой относительно действия умножения перестановок.

Такие подмножества играют важную роль для изучения строения группы S_n.

Симметрическая группа S_n имеет много разных подгрупп, причем их число очень быстро возрастает с увеличением числа n. Полностью описать все подгруппы группы S_n удается лишь для небольших n, а для n больших изучаются лишь общие свойства таких подгрупп.

Часто подгруппы симметрической группы S_n называют просто группами перестановок. В частности, само множество S_n также является своей подгруппой, то есть группа S_n будет подгруппой самой себя. Кроме того, множество состоящее лишь из одного единичного элемента, также является подгруппой, это вытекает из следующих равенств: E*E=E, E^-1=E. Такая подгруппа называется единичной. Для каждой другой подгруппы Н группы S_n выполняется неравенство: 10, составляет циклическую группу n-го порядка в группе G, так что Н – подгруппа данной группы G простого порядка. По теореме Лагранжа порядок n этой подгруппы является делителем числа р. Так как , то n=p. Но Н – подгруппа группы G. Следовательно, Н совпадает с группой G. Это доказывает утверждение 2).

Теорема доказана.

Из теоремы Лагранжа следует только то, что если в группе G есть подгруппа Н, то порядок группы G кратен порядку группы Н. Но для нас остается открытым вопрос, верно ли обратное утверждение: если порядок группы G равен g, а h – делитель числа g, то обязательно ли группа G имеет подгруппу порядка h? Для доказательства того факта, что это обратное утверждение не верно можно использовать знакопеременную группу А₄. Эта группа имеет порядок 12, но в ней нет подгрупп порядка 6. Таким образом, утверждение, обратное к теореме Лагранжа, не верно.

Однако некоторое достаточное условие для того, чтобы группа G порядка g имела подгруппу порядка h, где h – делитель числа g, указывается в следующей теореме Силова.

Теорема Силова: пусть G – группа порядка g и h – делитель числа g; если h=pⁿ, где р – простое число, а n – положительное целое число, то G содержит подгруппу порядка h.

Теорема Силова существенно облегчает процесс нахождения подгрупп некоторой группы. Так, например, порядок группы А₄ равен 12; простыми делителями числа 12 являются 2 и 3. По теореме Силова мы можем утверждать, что знакопеременная группа А₄ содержит подгруппы порядка 2, 3 и 4=2², но мы все равно ничего не можем сказать о подгруппе порядка 6.

Исходя из всего выше описанного, можно сделать вывод о том, что теорема Лагранжа и непосредственные следствия из этой теоремы играют важную роль в теории групп. Они очень часто применяются как в самой теории групп, так и во всех ее приложениях.

1.6. ЗАДАЧИ

1. Описать все подгруппы симметрической группы S₃.

Решение.

Порядок группы S₃ равен 3!=6. из теоремы Лагранжа следует, что собственные подгруппы из S₃ могут состоять из двух или трех перестановок. Следовательно, подмножества S₃, состоящие из четырех или пяти перестановок, подгрупп не образуют.

1) Опишем сначала подгруппы, которые состоят из двух перестановок. Если Н – такая подгруппа, то в нее входит элемент Е и еще какой-то другой элемент , то есть .

Элемент обратный к не может совпадать с Е, поэтому . Последнее равенство можно записать так: , то есть Е=. Следовательно, а – перестановка второго порядка, то есть цикл длины 2.

Таким образом, существует не больше трех подгрупп второго порядка группы S₃. эти подгруппы легко находятся с помощью таблицы Кэли. Это будут такие подмножества: , , . Легко убедиться, что подмножества А, В и С действительно являются подгруппами группы S₃, так как для каждого из них выполняется условие теоремы о подгруппах для конечных групп.

Для подмножества А:

Для подмножества В:

Для подмножества С:

2) Теперь опишем подгруппы, которые состоят из трех перестановок. Если - такая подгруппа, то перестановки и должны иметь порядок 3. действительно, если одна из них, например , имеет порядок 2, то =^-1. Пусть , тогда и . Тогда Следовательно, получили противоречие, так как у нас и различны. Значит, , то есть перестановка тоже будет иметь порядок 2. но легко проверить непосредственно, что произведение любых двух перестановок второго порядка является перестановка третьего порядка. Например, .

Следовательно, произведение * не принадлежит G и G тогда не является подгруппой.

Таким образом, перестановки и должны иметь порядок 3, то есть , где ,

Как видим, произведение каждых двух элементов множества G является элементом из G, следовательно, выполняется условие теоремы о подгруппах для конечных групп. Значит, подмножество G множества S₃ является подгруппой группы S₃.

Таким образом, группа S₃ имеет шесть разных подгрупп:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Результат только что рассмотренной задачи наталкивает нас на предположение о том, что если группа имеет порядок n, то она имеет и n различных подгрупп. Чтобы подтвердить или опровергнуть это предположение рассмотрим следующую задачу.

2. Опишите все подгруппы симметрической группы S₄.

Решение: порядок группы S₄ равен 4!=12. По теореме Лагранжа, собственные подгруппы из S₄ могут состоять из 2, 3, 4, 6, 8, 12 перестановок. По теореме Силова можно лишь утверждать, что группа S₄ содержит подгруппы порядка 2, 3, 4=2², 8=2³, но ничего не можем сказать о подгруппах порядка 6 и 12. надо будет доказать существование или отсутствие подгрупп порядка 6 и 12.

