ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ

2.2.3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ

2.2.3.1. ЦЕЛЕСООБРАЗНОСТЬ ВВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ

ГРУПП В ПРОГРАММУ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ КУРСОВ

В настоящее время очень часто приходится обсуждать вопрос: нужно ли вообще изучать элементы современной математики в курсе средней школы. Мы считаем, что не только нужно, но и совершенно необходимо в силу огромной практической и познавательной значимости элементов современной математики.

Знакомство школьников с современной математикой целесообразно начать с изучения элементов теории групп, так как структура группы является не только структурой, представляющей большой научный интерес, но и структурой, имеющей простые интерпретации на конечных множествах. К тому же структура группы часто встречается в школьном курсе математики.

Можно указать и другие мотивы, в силу которых элементы теории групп целесообразно рассматривать в школе в качестве первого и основного примера математической структуры. Например, существует большое число простых и конкретных систем, иллюстрирующих аксиоматику группы на знакомом школьникам материале, причем многие из них являются весьма наглядными. Кроме того, аксиоматика группы может быть легко установлена школьниками индуктивно, посредством изучения одной из иллюстрирующих ее конкретных систем. Многие дедуктивные выводы из аксиом группы просты и изящны. К тому же учащимся, испытывающим определенные затруднения при чисто абстрактном исследовании, часто помогает сравнение общих выводов с выводами, делающимися на известном и конкретном примере системы, снабженной групповой структурой. Весьма небольшое число аксиом оказывается достаточным для рассмотрения разных теорем, сразу приводящих к интересным результатам [16].

При этом имеет смысл не просто ознакомление школьников с некоторыми любопытными вопросами теории групп, а систематическая и планомерная работа по изучению структуры группы.

Исходя из всего выше написанного, можно сделать вывод о том, что теория групп как нельзя лучше подходит для того, чтобы показать школьникам образец современной математической теории.

2.2.3.2. ПРОГРАММА И СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЙ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА «ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ»

В качестве экспериментальной работы мы предлагаем изучение элементов современной алгебры в рамках факультативного курса по математике.

Нами была разработана программа факультативного курса «Элементы современной алгебры» и проведена апробация этого курса среди учащихся 9-10-х классов абаканской национальной гимназии им. Н.Ф. Катанова. Мы ставили перед собой следующую задачу: познакомить школьников с элементами теории групп.

Факультативный курс «Элементы современной алгебры» можно провести по следующему тематическому плану.

Алгебраические действия. Свойства алгебраических действий (4 часа).

Понятие полугруппы. Примеры полугрупп (2 часа).

Подполугруппы. Идеалы полугрупп (2 часа).

Делимость элементов в полугруппе (2 часа).

Регулярные элементы полугрупп. Понятие инверсной полугруппы (2 часа).

Гомоморфизм и изоморфизм полугрупп (2 часа).

Свободная полугруппа слов. Полугруппа преобразований (2 часа).

Понятие группы. Примеры групп. Группы симметрий. Свободная группа (6 часов).

Простейшие свойства групп. Группа перестановок (симметрическая группа) (4 часа).

Понятие подгруппы. Примеры подгрупп. Подгруппы симметрических групп (4 часа).

Определяющие соотношения в группах (2 часа).

Порождающие множества групп. Циклическая группа (2 часа).

Гомоморфизм и изоморфизм (2 часа).

Симметрические многочлены (4 часа).

В рамках данного факультативного курса мною проведены 2 занятия по теме: «Понятие подгруппы. Подгруппы симметрических групп».

Занятие 1.

Тема: «Понятие подгруппы. Примеры подгрупп».

Цели:

познакомить учащихся с понятием подгруппы, рассмотреть критерий подгрупп, теорему о подгруппах для конечных групп, разобрать примеры различных подгрупп;

продолжить развитие абстрактного мышления учащихся;

формировать у учащихся внимание, наблюдательность.

Ход занятия.

