Разложение ф-ций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена

2 Разложение ф-ций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть(1) сходится при |x-x0|<R а его сумма является ф-лой f(x)= (2) В этом случае говорят, что ф-ция f(x) разложена в степенной ряд. (1) .

Т1 Если ф-ция f распространяется в некоторой окрестности т. х0 f(x)= , то

и справедлива формула: (15) Если в некоторой окрестности заданной точки ф-ция распадается в степенной ряд, то это разложение единственно.

Пусть дествит. ф-ция f определена в некоторой окрестности т. х0 и имеет в этой точке производные всех порядков, тогда ряд:(6) наз рядом Тейлора ф-ции f в т, х0

При х0=0 ряд Тейлора принимает вид:

(6’) и называется ряд Маклорена.

Ряд Тейлора может:

1 Расходится всюду, кроме х=х0

2 Сходится, но не к исходной ф-ции f(x), а к какой-нибудь другой.

3 Сходится к исходной ф-ции f(x)

Бесконечная дифференцируемость ф-ции f(x) в какой-то т. х0 является необходимым условием разложимости ф-ции в ряд Тейлора, но не является достаточным. Для введения дополнительных условий треб. ф-ла Тейлора.

Т2 Если ф-ция f(x) (n+1) раз дифференцируема на интервале (x0-h, x0+h) h>0, то для всех x Î (x0-h, x0+h) имеет место ф-ла Тейлора:

где остаток r_n(x) можно записать:

(8)

(9) Формула (8) наз остаточным членом ф-лы Тейлора в интегральной форме. Ф-ла (9) – формулой Лагранжа.

Преобразуя ф-лу Тейлора при х0 = 0 получаем ф-лу Маклорена.

Т3 Если ф-ция f(x) имеет в окрестности т х0 производные любого порядка и все они ограниченны одним и тем же числом С, т е " x Î U(x0) |f⁽ⁿ⁾(x)|<=C, то ряд Тейлора этой ф-ции сходится в ф-ции f(x) для всех х из этой окрестности.

№17

Сия очень полезная в сельском хозяйстве формула устанавливает связь между криволинейными и двойными интегралами.

Пусть имеется некоторая правильная замкнутая область Д, ограниченная контуром L и пущая ф-ции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными: в данной области. тогда имеет место ф-ла:

И вот вся эта фигулина и есть формула Грина.

Контур L определяющий область д может быть задан показательными уравнениями х = х1(у), х=х2(у) с<=y<=d x1(y)<=x2(y) или

y = y1(x), y=y2(x) a<=x<=b y1(x)<=y2(x).

Рассмотрим область Д ограниченную неравенствами: a<=x<=b и y1(x)<=y2(x). и преобразуем двойной интеграл  к криволинейным для чего сведем его к повторному и ф-ле Невтона-Лыебница выполним интегрирование по у и получим:

каждый из 2 определенных интегралов в правой части последнего равенства = криволинейному интегралу 2 рода взятому по соответствующей кривой а именно:

Итак двойной интеграл:

Формула Грина остается справедливой для всякой замкнутой области Д, которую можно разбить проведением дополнительных линий на конечной число правильных замкнутых областей.

2 Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена)

1Разложение ф-ции е^х

 ряд Маклорена.

радиус сходимости:

R=¥ следовательно ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.

2Разложение sinx и cosx В степенной ряд Маклорена

сходится на всей числовой оси

 сходится на всей числовой оси

3. f(x) = (1+x)^a

Наз. биномиальный ряд с показателем a Различают 2 случая:

1- a Î N, тогда при любом х все члены ф-лы исчезают, начиная с (a +2) поэтому ряд Маклорена содержит конечное число членов и сходится при всех х. Получается формула Бинома Невтона: , где  биномиальный коэффициент.

2- a Î R>N (a ¹ 0 х ¹ 0) и ряд сходится абсолютно при |x|>1

4 Разложение ф-ции ln(1+x)

сходится при –1<x<=1

5 Разложение arctgx в степенной ряд Маклорена

сходится при -1<=x<=1

№18

1 Некоторые приложения криволинейных интегралов 1 рода.

1.Интеграл - длине дуги АВ

2.Механический смысл интеграла 1 рода.

Если f(x,y) = r(x,y) – линейная плотность материальной дуги, то ее масса:

для пространственной там буква зю добавляется.

3.Координаты центра масс материальной дуги:

4. Момент инерции дуги лежащей в плоскости оху относительно начала координат и осей вращения ох, оу:

5. Геометрический смысл интеграла 1 рода

Пусть ф-ция z = f(x,y) – имеет размерность длины f(x,y)>=0 во всех точках материальной дуги лежащей в плоскости оху тогда:

, где S – площадь цилиндрической поверхности, кот состоит из перпендикуляров плоскости оху, восст в точках М(x,y) кривой АВ.

2 Геометрические и арифметические ряды.

№19

1 Некоторые приложения криволинейных интегралов 2 рода.

Вычисление площади плоской области Д с границей L

2.Работа силы. Пусть материальная т очка под действием силы перемещается вдоль непрерывной плоской кривой ВС, направясь от В к С, работа этой силы:

при пространственной кривой там исчо третья функция появитца для буквы зю.

2 Свойства сходящихся рядов

№20

1 Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования.

Плоская область W наз односвязной если не имеет дыр. т. е. однородная.

Пусть ф-ция P(x,y) и Q(x,y)вместе со своими частными производными непрерывны в некоторой замкнутой, односвязной области W тогда следующие 4 условия эквиваленты, т. е. выполнение какого либо из них влечет остальные 3.

1. Для " замкнутой кусочногладкой кривой L в W значение криволинейного интеграла:

2. Для все т. А и т. В области W значение интеграла

не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего в W.

3. Выражение Pdx+Qdy представляет собой полный дифференциал некоторых функций определенных в W существует ф-ция E=c(х,у) опред в W такая, что dE = Pdx+Pdy

4. В области W

Отседова следовает, что условие 3 является необходимым и достаточным условием при котором интегралы 2 рода не зависят от выбора пути интегрирования.