Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

 

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

 

Допущена к защите

Зав. кафедрой____________Мироненко В. И.

«____»_________________ 2003 г.

 

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ В ЦЕЛОМ ДВУМЕРНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ВИДЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО И ПЕРВОГО ПОРЯДКОВ

 

Дипломная работа

 

Исполнитель: студентка группы М-51

_____________________ ПЛИКУС Т.Е.

Научный руководитель: доцент, к.ф-м.н.

_____________________ ФИЛИПЦОВ В.Ф.

Рецензент:доцент, к.ф-м.н.

_____________________ РУЖИЦКАЯ Е.А.

 

 

Гомель 2003

Реферат

Дипломная работа состоит из 25 страниц, 11 источников.

Ключевые слова и словосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл, кривые третьего и первого порядков, точка, характеристическое уравнение, характеристическое число, узел, седло.

Объект исследования: квадратичная двумерная стационарная система с заданными интегральными кривыми третьего и первого порядков.

Предмет исследования: построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков, нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости.

Цель дипломной работы: качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы.

Основным инструментом исследований является понятие частного интеграла.

Содержание

Введение

1 Построение квадратичных двумерных стационарных систем

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)

2 Исследование поведения траекторий системы на плоскости

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости

2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости

2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре

Заключение

Список использованных источников

Приложение. Поведение траекторий системы (2.1)

Введение

Известно, что аналитический вид решения очень хорош в случае линейных систем. В случае же нелинейных систем даже тогда, когда решение может быть выражено через элементарные функции, эти выражения могут быть столь сложными, что непосредственный их анализ практически невозможен. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.

Впервые задача качественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений

 (0.1)

с полной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3,с.191-211] и уточнены Дж. Д. Биркгофом [4,с. 175-179].

Одной из задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторий динамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае, когда P(x,y) и Q(x,y) – аналитические функции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.

 (0.2)

Н.Н. Баутиным [1, с. 181- 196] и Н. Н. Серебряковой [8, с. 160- 166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В [10, с. 732- 735] Л. А. Черкасом такое исследование проведено для уравнения (0.2) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка. Яблонский А. И. [11, с. 1752- 1760] и Филипцов В. Ф. [9, с. 469-476] изучали квадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривые четвертого порядка.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

 (0.3)

В настоящей работе проводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что она имеет два частных интеграла вида:

x³+a₁x²y+b₁xy²+g₁y³+a₂x²+b₂xy+g₂y²+b₃x+g₃y+d=0, (0.4)

mx+ny+p=0 (0.5)

в предположении, что коэффициенты кривых (0.4), (0.5) и системы (0.3) вещественные.

Работа состоит из двух глав.

В первой главе проводится построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.

Во второй главе проводится качественное исследование системы, включающее в себя нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости при фиксированных значениях коэффициентов системы.

1 ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ДВУМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ 1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

 (1.1)

Согласно [10, с. 1752-1760], если система, правые части которой есть полиномы n-ой степени, имеет частный интеграл вида:

, (1.2)

где F_k(x,y) – однородные полиномы от x и y степени k, то выполняется равенство:

. (1.3)

Пусть частный интеграл (1.2) имеет вид:

F(x,y)ºx³+a₁x²y+b₁xy²+g₁y³+a₂x²+b₂xy+g₂y²+b₃x+g₃y+d=0 (1.4)

Для интеграла (1.4) системы (1.1) имеет место соотношение (1.3),где L(x,y) = fx+gy+k, f, g, k – постоянные:

(3x2+2a₁xy+b₁y²+2a₂x+b₂y+b₃)(ax+by+a₁x²+2b₁xy+c₁y²)+(a₁x²+

2b₁xy+3g₁y²+b₂x+2g₂y+g₃)(cx+dy+a₂x²+2b₂xy+c₂y²)=(x3+a₁x²y+b₁xy²+ (1.5)

g₁y³+a₂x²+b₂xy+g₂y²+b₃x+g₃y+d)(fx+gy+k).

