Задачи аппроксимации цветных изображений. Форма как оператор наилучшего приближения

5. Задачи аппроксимации цветных изображений. Форма как оператор наилучшего приближения.

Рассмотрим вначале задачи приближения кусочно-постоянными (мозаичными) изображениями. Решение этих задач позволит построить форму изображения  в том случае, когда считается, что  для любого преобразования , действующего на изображение  как на вектор  в каждой точке  и оставляющего  элементом , т.е. изображением. Форма в широком смысле  определяется как оператор  наилучшего приближения изображения  изображениями

где - класс преобразований , такой, что . Иначе можно считать, что

(10*)

а  - оператор наилучшего приближения элементами множества , форма которых не сложнее, чем форма . Характеристическим для  является тот факт, что, если f(x)=f(y), то для любого .

5.1. Приближение цветного изображения изображениями, цвет и яркость которых постоянны на подмножествах разбиения  поля зрения X.

Задано разбиение , требуется определить яркость и цвет наилучшего приближения на каждом . Рассмотрим задачу наилучшего приближения в  цветного изображения f(×) (2) изображениями (4), в которых считается заданным разбиение  поля зрения X и требуется определить  из условия

(11)

Теорема 1. Пусть . Тогда решение задачи (11) имеет вид

, i=1,...,N, j=1,...,n, (12)

и искомое изображение (4) задается равенством

 . (13)

Оператор  является ортогональным проектором на линейное подпространство (4****)  изображений (4), яркости и цвета которых не изменяются в пределах каждого A_i , i=1,...,N.

Черно-белый вариант  (4*) цветного изображения (4) является наилучшей в  аппроксимацией черно-белого варианта  цветного изображения f(×) (2), если цветное изображение (4) является наилучшей в  аппроксимацией цветного изображения f(×) (2). Оператор , является ортогональным проектором на линейное подпространство черно-белых изображений, яркость которых постоянна в пределах каждого .

В точках множества  цвет (4**) наилучшей аппроксимации (4) цветного изображения f(×) (2) является цветом аддитивной смеси составляющих f(×) излучений, которые попадают на .

Доказательство. Равенства (12) - условия минимума положительно определенной квадратичной формы (11), П - ортогональный проектор, поскольку в задаче (11) наилучшая аппроксимация - ортогональная проекция f(×) на . Второе утверждение следует из равенства

, вытекающего из (13). Последнее утверждение следует из равенств

,i=1,...,N вытекающих из (12) и равенства (1), в котором индекс k следует заменить на xÎX.  ■

Замечание 1. Для любого измеримого разбиения  ортогональные проекторы  и  определяют соответственно форму в широком смысле цветного изображения (4), цвет и яркость которого, постоянные в пределах каждого , различны для различных , ибо , и форму в широком смысле черно-белого изображения, яркость которого постоянна на каждом  и различна для разных ,[2].

Если учесть, условие физичности (2*), то формой цветного изображения следует считать проектор  на выпуклый замкнутый конус  (4***)

Аналогично формой черно-белого изображения следует считать проектор  на выпуклый замкнутый конус изображений (4*), таких, что  [2]. Дело в том, что оператор определяет форму  изображения (4), а именно

 - множество собственных функций оператора . Поскольку f(×) - наилучшее приближение изображения  изображениями из , для любого изображения  из  и только для таких - . Поэтому проектор  можно отождествить с формой изображения (4).

Аналогично для черно-белого изображения a(×)

,[7] [2]. И проектор  можно отождествить с формой изображения (4*), как это сделано в работах [2,3].

Примечания.

Формы в широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения элементами  и , которая известна как транзитивность проецирования. Именно, если  оператор наилучшего в  приближения злементами выпуклого замкнутого (в  и в ) конуса , то . Иначе говоря, для определения наилучшего в  приближения  элементами  можно вначале найти ортогональную проекцию  изображения  на , а затем  спроецировать в  на . При этом конечномерный проектор  для каждого конкретного конуса  может быть реализован методом динамического программирования, а для многих задач морфологического анализа изображений достаточным оказывается использование лишь проектора П .

Форма в широком смысле  (4***) изображения (4) полностью определяется измеримым разложением , последнее, в свою очередь определяется изображением

,

если векторы  попарно различны. Если при этом , то форма в широком смысле  может быть определена и как оператор П ортогонального проецирования на , определенный равенством (13).

Посмотрим, каким образом воспользоваться этими фактами при построении формы в широком смысле как оператора ортогонального проецирования на линейное подпространство  (10*) для произвольного изображения . Пусть  - множество значений  и  - измеримое разбиение X , порожденное , в котором  - подмножество X , в пределах которого изображение  имеет постоянные яркость и цвет, определяемые вектором , если .

