Теорема о среднем значении

8. Теорема о среднем значении.

Если ф-ция f(x,y) интегр. в Д., то в этой области найдется такая точка (x, h) Î Д, что:

(2), где S – площадь фигуры Д. Значение f(x, h) опред по ф-ле (2) наз. средним значением ф-ции f по области Д.

2 С-ва сходящихся рядов

Пусть даны два ряда: u1+u2+…un =(1) и v1+v2+…vn = (2)

Произведением ряда (1) на число l Î R наз ряд: lu1+lu2+…lun =(3)

Суммой рядов (1) и (2) наз ряд:

(u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn) =  (для разности там только - появица)

Т1 Об общем множителе

Если ряд (1) сходится и его сумма = S, то для любого числа l ряд =l × тоже сходится и его сумма S’ = S×l Если ряд (1) расходится и l ¹ 0, то и ряд  тоже расходится. Т. е. общий множитель не влияет на расходимости ряда.

Т2 Если ряды (1) и (2) сходятся, а их суммы = соотв S и S’, то и ряд:  тоже сходится и если s его сумма, то s = S+S’. Т. е. сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать. Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то их сумма(или разность) тоже расходится. А вот если оба ряда расходятся. то ихняя сумма (или разность)может как расходится (если un=vn) так и сходиться (если un=¹vn)

Для ряда (1) ряд называется n – ным остатком ряда. Если нный остаток ряда сходится, то его сумму будем обозначать: r_n =

Т3 Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится, если какой либо остаток ряда сходится, то сходится и сам ряд. Причем полная сумма = частичная сумма ряда Sn + r_n

Изменение, а также отбрасывание или добавление конечного числа членов не влияет на сходимость (расходимость) ряда.

№4

2ного интеграла к повторному

Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)<= у2(х) на всем отрезке.

D={x,y}: a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x)

Отрезок [a,b] – проекция Д на ось ох. Для такой области людбая прямая, параллельная оу и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает границу области не более чем в 2 точках. Такая область наз. правильной в направлении оси оу.

Если фция f(x,y) задана на Д и при каждом х Î [a,b] непрерывна на у , на отрезке, [y1(x),y2(x)], то фц-ия F(x) = , наз. интегралом, зависящим от параметра I, а интеграл : , наз повторным интегралом от ф-ции f(x,y) на области Д. Итак, повторный интеграл вычисляется путем последовательного вычисления обычных определенных интегралов сначала по одной., а затем по другой переменной.

признак сходимости рядов

Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю:

Док-во:

Sn=u1+u2+…+un

Sn-1\u1+u2+…+un-1

un=Sn-Sn-1, поэтому:

Сей признак является только необходимым, но не является достаточным., т. е. если предел общегоь члена и равен нулю совершенно необязательно чтобы ряд при этом сходился. Следовательно, вот сие условие при его невыполнении является зато достаточным условием расходимости ряда.

№5

Пусть существует ф-ция f(x,y) интегр на области Д, можно прямолинейные координаты x, y с помощью формул преобразования перейти к криволинейным: x = x(u,v), y=y(u,v), где эти ф-ции непрерывные вместе с частными производными первого порядка, устанавливают взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками плоской области Д и области Д’ и определитель преобразования, наз. Якобианом не обращается в 0:если это выполняется можно пользоваться ф-лой:

2 Интегральный признак

сходимости ряда. Ряд Дирихле

Т1 Пущай дан рядт (1), члены которого неотрицательны, и не возрастают: u1>=u2>=u3…>=un

Если существует ф-ция f(x) неотрицательная, непрерывная и не возрастающая на [1,+¥] такая, что f(n) = Un, " n Î N, то для сходимости ряда (1) необходимо унд достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл:, а для расходимости достаточно и необходимо чтобы сей интеграл наоборот расходился (ВАУ!).

Применим сей признак для исследования ряда Дирихле: Вот он: , a Î R Сей ряд называют обобщенным гармоническим рядом, при a >0 общий член оного un=1/n^a à0 и убывает поэтому можно воспользоваться интегральным признаком, функцией здеся будет ф-ция f(x)=1/x^a (x>=1)сия ф-ция удовлетворяет условиям теоремы 1 поэтому сходимость (расходимости) ряда Дирихле равнозначна сходимости расходимости интеграла:

Возможны три случая:

1 a >1,

Интеграл а потому и ряд сходится.

2 0<a<1,

Интеграл и ряд расходится

3 a=1,

Интеграл и ряд расходится

№ 6

в полярных координатах

Переход к полярным координатам частный случай замены переменных.

Луч, проходящий из произв точки О имеет на плоскости полярные координаты A(r, j) где r = |ОA| расстояние от О до А полярный радиус. j = угол между векторами ОА и ОР – полярный угол отсчитываемой от полярной оси против часовой стрелки. всегда 0<=r<=+¥, 0<=j <=2p .

Зависимость между прямоугольными и полярными координатами: x = r×cosj , y = r×sinj .

Якобиан преобразования будет равен:

И формула при переходе примет вид: