Доказательство формулы e=

15. Доказательство формулы e=...

y_N=; z_N=y_N +

1) y_N монотонно растет

2) y_Nn₀ 00. Тогда Lim f(x) в точке х₀ существует когда cуществуют правый и левый предел f(x) в точке х₀ и они равны между собой.

Необходимость: Пусть предел f(х) существует и равен А => Е>0   >0: - f(х) попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А) => правый предел существует и он равен А. Если х попадает в интервал (x₀-,0) => x попадает в интервал (x₀-,x₀+) => f(х) попадает в интер вал (f(х)-А,f(х)+А) => левый предел существует и он равен А.

Достаточность: Lim (х₀|h|) при h0: Lim(х₀+|h|) = Lim(х₀-|h|)=А

Е>0  ’ >0: 00: -”1 при z>0, то a^X a^Z=(a^1/N)^M => a^1/N>1 => (a^1/N)^M>1 => a^X*(a^Z-1)>1, (a>1 n>0)

5) при x0 a^X1 (xR)

Т.к. Lim a^1/N=1 (n), очевидно, что и Lim a^-1/N=Lim1/a^1/N=1 (n). Поэтому Е>0 n₀: n>n₀ 1-E a^X * a^Y = a^X+Y

2) a^X / a^Y = a^X-Y

3) (a^X)^Y=a^X*Y

x_Nx, y_Ky => (a^Xn)^Yk = a^Xn*Yk => (n) (a^X)^Yk=a^X*Yk =>(k) (a^X)^Y=a^X*Y

4) x a^X1) - монотонность.

x x_N a^Xn < a^X’n => (n) a^Xa^X’- монотонна

x-x`>q>0 => a^X-X’ a^Q>1 => a^X-X’1 => aX0 n₀: n>n₀ 1-E0 k₀: n>n₀ 0k₀ => n_K>n₀ => 0 (1+1/z_K+1)^Zk+1/(1+1/z_K+1) < (1+x_K)^1/Xk < (1+1/z_K)^Zk*(1+1/z_K) kучитывая, что: (1+1/z_K)1 (1+1/z_K+1)1 => получаем:

eLim (1+x_K)^1/Xke => Lim (1+x_K)^1/Xk=e => Lim (1+x)^1/X=e при x0+

Lim (1+x_K)^1/Xk при x0-:

y_K=-x_K0+ => доказываем аналогично предыдущему => получаем Lim (1+x)^1/X=e при x0-

Видим что правый и левый пределы совпадают => Lim (1+x)^1/X=e при x0

2) n lim (1+x/n)^N = (lim (1+x/n)^N/X)^X = e^X

3) xx^ R - непрерывна

x^=(e^{Ln x})^=e^{*Ln x}

непр непр непр непр

xLn x*Ln^{*Ln x} => xe^{*Ln x}

4) x0 Lim (Ln (1+x))/x = Lim Ln (1+x)^1/X = Ln e = 1

4’) x0 Lim Log_A(1+x)^1/X = 1/Ln a

5) x0 Lim (e^X-1)/x = {e^X-1=t} = Lim t/Ln(1+t) => (4) = 1/1 = 1

5’) x0 Lim (a^X-1)/x = Ln a

6) x0 Lim ((1+x)^-1)/x = Lim ([e^*^{Ln (1+x)} -1/[Ln(1+x)]Ln (1+x)]/x = 11=

34.Теорема Вейрштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке.

Функция хf(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в каждой точке х этого множества.

Теорема: Функция непрерывная на отрезке [a,b], является ограниченной на этом отрезке (1 теорема Вейрштрасса) и имеет на нем наибольшее и наимень шее значение (2 теорема Вейрштрасса).

Доказательство: Пусть m=Sup{f(x):x[a,b]}. Если f не ограничена сверху на [a,b], то m=, иначе mR. Выберем произвольную возрастающую посл-ть (с_N), такую что Lim c_N=m. Т.к. nN: c_N [a,b].

Для mR - по теореме о том, что предел произвольной подпосл-ти равен пределу посл-ти получаем c_Knm.

Для m=+ - по Лемме о том что всякая подпосл-ть бб посл-ти явл-ся бб посл-тью получаем c_Knm. Переходя к пределу в нер-вах c_Kn f()=m - что и означает что функция f ограничена сверху и достигает верхней

граница в точке . Существование точки =Inf{f(x):x[a,b]} доказывается аналогично.

Похожие работы

Билеты по математическому анализу

Скачать

46169

0

217

... и докажите сходимость полученного разложения к порождающей функции. Исследовать на абсолютную и условную сходимость . Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Билет № 12 Сформулируйте теорему Ролля и объясните ее геометрический смысл. Исследуйте функцию на выпуклость и вогнутость. Какая ...

Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа

Скачать

31365

0

0

... «Математических лекциях о методе интеграла»[9]. Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.   2 Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа   Леонард Эйлер (Euler, Leonhard) (1707–1783) входит в первую пятерку величайших математиков всех времен и народов. Родился в Базеле (Швейцария) 15 апреля ...

О полноте систем упражнений по математическому анализу

Скачать

28459

2

2

... педагогически значимого подмножества, на основе которого можно было бы провести углубленное изучение понятия экстремума в его взаимосвязях с другими понятиями математического анализа. Во-вторых, объективно получается, что традиционные коллекции упражнений созданы не столько для изучения понятия экстремума, сколько для иллюстрации методов дифференциального исчисления для его отыскания. Этого вполне ...

Аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа. Анализ одномерного временного ряда

Скачать

17837

7

5

... решений целевая функция принимает в точке (0; 6), и это значение равно .     рис. 1 - Графическое решение задачи линейного программирования ЗАДАЧА 2   Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. ...