Натуральное уравнение кардиоиды получится, если из равенств (4) и (6) исключить параметр. Оно будет иметь вид

6. Натуральное уравнение кардиоиды получится, если из равенств (4) и (6) исключить параметр. Оно будет иметь вид

(7)

7. Площадь, ограниченная кардиоидой, определится по фор­муле

и, как видно, равна ушестеренной площади производящего круга.

Длина всей кардиоиды определится по формуле

и, как видно, равна восьми диаметрам производящего круга. Объ­ем тела, полученного от вращения кардиоиды вокруг ее оси, равен

Поверхность тела, полученного от вращения кардиоиды вокруг ее оси, равняется

Мы видели, что кардиоида органически связана с окружностью. Она является конхоидой круга и эпициклоидой. Она имеет с окруж­ностью и иной характер родства — кардиоида является подэрой окружности относительно точ­ки, принадлежащей этой окруж­ности.

Рис.9

Действительно, пусть ОМ есть перпендикуляр, опущенный на ка­сательную к окружности с ради­усом, равным 2r, проведенную в точке N.

Так как ОМ = OB + ВМ, или r == 2r cos j + 2r, то геометрическим местом точек М будет кардиоида с уравне­нием r = 2r (1 + cos j).

Заметим в заключение, что кар­диоида относится также к семей­ству синусоидальных спиралей, и отдельные свойства ее повторяют общие свойства этих кривых. Из этих свойств следует, в частности, что инверсия кардиоиды, относительно точки воз­врата дает параболу.

Астроида

1. Свойства. Астроида, как и рассмотренная выше кривая Штейнера, является частным случаем гипоциклоид, а именно, гипоциклоидой с моду­лем m, равным 1/4. Она представляет собой, следовательно, траекторию точки, лежащей на окружно­сти круга радиуса r, который ка­тится по внутренней стороне друго­го, неподвижного круга, радиус R которого в четыре раза больше.

Параметрические уравнения астроиды можно получить, пола­гая в уравнениях гипоциклоиды, m=1/4. Вот эти уравнения:

Рис. 10

где t, как и ранее, угол поворота производящего круга (рис. 10)

Исключая из уравнений (1) параметр t, получим:

(2)

Из уравнения (2) следует, что астроида является алгебраической кри­вой 6-го порядка.

Параметрические уравнения (1) астроиды можно привести к виду

(3)

Исключая из этих уравнений параметр t, получим часто употребляе­мый вид уравнения астроиды

(4)

Полагая в ранее выведенных общих соотношениях для циклои­дальных кривых модуль

m = -1/4, получим соответствующие соот­ношения для астроиды:

1) радиус кривизны в произвольной точке астроиды опре­деляется по формуле

(5)

2) длина дуги астроиды от точки А до произвольной точки M(t) определится по формуле

(6)

длина одной ветви равна  а длина всей кривой 6R;

3) для получения натурального уравнения астроиды за­метим предварительно, что если началом отсчета длины дуги пола­гать не точку А, для которой t = 0, а точку, для которой t = p, то длина дуги определится формулой

(6)

исключая параметр t из уравнений (5) и (6), получим натуральное уравнение астроиды

4) эволюта астроиды есть также астроида, подобная дан­ной, с коэффициентом подобия, равным 2, повернутая относительно данной на угол p/4 (рис.11)

5) площадь, ограниченная всей астроидой, равна  объем тела, полученного от вращения астроиды, равняется 32/105p R³

поверх­ность тела, образованного вращением астроиды, равна

Обратимся теперь к рассмотрению некоторых частных свойств астроиды.

Астроида является огибающей отрезка постоянной длины, кон­цы. которого скользят по двум взаимно перпендикулярным пря­мым.

Принимаем эти прямые за оси координат и, обозначая угол на­клона скользящего отрезка ND=R через a (рис.12), будем иметь уравнение прямой ND в виде

(7)

Дифференцируя это уравнение по параметру a, получим:

Исключая из последнего уравнения и уравнения (7) параметр a, будем иметь уравнение огибающей в виде  т. е. астроиду.

Практически перемещение отрезка ND можно осуществить с по­мощью так называемых кардановых кругов. Один из этих кругов с радиусом R неподвижен, а другой, с радиусом r, в два раза мень­шим, катится по внутренней стороне неподвижного круга. Любые две диаметрально противоположные точки N и D катящегося круга будут перемещаться по двум взаимно перпендикулярным диаметрам Ох и Оу неподвижного круга. Ясно, что огибающей диаметра катящегося круга и будет астроида.

Рис. 11

Рис. 12

Рассмотренный способ образования астроиды можно истолковать также следующим образом. Прямоугольник ODCN, две стороны ко­торого лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых, деформи­руется так, что диагональ его сохраняет длину, равную R, огибаю­щая диагонали и будет астроидой. Так как при этом перпендикуляр, опущенный из вершины С на диагональ DN, служит нормалью к оги­бающей, то астроида представляет собой геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из вершины С прямоуголь­ника на его диагональ.

2. Свойства касательных к астроиде. Уравнение (7) выражает прямую ND, т. е. касательную к астроиде в некоторой точке М, причем параметр a представляет собой угол, составляемый этой ка­сательной с осью абсцисс. Уравнение другой касательной, перпенди­кулярной к первой, будет иметь вид

(8)

Исключая из уравнений (7) и (8) параметр а, получим уравнение  или, в полярной системе,  которое выражает четырехлепестковую розу. Итак, геометрическое место вершин прямого угла, стороны которого касаются астроиды, есть четырех лепестковая роза.

Другое свойство касательных к астроиде таково: каждая касательная пересекает астроиду в двух точках, касательные в которых пересекаются в точке, лежащей на окружности описанного около астроиды круга.

Определим подэру астроиды от­носительно точки Р, лежащей на бис­сектрисе 1-го координатного угла на расстоянии ОР=с от начала коорди­нат. Выше было показано, что астроиду можно рассматривать как огибающую отрезка ND = R, скользящего своими концами по координатным осям. Отсюда

Рис. 13

следует, что искомую подэру можно определить как геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из точки Р на пря­мую ND (рис. 13). Проведем ОЕ _|_ ND, и OQ, где Q — середина отрезка ND. Точку Р посчитаем полюсом, а прямую РК полярной осью. Полярный угол КРМ точки М подэры обозначим через j, а радиус-вектор РМ — через r. Тогда, как легко видеть, угол

Так как

Но, с другой стороны,  На основании последних двух равенств, полярное уравнение подэры запишется в виде  а в прямоугольной системе с началом в точке Р в виде

Полученная таким образом кривая 6-го порядка имеет в начале коор­динат четырехкратную точку и называется «жуком». В частном слу­чае, пои с=0, жук становится розой,

3. Косая астроида. Обобщением рассмотренной астроиды является так называемая косая астроида, которая представляет собой оги­бающую отрезка ND постоянной длины R, скользящего своими кон­цами по двум прямым, пересекающимся под произвольным углом f.

Рис. 14

Полагая эти пересекающиеся прямые координатными осями, обозна­чим угол, составляемый прямой ND с осью абсцисс, через t. Тогда из треугольника OND (рис. 14) будем иметь:

откуда

и следовательно, уравнение прямой ND в отрезках на осях запи­шется в виде

Дифференцируя это урав­нение по t и исключая из полученного после дифференцирования равенства и уравнения прямой параметр t, получим параметрические уравнения косой астроиды в виде

при  эти уравнения выражают рассмотренную ранее прямую астроиду.