Навигация
Курс лекций по дисциплине
«Матричный анализ»
для студентов II курса
математического факультета специальности
«Экономическая кибернетика»
(лектор Дмитрук Мария Александровна)
Глава 3. Функции от матриц.
1. Определение функции.
Df. Пусть 
– функция скалярного аргумента. Требуется определить, что понимать под f(A), т.е. нужно распространить функцию f(x) на матричное значение аргумента.
Решение этой задачи известно, когда f(x) – многочлен: 
, тогда 
.
Определение f(A) в общем случае.
Пусть m(x) – минимальный многочлен А и он имеет такое каноническое разложение 
, 
, 
– собственные значения А. Пусть многочлены g(x) и h(x) принимают одинаковые значения.
Пусть g(A)=h(A) (1), тогда многочлен d(x)=g(x)-h(x) – аннулирующий многочлен для А, так как d(A)=0, следовательно, d(x) делится на линейный многочлен, т.е. d(x)=m(x)*q(x) (2).
Тогда 
, т.е. 
(3), 
, 
, 
.
Условимся m чисел для f(x) таких 
называть значениями функции f(x) на спектре матрицы А, а множество этих значений будем обозначать 
.
Если множество f(Sp A) определено для f(x), то функция определена на спектре матрицы А.
Из (3) следует, что многочлены h(x) и g(x) имеют одинаковые значения на спектре матрицы А.
Наши рассуждения обратимы, т.е. из (3) Þ (3) Þ (1). Таким образом, если задана матрица А, то значение многочлена f(x) вполне определяется значениями этого многочлена на спектре матрицы А, т.е. все многочлены gi(x), принимающие одинаковые значения на спектре матрицы имеют одинаковые матричные значения gi(A). Потребуем, чтобы определение значения f(A) в общем случае подчинялось такому же принципу.
Значения функции f(x) на спектре матрицы А должны полносильно определить f(A), т.е. функции, имеющие одни и те же значения на спектре должны иметь одно и то же матричное значение f(A). Очевидно, что для определения f(A) в общем случае, достаточно найти многочлен g(x), который бы принимал те же значения на спектре А, что и функция f(A)=g(A).
Df. Если f(x) определена на спектре матрицы А, то f(A)=g(A), где g(A) – многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и f(A), 
Df. Значением функции от матрицы А назовем значение многочлена от этой матрицы при .
Среди многочленов из С[x], принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, что и f(x), степени не выше (m-1), принимающий одинаковые значения на спектре А, что и f(x) – это остаток от деления любого многочлена g(x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и f(x), на минимальный многочлен m(x)=g(x)=m(x)*g(x)+r(x).
Этот многочлен r(x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра для функции f(x) на спектре матрицы А.
Замечание. Если минимальный многочлен m(x) матрицы А не имеет кратных корней, т.е. 
, то значение функции на спектре 
.
Пример:
Найти r(x) для произвольной f(x), если матрица
. Построим f(H1). Найдем минимальный многочлен H1 – последний инвариантный множитель [xE-H1]:
, dn-1=x2; dn-1=1;
mx=fn(x)=dn(x)/dn-1(x)=xnÞ 0 – n –кратный корень m(x), т.е. n-кратные собственные значения H1.
, r(0)=f(0), r’(0)=f’(0),…,r(n-1)(0)=f(n-1)(0) Þ 
.
Похожие работы
... Тройка является решением игры <=>, когда является решением игры , где а – любое вещественное число, к>0 ГЛАВА 2. Игры с нулевой суммой в чистых стратегиях 2.1 Вычисление оптимальных стратегий на примере решения задач Используя теорему о минимаксе, можно утверждать, что каждая антагонистическая игра имеет оптимальные стратегии. Теорема: пусть А – матричная игра и строки данной ...
... -картину, не соответствующие ей, являются кандидатами на исключение из сферы деятельности корпорации. 5. Разработка корпоративной стратегии Предшествующий анализ подготовил почву для разработки стратегических шагов по улучшению деятельности диверсифицированной компании. Основное заключение о том, что делать, зависит от выводов, касающихся всего набора видов деятельности в хозяйственном ...
... систему сканирования, как средняя или даже крупная. Однако ряд других исследователей доказали наличие позитивной корреляционной взаимосвязи между размером фирмы и характером анализа макроокружения предприятия. Для эффективности деятельности организации чрезвычайно важно стратегическое видение ее руководителя, сложившееся на основе проведенного анализа макроокружения предприятия. С точки зрения, ...
... тенденции изменения показателя может быть единственным возможным способом прогнозирования (рис. 2.1) [4, c.35]. Рис. 2.1. Пример экстраполяции показателя 3. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ Основа всех приемов оптимизации – нахождение экстремума функции при заданных ограничениях. Например, нахождение максимума прибыли при ...
0 комментариев