Приравнивая в (1.5) коэффициенты при одинаковых степенях выражений

x^m yⁿ слева и справа, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.4) и системы (1.1):

3a₁₊a₁a₂-f=0, (1.6₁)

(2a₁+2b₂-f)a₁+2a₂b₁-g+6b₁=0, (1.6₂)

2a₁c₁+(2b₁+2c₂-g)b₁+(6b₂-f)g₁=0, (1.6₃)

(4b₁+c₂-g)a₁+(a₁+4b₂-f)b₁+3a₂g₁+3c₁=0, (1.6₄)

c₁b₁+(3c₂-g)g₁=0; (1.6₅)

ca₁+(2a₁-f)a₂+a₂b₂-k+3a=0, (1.7₁)

(2a+d-k)a₁+2cb1+(4b₁-g)a2+(a₁+2b₂-f)b2+2a₂g₂+3b=0, (1.7₂)

2ba₁+(a+2d-k)b₁+3cg₁+2c₁a₂+(2b₁+c₂-g)b₂+(4b₂-f)g₂=0, (1.7₃)

bb₁+(3d-k)g₁+c₁b₂+(2c₂-g)g₂=0; (1.7₄)

(2a-k)a₂+cb₂+(a₁-f)b₃+a₂g₃=0, (1.8₁)

2ba₂+(a+d-k)b₂+2cg₂+(2b₁-g)b₃+(2b₂-f)g₃=0, (1.8₂)

bb₂+(2d-k)g₂+c₁b₃+(c₂-g)g₃=0; (1.8₃)

(a-k)b₃+cg₃-df=0, (1.9₁)

bb₃+(d-k)g₃-dg=0, (1.9₂)

dk=0. (1.9₃)

Будем предполагать, что коэффициенты кривой (1.4) и системы (1.1) вещественные и кривая не проходит через начало координат, тогда d=0. Согласно (1.9₃) в этом случае k=0.

Будем рассматривать частный случай системы (1.1), т.е. будем предполагать, что a₂=c₁=0, а коэффициенты a₁, b₁, g₁ интегральной кривой (1.4) обращаются в нуль.

Уравнения (1.6₁) – (1.9₃) при этих предположениях будут иметь вид:

3a₁-f=0, (1.10₁)

g+6b₁=0; (1.10₂)

(2a₁-f)a₂+3a=0, (1.11₁)

(4b₁-g)a2+(a₁+2b₂-f)b2+3b=0, (1.11₂)

(2b₁+c₂-g)b₂+(4b₂-f)g₂=0, (1.11₃)

(2c₂-g)g₂=0; (1.11₄)

2aa₂+cb₂+(a₁-f)b₃=0, (1.12₁)

2ba₂+(a+d)b₂+2cg₂+(2b₁-g)b₃+(2b₂-f)g₃=0, (1.12₂)

bb₂+2dg₂+(c₂-g)g₃=0; (1.12₃)

ab₃+cg₃-df=0, (1.13₁)

bb₃+dg₃-dg=0. (1.13₂)

Из условий (1.10₁) и (1.10₂) получаем, что

f = 2a_1, g = 6b₁.

Из условия (1.11₄) имеем

(2c₂-g)g₂=0.

Пусть g_2, тогда

2c₂-g=0 и g=2c₂,

с другой стороны g = 6b₁, значит

c₂=3b₁.

Имея условия f = 2a_1, g = 6b_1, c₂=3b₁, из соотношений (1.11₁) – (1.11₃), (1.12₁), (1.12₃) и (1.13₁) найдем выражения коэффициентов кривой (1.4) через коэффициенты системы(1.1) в следующем виде:

a_{2 =}  , b₂ = ,

g₂ =  , b₃ =  ,

g₃ =  ,(1.15)

d = .

Равенства (1.12₂) и (1.13₂) с учетом полученных выражений (1.15), дадут два условия, связывающие коэффициенты a, b, c, d, a₁, b₁, b₂:

(2ab₁-ba₁)[3(32a₁b₁b₂-15a₁²b₁-16b₁b₂²) a+(8a₁b₂²-18a₁²b₂+9a₁³) b+

24(a₁b₁²-b₁²b₂) c+(16a₁b₁b₂-15a₁²b₁) d]=0, (1.16)

(2ab₁-ba₁)[12(7a₁b₁b₂-3a₁²b₁-4b₁b₂²) a²+6(3a₁b₁²-4b₁²b₂) ac+(3a₁²b₁-

-4a₁b₁b₂) bc+2(4a₁²b₂-3a₁³)bd –8a₁b₁²cd+4a₁²b₁d²]=0. (1.17)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.1 Система (1.1) имеет частный интеграл вида (1.4), коэффициенты которого выражаются формулами (1.15), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.16), (1.17) и c₁=a₂= 0, c₂= 3b₁.

