Простые матрицы

4. Простые матрицы.

 

Пусть матрица , так как С алгебраически замкнутое поле, то характеристический многочлен , где , k_i – алгебраическая кратность корня .

Обозначим множество векторов удовлетворяющих собственному значению  - подпространство, , где r – ранг матрицы .

Теорема. Если квадратная матрица А имеет собственное значение , а матрица  имеет , то  имеет кратность .

DF. Размерность  называется геометрической кратностью собственного значения .

В свете этого определения теорема переформулируется следующим образом:

Теорема. Алгебраическая кратность собственного значения не меньше его геометрической кратности.

DF. Матрица  называется простой, если аглебраическая кратность каждого ее собственного значения совпадает с его геометрической кратностью.

Из линейной алгебры следует, что матрица  простая тогда и только тогда, когда .

Если матрица А простая, тогда существует n линейно независимых собственных векторов x₁, x₂, …,x_n таких, что , для . Запишем это равенство в матричном виде:

, т.е. А – простая тогда и только тогда, когда  и .

Замечание. Обратим внимание на то, что собственные значения А и А’ совпадают. Действительно, собственные значения для А’ это значения . Таким образом характеристические многочлены матриц совпадают. Размерность , тогда . Поэтому, если  - собственное значение матрицы А, то и  является собственным значением матрицы А’, т.е. существует , что  (*) или . Транспонируем (*) и получим  (транспонируем это равенство). В этом случае называют левым собственным вектором матрицы А. Соответственно,  - называют правым собственным подпространством, - называют левым собственным подпространством.

Рассмотрим следующую конструкцию: если матрица А простая, то существует n линейно независимых собственных векторов x₁, x₂, …, x_n и существует n линейно независимых собственных векторов y₁, y₂,…,y_n, где x₁, x₂, …, x_n такие, что ,  (1); y₁, y₂,…,y_n такие, что  (2), .

Запишем равенство (1) в виде  (3) Þ что, если А – простая, то существуют матрицы X и Y, что  или  (**).

DF. Множества векторов x₁, x₂, …, x_n и y₁, y₂,…,y_n удовлетворяющие условию , т.е.  называются квазиортогональными.

Учитывая равенство (**) и определение делаем вывод: множества левых и правых собственных векторов простой матрицы А квазиортогональны и .

Очень важной для матриц является следующая теорема:

СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА. Если А – простая матрица порядка n над полем С и p(x) многочлен из кольца C[x], и x₁, x₂, …, x_n и y₁, y₂,…,y_n – множества правых и левых собственных векторов матрицы А, то , а сопутствующая матрица , где .

Следствие. Сопутствующие матрицы обладают следующими свойства:

1.  

2.  

3.  

Пример. Показать, что матрица  простая. Найти сопутствующие матрицы для матрицы А и использовать их для А²⁰, p(x)=x²⁰.

Решение:

Þ

существуют 2 линейно независимые правые и левые системы собственных векторов.

Найдем правые собственные векторы:

Найдем левые собственные векторы:

Найдем сопутствующие матрицы:

.

5.Спектральное разложение функции f(A).

Спектральное разложение для f(A) имеет важное значение и очевидно тесно примыкает к спектральной теореме для простых матриц.

Пусть дана матрица  и пусть , .

Теорема. Если , а функция f(x) определена на спектре матрицы А и  - значение j-й производной от f(x) в собственном значении , где , , то существуют такие независимые от f(x) матрицы , что (1) , при чем  коммутирует с матрицей А и образуют линейно независимую систему в пространстве

Доказательство: заметим, что  и , где  - базисные многочлены, принимающие одинаковые значения на спектре матрицы А,  (3). Сравнивая (1) и (2) и учитывая (3) получим, что . Матрицы  называются компонентами матрицы А или компонентными матрицами.

ЧТД.

Опишем следующие свойств компонентных матриц, которые в некоторой степени обобщают свойства сопровождающих матриц.

Теорема. Компонентные матрицы  обладают следующими свойствами:

1.  

2.  

3.  

4.   .

Замечание. Для того, чтобы найти компонентные матрицы для f(x) определенной на спектре матрицы А необходимо и достаточно знать базисные многочлены, входящие в интерполяционный многочлен, однако нахождение интерполяционного многочлена f(x) связано с некоторыми трудностями, а поэтому будем вычислять компонентные матрицы подбирая соответствующим образом системы функций.

Пример: Найти компоненты для матрицы .

.

Пусть f(x) определена на спектре А, тогда согласно спектральной теореме .