1) Опишем подгруппы, состоящие из двух перестановок.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

2) Опишем подгруппы, состоящие из трех перестановок.

10.

11.

12.

13.

3) Опишем подгруппы, состоящие из четырех перестановок.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

4) Опишем подгруппы, состоящие из шести перестановок.

21.

22.

23.

24.

5) Опишем подгруппы, состоящие из восьми перестановок.

25.

26.

27.

6) Опишем подгруппы, состоящие из двенадцати перестановок.

28.

7) Опишем несобственные подгруппы группы S₄.

29.

30. .

Все описанные выше подмножества действительно являются подгруппами, так как для каждого из них выполняется условие теоремы о подгруппах для конечных групп. Кроме того, в группе S₄ имеются подгруппы 6-го и 12-го порядка.

Следовательно, симметрическая группа S₄ имеет 30 разных подгрупп, а порядок группы S₄ равен 24. поэтому, сформулированное нами предложение о том, что количество подгрупп некоторой группы равно порядку этой группы, оказалось не верным.

3. Доказать, что подмножество группы S₄ является коммуникативной подгруппой. Составить таблицу умножения подгруппы Н.

Решение.

Коммуникативной подгруппой называется подгруппы с коммуникативной операцией.

Операция на множестве Н называется коммуникативной, если для любых двух элементов h₁ и h₂ из Н выполняется условие: h₁*h₂=h₂*h₁.

Перестановки и коммутируют, если .

Пусть , .

Следовательно, произведение каждых двух элементов множества Н является элементом того же множества, то есть подмножество Н группы S₄ является подгруппой группы S₄, причем перестановки коммутируют. Значит, Н – коммуникативная подгруппа.

Составим таблицу умножения подгруппы Н.

4. Опишите все подгруппы S₄, которые состоят из трех перестановок. Сколько их?

Решение.

1) Рассмотрим подгруппы, состоящие из трех перестановок второго порядка.

Если Н – такая подгруппа, то она состоит из следующих элементов: , то есть .

Если - перестановка второго порядка, то , значит .

Пусть , значит , тогда , то есть =, а у нас и должны быть различными. Следовательно, , то есть , - перестановка второго порядка.

Но легко непосредственно проверить, что произведение любых двух элементов второго порядка является элемент третьего порядка. Значит, при таких предположениях произведение не принадлежит Н и Н не является подгруппой.

Следовательно, в группе S₄ не существует подгрупп, состоящих из трех перестановок второго порядка.

2) Рассмотрим подгруппы, состоящие из трех перестановок третьего порядка.

Пусть - такая подгруппа. Если - перестановка третьего порядка, то есть , тогда перестановки различные, а . Следовательно, перестановка тоже третьего порядка. Непосредственно легко проверить, что произведением двух элементов третьего порядка является элемент третьего порядка, то есть произведение принадлежит G и G является подгруппой. В нашем случае существует 4 подгруппы, состоящие из трех перестановок третьего порядка:

1 -

2 -

3 -

4 - .

3) Рассмотрим подгруппы, которые состоят из трех перестановок четвертого порядка.

Пусть - такая подгруппа. Если - перестановка четвертого порядка, то есть , то перестановки различные. Тогда получается, что в подгруппе М должны содержаться четыре перестановки: , а у нас подгруппа М по условию должна содержать три перестановки. Значит, перестановка не может быть четвертого порядка.

Следовательно, симметрическая группа S₄ содержит всего 4 трехэлементных подгруппы.

5. Какая из подгрупп симметрической группы S₃: будет знакопеременной.

Решение.

Знакопеременная группа А_n имеет порядок , значит знакопеременная группа А₃ имеет порядок . Следовательно, из представленных в условии задачи подгрупп знакопеременной может быть подгруппа G, так как ее порядок равен 3. Проверим, являются ли перестановки подгруппы G четными. По определению, перестановка называется четной, если она раскладывается в произведение четного числа транспозиции.

(123)=(12)*(13), то есть (123) – четная перестановка

(132)=(13)*(12), то есть (132) – четная перестановка

Следовательно, подгруппа G группы S₃ является знакопеременной.

Утверждение: если G – группа порядка 2n и Н – ее подгруппа порядка n, то Н будет нормальной подгруппой группы G.

Утверждение: знакопеременная группа А_n является нормальной подгруппой симметрической группы S_n.

6. Докажите, что группа А₄ не имеет подгрупп порядка 6.

Доказательство.

Если группа А₄ обладает подгруппой порядка 6, то эта подгруппа должна быть нормальной, так как ее порядок равен половине порядка группы А₄. Но, так как любая нормальная подгруппа группы А₄ содержит только элементы порядка 2, то максимальный возможный порядок подгруппы А₄ равен 4. Следовательно, группа А₄ не имеет подгрупп порядка 6.

7. Докажите, что знакопеременная группа А_n (). Порождается всеми циклами (a b c) длины 3.

Доказательство.

Группа А_n порождается произведениями пар транспозиций. Если две транспозиции одинаковы, их произведение равно тождественной перестановке. Если они имеют одну общую букву, как, например, (a b) и (a c), то (a b)*(a c)=(a b c). Если они не имеют общих букв, то (a b)*(c d)=(a b)*(a c)*

*(c a)*(c d)=(a b c)*(c a d). Значит, знакопеременная группа А_n, порождается всеми циклами длины 3.

НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ В ШКОЛЕ