Однако для найденного разбиения условие , вообще говоря, невыполнимо и, следовательно, теорема 1 не позволяет построить ортогональный проектор П на . Покажем, что П можно получить как предел последовательности конечномерных ортогональных проекторов. Заметим вначале, что любое изображение  можно представить в виде предела (в ) должным образом организованной последовательности мозаичных изображений

(*)

где  - индикатор множества , принадлежащего измеримому разбиению

В (*) можно, например, использовать так называемую исчерпывающую последовательность разбиений [], удовлетворяющую следующим условиям

- - C - измеримо, ;

- N+1-oe разбиение является продолжением N-го, т.е. для любого , найдется i=i(j),, такое, что ;

- минимальная s-алгебра, содержащая все , совпадает с C.

Лемма (*). Пусть  - исчерпывающая последователь-ность разбиений X и - то множество из , которое содержит . Тогда для любой C-измеримой функции

и m-почти для всех   [ ]. n

Воспользуемся этим результатом для построения формы в широком смысле П произвольного изображения . Пусть  - минимальная s-алгебра, относительно которой измеримо , т.е. пусть , где  - прообраз борелевского множества , B - s-алгебра борелевских множеств . Заменим в условиях, определяющих исчерпывающую последовательность разбиений, C на  и выберем эту, зависящую от , исчерпывающую последовательность ( - измеримых) разбиений в лемме (*).

Теорема (*). Пусть , - исчерпывающая последовательность разбиений X, причем - минимальная s-алгебра, содержащая все  и П^(N) - ортогональный проектор , определенный равенством ,

Тогда

1) для любого -измеримого изображения и почти для всех , ,

2) для любого изображения  при   (в ), где П - ортогональный проектор на .

Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из леммы (*) и определения . Для доказательства второго утверждения заметим, что, так как A^(N+1) - продолжение разбиения A^(N), N=1,2,..., то последовательность проекторов П^(N), N=1,2,..., монотонно неубывает:  и потому сходится (поточечно) к некоторому ортогональному проектору П. Так как  - множество всех -измеримых изображений и их пределов (в ), а в силу леммы (*) для любого -измеримого изображения

 , то для любого изображения  и для любого  , ибо -измеримо, N=1,2,... n

Вопрос о том, каким образом может быть построена исчерпывающая последовательность разбиений, обсуждается в следующем пункте.

Заданы векторы f₁,...,f_q, требуется определить разбиение , на множествах которого наилучшее приближение принимает соответственно значенния f₁,...,f_q. Рассмотрим задачу приближения цветного изображения f(×), в которой задано не разбиение  поля зрения X, а векторы  в , и требуется построить измеримое разбиение поля зрения, такое, что цветное изображение  - наилучшая в  аппроксимация f(×). Так как

, (14*)

то в A_i следует отнести лишь те точки , для которых , =1,2,...,q, или, что то же самое, =1,2,...,q. Те точки, которые согласно этому принципу могут быть отнесены к нескольким множествам, должны быть отнесены к одному из них по произволу. Учитывая это, условимся считать, что запись

  , (14)

означает, что множества (14) не пересекаются и .

Чтобы сформулировать этот результат в терминах морфологического анализа, рассмотрим разбиение , в котором

  (15)

и звездочка указывает на договоренность, принятую в (14). Определим оператор F, действующий из  в  по формуле , , i=1,...,q. Очевидно, F всегда можно согласовать с (14) так, чтобы включения  и , i=1,...,q, можно было считать эквивалентными. [8]

Теорема 2. Пусть  - заданные векторы R_n. Решение задачи

наилучшего в  приближения изображения f(×) изображениями  имеет вид , где  - индикаторная функция множества . Множество  определено равенством (15). Нелинейный оператор , как всякий оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F²=F, т.е. является пректором.

Замечание 2. Если данные задачи доступны лишь в черно-белом варианте, то есть заданы числа , i=1,...,q, которые можно считать упорядоченными согласно условию , то, как показано в [3], искомое разбиение X состоит из множеств

 

где , и имеет мало общего с разбиением (14).

Замечание 3. Выберем векторы f_i,i=1,..,qединичной длины: , i=1,...,q. Тогда

. (16)

Множества (16) являются конусами в R_n , ограниченными гиперплоскостями, проходящими через начало координат. Отсюда следует, что соответствующее приближение  изображения f(×) инвариантно относительно произвольного преобразования последнего, не изменяющего его цвет (например ), в частности, относительно образования теней на f(×).

Замечание 4. Для любого заданного набора попарно различных векторов  оператор F, приведенный в теореме 2, определяет форму изображения, принимающего значения  соответственно на измеримых множествах  (любого) разбиения X. Всякое такое изображение является неподвижной (в ) точкой F: , если , все они изоморфны между собой. Если некоторые множества из  - пустые, или нулевой меры, соответствующие изображения имеют более простую форму.

