Признаки сравнения

2 Признаки сравнения

Т(Признаки сравнения)

Пущай  и  ряды с неотрицательными членами и для любого n выполняется нер-во:

un<=vn (1)тогда

1 Если ряд vn сходится, то сходится и ряд un

2 если ряд un расходится, то расходится и ряд vn. Т. е. говоря простыми русскими словами для простых русских людей (ну для дураков вроде тебя): Из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими, а из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимости ряда с большими и не наоборот!!!

Причем можно требовать, чтобы неравенство (1) выполнялось не для всех номеров n, а начиная с некоторого n0, т. е. для некоторых номеров меньших n0 неравенство (1) может и не выполняться. При применении сего признака сравнения удобно в качестве ряда сравнения брать ряд Дирихле или геометрический ряд, с которыми и так уже все ясно.

Т3 Засекреченная

Если сущ вышеописанные неотр. ряды, то если сущ предел:

 (0<k<+¥) тада оба эти ряда сходятся.

№7

Если Д правильная в направлении оу a<=x<=b, y1(x)<=y<=y2(x), то

Если Д огр линиями в полярных координатах, то

2 Признаки Даламбера и Коши

Т(Признак Далембера)

Пущай для ряда un с положит членами существует предел:

, то

1 Если k<1, то ряд сходится

2 Если k>1 ряд расходится

Т(Признак Коши)

Пусть для того же самого ряда (т. е. положительного) существует предел:, тогда

1 Если k<1, то ряд сходится

2 Если k>1 ряд расходится

А вот если эти все пределы по Коши и дедушке Даламберу равны 1, то о сходимости или расходимости ряда ничего сказать низзя. Вот низзя и все тут. Вот.

№8

с помощью 2ного интеграла

Рассматривая в пространстве тело Р, огр снизу плоскостью оху, сверху z = f(x,y), кот проектируется в Д, сбоку границей области Д, называемое криволинейным цилиндром. Объем этого тела вычисляют по формуле:

если f(x,y)<=0 в Д тор тело находится под плоскостью оху. Его объем равен объему цилиндрического тела. огр сверху ф-цией:

z = |f(x,y)|>=0.

тогда

если в Д ф-ция меняет знак, то область разбивается на 2. Область Д1, f(x,y)>=0; Д2, f(x,y)<=0, тогда:

2 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Ряд называется знакочередующимся если каждая пара соседних членов имеет разные знаки (один ♀, другой ♂), если считать каждый член сего ряда положительным то его можно записать в виде:  

Т (Признак Лейбница)

Если для знакочередующегося ряды выполняются условия:

1) u1>=u2>=u3…>=un>=un+1…

2)

то ряд сходится, а его сумма и остаток rn удовлетворяют неравенствам: 0<=S<=un и |r_n|<=un+1

Ряд удовлетворяющий условиям теоремы наз. рядом Лейбница.

Если условие чередования знаков выполняется не с первого члена, а с какого-нибудь исчо, то при существовании равного 0 предела ряд будет также сходится.

№9

площади поверхности

с помощью двойного интеграла.

Пусть дана кривая поверхность Р, заданная ур-ями z = f(x,y) и имеющая границу Г, проецирующуюся на плоскость оху в область Д. Если в этой области ф-ция f×(x,y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные: тогда площадь поверхности Р вычисляется:

для ф-ций вида x = m (y,z) или y = j(x,z) там будут тока букыв в частных производных менятца ну и dxdy.

2 Знакопеременные ряды.

Абсолютная и условная

сходимость рядов.

Ряд называют знакопеременным, если его членами являются действительные числа, а знаки его членов могут меняться как кому в голову взбредет. Пусть дан ряд:

u1+u2…+un=(1), где un – может быть как положительным, так и отрицательным. Рассмотрим ряд состоящий из абсолютных значений этого ряда:

|u1|+|u2|…+|un|=(2),

Если сходится ряд (2), то ряд (1) называют абсолютно сходящимся, а вот если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится. то ряд (1) наз сходящимся условно.

Т. Признак абсолютной сходимости:

Если знакочередующийся ряд сходится условно. то он и просто так сходится, при этом:

<=

Доквы:

т. к. 0<=|un|+un<=2|un|, то по признаку сравнения сходится ряд |un|+un, тогда сходится ряд: (|un|+un)-|un|=un. Далее, т. к. по св-ву абсолютной величины |Sn|=|u1+u2+…+un|<=|un| " n Î N, то переходя к пределу получим:

<=

Т2 Если ряд (1) абсолютно сходится, то и любой ряд составленный из тех же членов, но в любом другом порядке тоже абсолютно сходится и его сумма равна сумме ряда un – Sn. А вот с условно сходящимися рядами все гораздо запущенней.

Т(Римана)

Если знакопеременный ряд с действительными членами сходится условно, то каким бы ни было дейст. число S можно так переставить члены ряда, что его сумма станет равна S, т. е. сумма неабсолютно сходящегося ряда зависит от порядка слагаемых

№10