На предыдущих занятиях вы познакомились с понятием группы, а понятие группы тесно связано с таким понятием, как «подгруппа». Подгруппы играют особую роль в развитии и применении теории групп. Поэтому сегодня на занятии вы познакомитесь с понятием «подгруппа».

Для начала, давайте рассмотрим с вами множество целых чисел. Из предыдущих занятий вам известно, что множество целых чисел образует группу по сложению. Выделим во множестве целых чисел два подмножества: подмножество четных целых чисел и подмножество нечетных целых чисел. Теперь попробуем выяснить, являются ли выбранные нами подмножества группами по сложению. Для этого надо проверить выполнимость всех аксиом группы (ассоциативность операции, существование нейтрального и обратного элементов, наличие бинарной операции).

Сначала рассмотрим подмножество четных целых чисел. Сложение является бинарной операцией на подмножестве четных чисел, так как если сложить два четных числа, то в результате снова получится четное число. Сложение ассоциативно, нейтральным элементом является нуль, у каждого элемента есть обратный (так как число, обратное четному числу, также четно). Значит, подмножество четных целых чисел является группой по сложению.

Теперь рассмотрим подмножество нечетных целых чисел. Сложение не является бинарной операцией на подмножестве нечетных чисел, так как если сложить два нечетных числа, то в результате не всегда получится нечетное число. Например, числа 3 и 5 являются нечетными, а их сумма является четным числом. Следовательно, данное подмножество не является группой.

Таким образом, в том случае, когда для подмножества данного множества, являющегося группой, выполняются все аксиомы группы, то говорят, что это подмножество называется подгруппой данной группы.

Запишем определение: подмножество группы называется подгруппой этой группы, если оно само является группой относительно операции, переделенной в группе.

Следовательно, из рассмотренного нами примера следует, что подмножество четных чисел является подгруппой группы целых чисел относительно сложения. А подмножество нечетных чисел не является подгруппой группы целых чисел относительно сложения.

Но для того, чтобы каждый раз при нахождении подгруппы не проверять все аксиомы группы, принято пользоваться следующим критерием подгруппы.

Теорема: для того, чтобы непустое подмножество Н группы было подгруппой, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий:

множество замкнуто относительно операции, определенной в группе, то есть для любых элементов h₁, h₂ и ;

множество содержит вместе с каждым своим элементом и обратный к нему элемент, то есть для любого элемента и .

Данная теорема справедлива для бесконечных групп. В случае конечных групп проверка 2) условия является излишней, то есть для конечных групп справедлива следующая теорема о подгруппах.

Теорема: пусть - группа, Н – конечное пустое подмножество G, замкнутое относительно операции «*», тогда Н является подгруппой группы G.

Следует также отметить, что каждая группа имеет две особые подгруппы:

все группы содержат в качестве подгруппы множество, состоящее только из одного нейтрального элемента;

любая группа содержит себя в качестве подгруппы.

Обычно нас будут интересовать подгруппы, отличные от этих особых подгрупп. Такие подгруппы называются собственными, а две особые группы – несобственными.

Давайте выполним следующее задание:

I. Дана группа действительных чисел, отличных от нуля относительно умножения, то есть . Требуется проверить, являются ли подгруппами этой группы следующие множества:

множество положительных действительных чисел;

множество рациональных чисел, отличных от нуля.

Первый пункт данного задания давайте рассмотрим вместе, а второй пункт вы попробуете решить самостоятельно.

Так как группа действительных чисел, отличных от нуля относительно умножения является бесконечной группой, то для отыскания подгрупп этой группы будем пользоваться критерием подгрупп. Нам надо проверить выполнимость двух условий критерия. Первое условие выполняется, так как произведение двух положительных действительных чисел положительно и действительно (например, ). Второе условие критерия также выполняется, так как число, обратное положительному, также положительно. Следовательно, является подгруппой группы .

