2. Свойства функций от матриц.
Свойство № 1. Если матрица имеет собственные значения (среди них могут быть и кратные), а , то собственными значениями матрицы f(A) являются собственные значения многочлена f(x): .
Доказательство:
Пусть характеристический многочлен матрицы А имеет вид:
, , . Посчитаем . Перейдем от равенства к определителям:
Сделаем замену в равенстве:
(*)
Равенство (*) справедливо для любого множества f(x), поэтому заменим многочлен f(x) на , получим:
.
Слева мы получили характеристический многочлен для матрицы f(A), разложенный справа на линейные множители, откуда следует, что – собственные значения матрицы f(A).
ЧТД.
Свойство № 2. Пусть матрица и – собственные значения матрицы А, f(x) – произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда собственные значения матрицы f(A) равны .
Доказательство:
Т.к. функция f(x) определена на спектре матрицы А, то существует интерполяционный многочлен матрицы r(x) такой, что , а тогда f(A)=r(A), а у матрицы r(A) собственными значениями по свойству № 1 будут которым соответственно равны .
ЧТД.
Свойство № 3. Если А и В подобные матрицы, , т.е. , и f(x) – произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда
Доказательство:
Т.к. А и В подобны, то их характеристические многочлены одинаковы Þ одинаковы и их собственные значения, поэтому значение f(x) на спектре матрицы А совпадает со значение функции f(x) на спектре матрицы В, при чем существует интерполяционный многочлен r(x) такой, что f(A)=r(A), , Þ .
ЧТД.
Свойство № 4. Если А – блочно-диагональная матрица , то
Следствие: Если , то , где f(x) – функция, определенная на спектре матрицы А.
4. Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.
Случай № 1.
Пусть дана . Рассмотрим первый случай: характеристический многочлен имеет ровно n корней, среди которых нет кратных, т.е. все собственные значения матрицы А различны, т.е. , Sp A – простой. В этом случае построим базисные многочлены lk(x):.
Пусть f(x) – функция, определенная на спектре матрицы А и значениями этой функции на спектре будут . Надо построить .
Построим:
.
Обратим внимание, что .
Пример: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для матрицы .
Построим базисные многочлены:
Тогда для функции f(x), определенной на спектре матрицы А, мы получим:
.
Возьмем , тогда интерполяционный многочлен
.
Случай № 2.
Характеристический многочлен матрицы А имеет кратные корни, но минимальный многочлен этой матрицы является делителем характеристического многочлена и имеет только простые корни, т.е. . В этом случае интерполяционный многочлен строится так же как и в предыдущем случае.
Случай № 3.
Рассмотрим общий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид:
,
где m1+m2+…+ms=m, deg r(x)<m.
Составим дробно-рациональную функцию:
и разложим ее на простейшие дроби.
Обозначим: . Умножим (*) на и получим
где – некоторая функция, не обращающаяся в бесконечность при .
Если в (**) положить , получим:
Для того, чтобы найти ak3 надо (**) продифференцировать дважды и т.д. Таким образом, коэффициент aki определяется однозначно.
После нахождения всех коэффициентов вернемся к (*), умножим на m(x) и получим интерполяционный многочлен r(x), т.е.
.
Пример: Найти f(A), если , где t – некоторый параметр,
.
Найдем минимальный многочлен матрицы А:
.
Проверим, определена ли функция на спектре матрицы А
Умножим (*) на (х-3)
при х=3
Þ
Умножим (*) на (х-5)
.
Таким образом, - интерполяционный многочлен.
Пример 2.
Если , то доказать, что
Найдем минимальный многочлен матрицы А:
- характеристический многочлен.
d2(x)=1, тогда минимальный многочлен
.
Рассмотрим f(x)=sin x на спектре матрицы:
Þ функция является определенной на спектре.
Умножим (*) на
Þ .
Умножим (*) на :
.
Вычислим g, взяв производную (**):
. Полагая ,
, т.е. .
Итак, ,
,
,
.
ЧТД.
Пример 3.
Пусть f(x) определена на спектре матрицы, минимальный многочлен которой имеет вид . Найти интерполяционный многочлен r(x) для функции f(x).
Решение: По условию f(x) определена на спектре матрицы А Þ f(1), f’(1), f(2), f ‘(2), f ‘’ (2) определены.
.
.
Используем метод неопределенных коэффициентов:
Если f(x)=ln x
f(1)=0 f’(1)=1
f(2)=ln 2 f’(2)=0.5 f’’(2)=-0.25
... Тройка является решением игры <=>, когда является решением игры , где а – любое вещественное число, к>0 ГЛАВА 2. Игры с нулевой суммой в чистых стратегиях 2.1 Вычисление оптимальных стратегий на примере решения задач Используя теорему о минимаксе, можно утверждать, что каждая антагонистическая игра имеет оптимальные стратегии. Теорема: пусть А – матричная игра и строки данной ...
... -картину, не соответствующие ей, являются кандидатами на исключение из сферы деятельности корпорации. 5. Разработка корпоративной стратегии Предшествующий анализ подготовил почву для разработки стратегических шагов по улучшению деятельности диверсифицированной компании. Основное заключение о том, что делать, зависит от выводов, касающихся всего набора видов деятельности в хозяйственном ...
... систему сканирования, как средняя или даже крупная. Однако ряд других исследователей доказали наличие позитивной корреляционной взаимосвязи между размером фирмы и характером анализа макроокружения предприятия. Для эффективности деятельности организации чрезвычайно важно стратегическое видение ее руководителя, сложившееся на основе проведенного анализа макроокружения предприятия. С точки зрения, ...
... тенденции изменения показателя может быть единственным возможным способом прогнозирования (рис. 2.1) [4, c.35]. Рис. 2.1. Пример экстраполяции показателя 3. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ Основа всех приемов оптимизации – нахождение экстремума функции при заданных ограничениях. Например, нахождение максимума прибыли при ...
0 комментариев