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

Рассмотрим система (1.1), которая в качестве частного интеграла (1.2) имеет кривую первого порядка:

mx+ny+p=0. (1.18)

В системе (1.1), согласно предыдущего параграфа

a₂=c₁=0, c₂=3b₁. (1.19)

Для интеграла (1.18) системы (1.1), с учетом (1.19), имеет место соотношение (1.3), где L(x,y)= ax+by+g, a, b, g – постоянные:

m(ax+by+a₁x²+2b₁xy)+n(cx+dy+2b₂xy+3b₁y²)=

=(mx+ny+p)( ax+by+g). (1.20)

Приравнивая в (1.20) коэффициенты при одинаковых степенях x^m yⁿ, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.18) и системы (1.1):

(a₁-a)m= 0, (1.21₁)

(2b₁-b)m+(2b₂-a)n=0, (1.21₂)

(3b₁-b)n=0; (1.21₃)

(a-g)m+cn-pa=0, (1.22₁)

bm+(d-g)n-bp= 0, (1.22₂)

pg= 0. (1.22₃)

Предположим, что кривая не проходит через начало координат, то есть p¹0. Тогда из условия (1.22₃) получаем, что g=0.

Условия (1.22₁), (1.22₂) запишутся в виде:

am+cn-pa=0, (1.23₁)

bm+dn-bp= 0. (1.23₂)

Из условий (1.21₁) и (1.21₃) имеем:

(a₁-a)m= 0,

(3b₁-b)n=0.

Пусть m¹0, тогда a₁-a=0 и

a=a₁, (1.24)

а при n¹0, получаем, что 3b₁-b=0 и

b=3b_1. (1.25)

Учитывая (1.24) и (1.25) из условия (1.21₂) находим выражение коэффициента m:

m=, (1.26)

а соотношение (1.23₁) даст значение коэффициента p:

p=. (1.27)

Из равенства (1.23₂), с учетом полученных выражений (1.26) и (1.27), находим условие на коэффициенты системы (1.1):

[3(a₁b₁-2b₁b₂) a+(2a₁b₂-a₁²) b-3b₁²c+a₁b₁d] n=0. (1.28)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.2 Система (1.1) имеет частный интеграл (1.18), коэффициенты которого выражаются формулами (1.26),(1.27), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношением (1.28) и c₁=a₂= 0, c₂= 3b₁.

  1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)

В разделах 1, 2 мы получили, что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:

(2ab₁-ba₁)[3(32a₁b₁b₂-15a₁²b₁-16b₁b₂²) a+(8a₁b₂²-18a₁²b₂+9a₁³) b+

24(a₁b₁²-b₁²b₂) c+(16a₁b₁b₂-15a₁²b₁) d]=0,

(2ab₁-ba₁)[12(7a₁b₁b₂-3a₁²b₁-4b₁b₂²) a²+6(3a₁b₁²-4b₁²b₂) ac+(3a₁²b₁-

-4a₁b₁b₂) bc+2(4a₁²b₂-3a₁³)bd –8a₁b₁²cd+4a₁²b₁d²]=0,

[3(a₁b₁-2b₁b₂) a+(2a₁b₂-a₁²) b-3b₁²c+a₁b₁d] n=0.

Причем b₁¹0, a₁¹0, 2b₁a-ba₁¹0.

Рассмотрим частный случай, т.е. будем предполагать, что коэффициенты

a₁=, b₁=1, b₂=0.

Следовательно, наши соотношения запишутся в виде:

a-b-3c+d=0, (1.30)

-a+b+6c-d=0, (1.31)

-a²+d²+ac+bc-bd-2cd=0. (1.32)

Выразим из условия (1.30) коэффициент c

c=a-b+d, (1.33)

подставим (1.33) в равенство (1.31), найдем коэффициент d

d=(-21a+b). (1.34)

Из условия (1.32), учитывая (1.33) и (1.34) находим

b=a.

Получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются по следующим формулам:

b=a,

c=-a, (1.35)

d=- a,

a₁=, b₁=1, a₂=0, c₁=0, b₂=0, c₂=3b₁=3.

Равенства (1.15), (1.26) и (1.27), при условии, что имеют место формулы (1.35), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.4) и (1.18):

a₂=12a, b₂= -a,

g₂=a, b₃=a²,

g₃= -a²,d=a³, (1.36)

m= -n, p= -an.

Теорема 1.3 Система (1.1) имеет два частных интеграла вида (1.4) и (1.18) с коэффициентами, определенными формулами (1.36), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.35).