Попробуйте теперь сами привести примеры подгрупп (учащиеся приводят различные примеры подгрупп).

Далее выполним следующие задания:

II. Покажите, что множество всех чисел, кратных 5, образует подгруппу группы целых чисел по сложению.

III. Является ли множество, состоящее из чисел 1 и –1 подгруппой группы .

В качестве домашнего задания запишите следующие упражнения:

I. Поверьте, является ли множество целых чисел подгруппой группы .

II. Является ли множество целых чисел подгруппой группы .

Занятие 2.

Тема: «Подгруппы симметрических групп».

Цели:

познакомить учащихся с теоремой Лагранжа и с теоремой Силова, с методом нахождения подгрупп симметрических групп;

продолжить развитие абстрактного мышления школьников;

способствовать воспитанию у учащихся наблюдательности.

Ход занятия.

Вы уже знакомы с симметрической группой S_n. Внутреннюю структуру симметрической группы S_n можно описать с помощью ее подгрупп. Изучение внутренней структуры симметрической группы позволяет установить ее многие свойства. Поэтому сегодня на занятии мы с вами будем рассматривать подгруппы некоторых симметрических групп, познакомимся с методом отыскания подгрупп.

Для начала следует отметить то, что симметрическая группа S_n имеет много разных подгрупп, причем их число очень быстро возрастает с увеличением числа n. Полностью описать все подгруппы группы S_n удается лишь для небольших n, а для больших n изучаются общие свойства таких подгрупп.

Нам известно, что симметрическая группа S_n конечна. Поэтому для того, чтобы подмножество Н группы S_n являлось подгруппой группы S_n, достаточно чтобы произведение каждых двух элементов из Н также принадлежало Н.

Рассмотрим следующий пример: пусть Н – множество перестановок .

Проверим, является ли Н подгруппой группы S₄.

Проверим, выполняется ли для данного множества условие теоремы о подгруппах для конечных групп (замкнутость множества относительно операции умножения). Оказывается, что данное условие не выполняется, так как .

Следовательно, множество Н не является подгруппой группы S₄.

Для нахождения подгрупп некоторой группы удобно пользоваться теоремой Лагранжа, которая устанавливает связь между порядками групп и подгрупп.

Теорема Лагранжа: если Н – подгруппа группы G, то ее порядок является делителем порядка G.

Теорема Лагранжа позволяет существенно упростить решение задач, связанных с описанием всех подгрупп некоторой группы.

Рассмотрим, например, симметрическую группу S₃, порядок этой группы равен 3!=6. По теореме Лагранжа мы можем утверждать, что подгруппы из S₃ могут состоять из 2 или 3 перестановок, так как 2 и 3 являются делителями числа 6. Поэтому нам не нужно проверять являются ли подгруппами группы S₃ подмножества, состоящие из 4 или 5 перестановок.

Даже на одном этом примере видно, насколько существенным может быть применение теоремы Лагранжа.

Следует отметить, что утверждение, обратное к теореме Лагранжа не верно. Например, знакомая вам знакопеременная группа А₄ имеет порядок 12, но в ней нет подгрупп порядка 6.

Кроме того, в теории групп существует теорема Силова, которая также облегчает процесс нахождения подгрупп некоторой группы.

Теорема Силова: пусть G – группа порядка g и h - делитель числа g; если h=pⁿ, где р – простое число, а n – положительное целое число, то группа G содержит подгруппу порядка h.

Рассмотрим, например, знакопеременную группу A₄, порядок этой группы равен 12. По теореме Силова мы можем точно утверждать, что группа А₄ содержит подгруппы порядка 2, 3 и 4, так как 2=2¹, 3=3¹, 4=2².

Теорема Лагранжа и теорема Силова играют важную роль в теории групп. Данные теоремы позволяют существенно упростить решение задачи описания всех подгрупп симметрической группы S_n.

