F(x)=1

1.   f(x)=1

E=1Z₁₁+0Z₁₂+1Z₂₁=Z₁₁+Z₂₁

2.   f(x)=x-4

A-4E=0Z₁₁+1Z₁₂₊(-2₎Z₂₁=Z₁₂-2Z₂₁

3.   f(x)=(x-4)²

(A-4E)²=4Z₂₁

.

Таким образом, для любой функции f(x), определенное на спектре матрицы А

.

 

Пример 2.

Найти компоненты для матрицы

.

Найдем минимальный многочлен матрицы А.

1.   f(x)=1

E=Z₁₁+Z₂₁+Z₃₁

2.   f(x)=x+1

(A+E)=2Z₂₁+Z₃₁+Z₁₂

3.   f(x)=(x+1)²

(A+E)²=4Z₂₁+Z₃₁

4.   f(x)=x-1

A-E=-2Z₁₁+Z₁₂-Z₃₁

1. f(x)=1 E=Z₁₁+Z₂₁+Z₃₁

2. f(x)=x+1 A+E=Z₁₁Z₂₂+2Z₃₁

3. f(x)=(x+1)² (A+E)²=Z₁₁+4Z₃₁

4. f(x)=x-1 (A-E)=-Z₁₁-2Z₂₁+Z₂₂

Z₃₁=A

-Z₂₂=(A+E)²-E-3A

Z₁₂=Z₂₂

Z₁₁=(E-A)-Z₂₂

6.Определенные матрицы.

Эрмитовы и квадратичные матрицы.

Пусть А – эрмитова матрица (А^*=А).

Рассмотрим функцию h(x) – действительная функция комплексного аргумента.

Рассмотрим:

DF. Функция , где А – эрмитова матрица, называется эрмитовой формой от n переменных x₁, …, x_n, где А – матрица эрмитовой формы.

Очевидно, что если А – действительная симметрическая матрица, то в этом случае получаем квадратичную форму .

Для каждой эрмитовой (квадратичной) формы инвариантами являются: ранг (число не нулевых коэффициентов в квадратичной форме нормального вида совпадающих с рангом матрицы А), p (индекс) – число положительных коэффициентов в квадратичной форме нормального вида, оно совпадает с числом положительных собственных значений, сигнатура. Эти числа r, p, гр-r не зависят от тех преобразований, которые совершаются над данными формами.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением только квадратичных форм. Нас интересуют 2 семейства матриц.

DF. Действительная симметрическая матрица А называется положительно определенной, если  для .

DF. Действительная симметрическая матрица А называется неотрицательно определенной, если  для .

Оба типа матриц относятся к классу определенных матриц. Заметим, что положительно определенная матрица невырожденная, т.е. если предположить, что она вырожденная, то , , что противоречит условию.

Теорема № 1. Действительная симметрическая матрица n-го порядка будет определенной ранга  тогда и только тогда , когда она имеет r положительных собственных значений, а остальные (n-r) – собственные значения равны 0.

Теорема № 2. Действительная симметрическая матрица положительна определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.

Теорема № 3. Действительная симметрическая матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.

7.Неотрицательные матрицы.

DF. Матрица  называется неотрицательной, если каждый ее элемент положителен.

Квадратные матрицы такого типа возникают во множестве задач и это определяющее свойство приводит к сильным результатам об их строении. Теорема Фробениуса-Перона является основным результатом для неотрицательных матриц.

Пусть матрицы . Будем говорить, что , если б в частности A>B, если .

Вспомним матрицу перестановки , т.е. матрицы перестановки обязательно ортогональны. Произведение  приводит к перестановке столбцов матрицы А.

DF. При  матрица  называется приводимой матрицей, если существует такая матрица перестановки Р, что  совподает с матрицей , где А₁₁, А₁₂, А₂₂ – квадратные матрицы меньшего чем n порядка. Если матрица Р не существует, то матрица А называется неприводимой.

Понятие приводимости имеет значение при решении матричных уравнений  , ибо если Ф – приводима, то осуществив замену переменных, которую подсказывают равенства , получаем

, где , .

