Лекции по матану (III семестр) переходящие в шпоры

Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией Г, являющейся замкнутой непрерывной кривой. z = l(P) = f(x,y), P= (x,y) Î D – произвольные ф-ции определенные и ограниченные на D. Диаметром области D наз. наибольшее расстояние между граничными точками. Область D разбивается на n частых областей D1…Dn конечным числом произв. кривых. Если S – площадь D, то DSi – площадь каждой частной области. Наибольший из диаметров областей обозн l. В каждой частной области Di возьмем произв. точку Pi (xi , Di) Î Di, наз. промежуточной. Если диаметр разбиения D l à 0 , то число n областей Di à ¥. Вычислим зн-ие ф-ции в промежуточных точках и составим сумму:I = f(xi, Di)DSi (1), наз. интегральной суммой ф-ции. Ф-ция f(x,y) наз. интегрируемой в области D если существует конечный предел интегральной суммы.

Двойным интегралом ф-ии f(x,y) по области D наз. предел интегральной суммы при l à 0. Обозн:

или

2 Понятие числового

ряда и его суммы

Пусть задана бесконечная последовательность чисел u1, u2, u3…

Выражение u1+ u2+ u3…+ un (1) называется числовым рядом, а числа его составляющие- членами ряда.

Сумма конечно числа n первых членов ряда называется n-ной частичной суммой ряда: Sn = u1+..+un

Если сущ. конечный предел: , то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится, если такого предела не существует, то говорят что ряд расходится и суммы не имеет.

№ 2

1 Условие существования

двойного интеграла

Необходимое, но недостаточное:

Ф-ция f(x,y) интегрируема на замкнутой области D, ограничена на D.

1 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) непрерывна на замкнутой, огр. области D, то она интегрируема на D.

2 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) ограничена в замкнутой области D с какой-то границей и непрерывна в ней за исключением отдельных точек и гладки=х прямых в конечном числе где она может иметь разрыв, то она интегрируема на D.

Ряд состоящий из членов бесконечной геометрической прогрессии наз. геометрическим:  или

а+ а×q +…+a×q^n-1

a ¹ 0 первый член q – знаменатель. Сумма ряда:

следовательно конечный предел последовательности частных сумм ряда зависит от величины q

Возможны случаи:

1 |q|<1

т. е. ряд схд-ся и его сумма 2 |q|>1  и предел суммы так же равен бесконечности

т. е. ряд расходится.

3 при q = 1 получается ряд: а+а+…+а… Sn = n×a  ряд расходится

4 при q¹1 ряд имеет вид: а-а+а … (-1)^n-1a Sn=0 при n четном, Sn=a при n нечетном предела частных суммы не существует. ряд расходится.

Рассмотрим ряд из бесконечных членов арифметической прогрессии: u – первый член, d – разность. Сумма ряда

при любых u1 и d одновременно ¹ 0 и ряд всегда расходится.

№3

1 Основные св-ва 2ного интеграла

1. Двойной интеграл по области D = площади этой области.

2. Если область G содержится в Д, а ф-ция ограничена и интегрируема в Д, то она интегрируема и в G.

3. Аддитивное св-во. Если область Д при помощи кривой г разбивают на 2 области Д1 и Д2, не имеющих общих внутренних точек, то:

4. константы выносятся за знак интеграла, а сумму в ф-ции можно представить в виде суммы интегралов:

5. Если ф-ции f и g интегрируемы в Д, то их произведение также интегрируемо в Д. Если g(x,y) ¹ 0 то и f/g интегрируема в Д.

6. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в Д и всюду в этой области f(x,y) <= g(x,y), то:

В частности: g(x,y) >=0 то и

7. Оценка абсолютной величины интеграла: если f(x,y) интегрируема в Д, то и |f(x,y)| интегрир. в Д причем

обратное утверждение неверно, итз интегрируемости |f| не следует интегрируемость f.