Иначе говоря, в данном случае формой изображения  является множество всех изображений, принимающих заданные значения  на множествах положительной меры  любого разбиения X, и их пределов в .

Теоремы 1 и 2 позволяют записать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f(×) изображениями , в котором требуется определить как векторы , так и множества  так, чтобы

.

Следствие 1.

Пусть D_i ,i=1,...,N, - подмножества R_n (15), П - ортогональный проектор (13), , где . Тогда необходимые и достаточные условия  суть следующие: , где , .

Следующая рекуррентная процедура, полезная для уточнения приближений, получаемых в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет решать названную задачу. Пусть  - исходные векторы в задаче (14*),  - соответствующее оптимальное разбиение (14), F⁽¹⁾- оператор наилучшего приближения и  - невязка. Воспользовавшись теоремой 1, определим для найденного разбиения  оптимальные векторы . Согласно выражению (13) , и соответствующий оператор наилучшего приближения П⁽¹⁾ (13) обеспечит не менее точное приближение f(×), чем F⁽¹⁾: . Выберем теперь в теореме 2 , определим соответствующее оптимальное разбиение  и построим оператор наилучшего приближения F⁽²⁾. Тогда . На следующем шаге по разбиению  строим  и оператор П⁽³⁾ и т.д.

В заключение этого пункта вернемся к вопросу о построении исчерпывающего -измеримого разбиения X, отвечающего заданной функции . Выберем произвольно попарно различные векторы из f(X) и построим по формуле (15) разбиение R_n. Для каждого q=1,2,... образуем разбиение E^(N(q)), множества , j=1,...,N(q), которого образованы всеми попарно различными пересечениями  множеств из . Последовательность соответствующих разбиений X , i=1,...,N(q), q=1,2...  -измеримы и  является продолжением

5.2. Приближение изображениями, цвет которых постоянен на подмножествах разбиения  поля зрения X.

Задано разбиение , требуется определить цвет и распределение яркостей наилучшего приближения на каждом A_i,i=1,...,N.

Для практики, как уже было отмечено, большой интерес представляет класс изображений (5), цвет которых не изменяется в пределах некоторых подмножеств поля зрения, и задачи аппроксимации произвольных изображений изображениями такого класса.

Запишем изображение (5) в виде

(17)

где .

Пусть A₁,...,A_N - заданное разбиение X,  - индикаторная функция A_i, i=1,...,N. Рассмотрим задачу наилучшего в  приближения изображения  изображениями (17), не требуя, чтобы

(18)

Речь идет о задаче аппроксимации произвольного изображения  изображениями, у которых яркость может быть произвольной функцией из , в то время, как цвет должен сохранять постоянное значение на каждом из заданных подмножеств A₁,...,A_N  поля зрения X, (см. Лемму 3).

Так как

то минимум S (19) по  достигается при

, (20)

и равен

(21)

Задача (18) тем самым сведена к задаче

. (22)

В связи с последней рассмотрим самосопряженный неотрицательно определенный оператор

 . (23)

Максимум (неотрицательной) квадратичной формы  на сфере в R_n, как известно, (см.,например, [11]) достигается на собственном векторе y_i оператора Ф_i,отвечающем максимальному собственному значению >0,

,

и равен , т.е. . Следовательно, максимум в (22) равен  и достигается, например, при

Теорема 3. Пусть A₁,...,A_N -заданное измеримое разбиение X, причем[9] m(A_i)>0, i=1,...,N. Решением задачи (18) наилучшего приближения изображения  изображениями g(×) (17) является изображение

 

(24)

Операторы ,i=1,...,N, и  - нелинейные (зависящие от f(×)) проекторы: П_i проецирует в R_n векторы  на линейное подпространство , натянутое на собственный вектор  оператора Ф_i (23), отвечающий наибольшему собственному значению r_i,

; (25)

П проецирует в  изображение  на минимальное линейное подпространство , содержащее все изображения

Невязка наилучшего приближения

(19*).

Доказательство. Равентство (24) и выражение для П_i следует из (17),(20) и решения задачи на собственные значения для оператора Ф_i (23). Поскольку Ф_i самосопряженный неотрицательно определенный оператор, то задача на собственные значения (23) разрешима, все собственные значения Ф_i  неотрицательны и среди них r_i - наибольшее.

Для доказательства свойств операторов П_i, i=1,...,N, и П введем обозначения, указывающие на зависимость от f(×):

(26*)

Эти равенства, показывающие, что результат двукратного действия операторов П_i, i=1,...,N, и П (26) не отличается от результатата однократного их действия, позволят считать операторы (26) проекторами.

Пусть f_i - cсобственный вектор Ф_i , отвечающий максимальному собственному значению r_i. Чтобы определить  следует решить задачу на собственные значения для оператора :

.