Сейчас я познакомлю вас с методом нахождения подгрупп симметрических групп. Для этого рассмотрим следующую задачу.

Задачи: опишите все подгруппы симметрической группы S₃.

Мы знаем, что порядок группы S₃ равен 6. Из теоремы Лагранжа следует, что подгруппы из S₃ могут состоять из 2 или 3 перестановок, а по теореме Силова такие подгруппы точно существуют.

Опишем сначала подгруппы, которые состоят из 2 перестановок. Если Н – такая подгруппа, то в нее входит элемент Е и еще какой-то другой элемент , то есть .

Так как элемент обратный к не может совпадать с Е, то . Последнее равенство можно записать так: , то есть Е=. Следовательно, - перестановка второго порядка.

Подгруппы легко находить с помощью таблицы Кэли. Из таблицы умножения группы S₃ (Приложение 1) видно, что подгруппами группы S₃ будут следующие подмножества:

1)

2)

3)

Это следует из того, что , , .

Опишем теперь подгруппы, состоящие из 3 перестановки. Если G – такая подгруппа, то в нее входит элемент Е и два различных элемента и , то есть .

Перестановки и должны иметь порядок 3, так как если одна из них, например , имеет порядок 2, то перестановка также будет иметь порядок 2. но легко проверить, что произведением любых двух перестановок второго порядка является перестановка третьего порядка. Это видно из таблицы умножения группы S₃ (Приложение 1). Так как, например, . Следовательно, перестановки и должны иметь порядок 3, то есть , .

Из таблицы Кэли видно, что , так как и . Кроме того из таблицы следует, что произведение каждых элементов множества G является элементом из G, то есть выполняется условие теоремы о подгруппах для конечных групп. Значит, множество G группы S₃ является подгруппой симметрической группы S₃.

Таким образом, мы получили, что группа S₃ имеет 6 различных подгрупп:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Вы познакомились с методом нахождения подгрупп симметрической группы S₃. Этот же метод используется для отыскания подгрупп симметрической группы S_n.

В качестве домашнего задания запишите следующие упражнения.

I. Какие из следующих множеств перестановок образуют подгруппу в группе S₄:

1) ;

2) .

II. Существует ли в произвольной конечной группе порядка 10 подгруппа порядка 5.

III. Опишите все подгруппы группы S₄, состоящие из трех перестановок. Сколько их?

Представленные выше 2 занятия по теме: «Понятие подгруппы. Подгруппы симметрических групп» являются частью большого факультативного курса «Элементы современной алгебры». Чтобы более подробно изучить данную тему можно провести небольшой факультативный курс «Элементы теории групп. Симметрические группы» для учащихся 9-10-х классов.

Программа факультативного курса «Элементы теории групп. Симметрические группы».

Понятие алгебраического действия. Простейшие свойства действий (6 часов).

Дать определение действия, рассмотреть примеры действий, свойства действий: коммутативность, ассоциативность, обратимость, сократимость, существование нейтрального и обратного элементов, познакомить с таблицей Кэли.

Общие определения группы. Примеры групп (4 часа).

Рассмотреть 2 определения группы, доказать эквивалентность этих определений, разобрать примеры групп.

Перестановки и симметрические группы (группы перестановок) (8 часов).

Ввести понятие перестановки, рассмотреть умножение перестановок, свойства умножения перестановок: ассоциативность, обратимость, единственность, познакомить с разложением перестановок, циклами, транспозициями, дать определения симметрической и знакопеременной групп.

Подгруппа. Примеры подгрупп. Подгруппы симметрических групп (6 часов).

Познакомить с определением подгруппы, рассмотреть различные примеры подгрупп, критерий подгрупп, теорему о подгруппах для конечных групп, теорему Лагранжа и теорему Силова, познакомить с методом нахождения подгрупп симметрических групп.

Обобщающее занятие (2 часа).

Итоговая проверочная работа (Приложение 2), задается учащимся на дом.