 и решаем матричное уравнение с матрицей более низкого порядка. Затем,  и решаем матричное уравнение. Таким образом, если А – приводима, то решение уравнения высокого порядка сводится к решению уравнений более низкого порядка, при чем собственные значения матриц А₁₁ и А₂₂ в своей совокупности составляет множество значений матрицы А.

Интересно, что явление приводимости не связано с величиной матрицы, а зависит лишь от расположения нулевых элементов в матрице.

В связи с этим, используют идею направленного графа матрицы, которую можно взять в качестве характеризации неприводимости матрицы. Наметим первые шаги тоерии и получим вторую характеризацию неприводимости матриц.

DF. Пусть р₁, р₂, …, р_n – n различных точек комплексной плоскости и . Для каждого нулевого элемента матрицы А  составим направленную линию от р_i к р_j. Получающаяся в результате фигура на комплексной плоскости называется направленным графом матрицы.

Например:

DF. Говорят, что любой направленный граф связен, если для каждой пары точек  существует направленный путь .

Легко доказать, что квадратная матрица неприводима тогда и только тогда, когда ее граф является связным.

8.Теорема Фробениуса-Перона.

Очевидно, что если , то для  . Более того, мы покажем, что для достаточно больших p .

Лемма № 1. Если матрица  неотрицательна и неприводима, то .

Доказательство:

Если взять произвольный вектор  и , то . И пусть вектор  имеет место, очевидно, что Z имеет по крайней мере столько же нулевых положительных элементов, что и y. В самом деле, если предположить, что Z имеет меньше нулевых компонент, то обозначим , тогда  и разбив матрицу А на блоки следующим образом

 мы будем иметь .

Учитывая, что , то , тогда получаем, что , что противоречит неприводимости матрицы.

Для следующего вектора повторим рассуждения и т.д. В итоге получим, что для некоторого ненулевого вектора y .

ЧТД.

Для ненулевой неприводимой матрицы А рассмотрим действительную функцию r(x), определенную для ненулевых векторов  следующим образом: , (Ax)_i – i-я координата вектора Ах.

. Из определения следует, что  и кроме того, r(x) –такое наименьшее значение , что .

Очевидно, что r(x) инвариантна относительна замены x на , поэтому в дальнейшем можно рассматривать замкнутое множество , такое .

Однако, r(x) может иметь разрывы в точках, где координата x обращается в 0, поэтому рассмотрим множество векторов  и обозначим . По лемме № 1 каждый вектор из N будет положительным, а поэтому т.е. для .

Обозначим через  наибольшее число, для которого , .  – спектральный радиус матрицы А. Если  Можно показать, что существует вектор y, что .

Замечание. Могут существовать и другие векторы в L для которых r(x) принимает значение r, поэтому любой такой вектор называется экстремальным для матрицы А (Az=rz).

Интерес к числу r объясняется следующим результатом.

Лемма № 2. Если матрица  неотрицательна и неприводима, то число  является собственным значением матрицы А, кроме того каждый экстремальный вектор для А положителен и является правым собственным вектором для А, отвечающим собственному значению r.

Основным результатом является теорема Фробениуса-Перона для непрерывных матриц.

Теорема Фробениуса-Перона. Если матрица  неотрицательна и неприводима, то:

1.    А имеет положительное собственное значение, равное спектральному радиусу матрицы А;

2.    существует положительный правый собственный вектор, соответствующий собственному значению r.

3.    собственное значение имеет алгебраическую кратность равную 1.

Эта теорема была опубликована в 1912 году Фробениусом и явилась обобщением теоремы Перона, которая является следствием.

Теорме Перона (следствие). Положительная квадратная матрица А имеет положительное и действительное собственное значение r, имеющее алгебраическую кратность 1 и превосходит модули всех других собственных значений матрицы А. Этому r соответствует положительный собственный вектор.

Используя теорему Фробениуса-Перона, можно найти максимальное действительное значение матрицы, не используя характеристического многочлена матрицы.