Поскольку rank=1,  имеет единственное положительное собственное значение, которое, как нетрудно проверить, равно r_i, и ему соответствует единственный собственный вектор f_i. Поэтому

.

Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*) для n

Лемма 4. Для любого изображения  решение (24) задачи (18) наилучшего приближения единственно и является элементом .

Доказательство. Достаточно доказать, что единственный (с точностью до положительного множителя) собственный вектор f_i оператора (23), отвечающий максимальному собственному значению r_i, можно выбрать так, чтобы , поскольку в таком случае будут выполнены импликации:

,

составляющие содержание леммы. Действительно, если  то согласно (23) , поскольку включение  означает, что; отсюда и из (25) получим, что ,i=1,...,N, а поэтому и в (24) .

Убедимся в неотрицательности . В ортонормированном базисе e₁,...,e_n, в котором , выходной сигнал i-го детектора в точке  (см. замечание 1) задача на собственные значения (23*) имеет вид , p=1,...,n,

где , .

Так как матрица  симметрическая и неотрицательно определенная () она имеет n неотрицательных собственных значений, которым соответствуют n ортонормированных собственных векторов , а поскольку матричные элементы , то согласно теореме Фробенуса-Перрона максимальное собственное значение  - алгебраически простое (некратное), а соответствующий собственный вектор можно выбирать неотрицательным:

. Следовательно, вектор f_i определен с точностью до положительного множителя , . n

Замечание 4.

Если  , т.е. если аппроксимируемое изображение на множествах того же разбиения имеет постоянный цвет, то в теореме 3 , .

Наоборот, если , то

 , т.е.  определяется выражением (17), в котором .

Итак, пусть в изображении g(×) (17) все векторы f₁,.…..,f_N попарно не коллинеарны, тюею цвета всех подмножеств A₁,...,A_Nпопарно различны. Тогда форма в широком смысле  изображения (17) есть множество решений уравнения

,, (27)

где , f_i - собственный вектор оператора Ф_i: , отвечающий максимальному собственному значению r_i, i=1,...,N . В данном случае , если и только если выполнено равенство (27).

Оператор П (24), дающий решение задачи наилучшего приближения  , естественно отождествить с формой в широком смысле изображения  (17).

Заданы векторы цвета j₁,..., j_q, требуется определить разбиение A₁,..., A_q, на множествах которого наилучшее приближение имеет соответственно цвета j₁,..., j_q и оптимальные распределения яркостей [10].

Речь идет о следующей задаче наилучшего в  приближения изображения

. (28)

Рассмотрим вначале задачу (28) не требуя, чтобы . Так как для любого измеримого

, (29)

и достигается на

, (30)

то, как нетрудно убедиться,

, (31)

где звездочка * означает то же самое, что и в равенстве (14): точки xÎX, в которых выполняется равенство  могут быть произвольно отнесены к одному из множеств A_i или A_j.

Пусть  - разбиение , в котором

(32)

а F: R_n-> R_n оператор, определенный условием

(33)

Тогда решение задачи (28) можно представить в виде

, (34)

где  - индикаторная функция множества A_i (31), i=1,...,q и F -оператор, действующий в  по формуле (34) (см. сноску 4 на стр. 13).

Нетрудно убедиться, что задача на минимум (29) с условием физичности

(35)

имеет решение

(36)

Соответственно решение задачи (28) с условием физичности имеет вид

, (37)

где  - индикаторная функция множества

, (38)

В ряде случаев для построения (34) полезно определить оператор F⁺: R_n-> R_n, действующий согласно формуле

(39)

где

, так что ,i=1,...q. (40)

Подытожим сказанное.

Теорема 4. Решение задачи (28) наилучшего в приближения изображения  изображениями на искомых множествах A₁,...,A_q разбиения X заданные цветами j₁,..., j_q соответственно, дается равенством (34), искомое разбиение A₁,...,A_q определено в (31). Требование физичности наилучшего приближения приводит к решению (37) и определяет искомое разбиение формулами (38). Решение (34) инвариантно относительно любого, а (37) - относительно любого, сохраняющего физичность, преобразования, неизменяющего его цвет.

Формой в широком смысле изображения, имеющего заданный набор цветов j₁,..., j_q на некоторых множествах положительной меры A₁,...,A_q разбиение поля зрения можно назвать оператор  (34), формой такого изображения является оператор F⁺ (37). Всякое такое изображение g(×), удовлетворяющее условиям физичности (неотрицательности яркостей), удовлетворяет уравнению F⁺g(×)=g(×), те из них, у которых m(A_i)>0, i=1,...,q, изоморфны, остальные имеют более простую форму. n

В заключение этого раздела вернемся к понятию формы изображения, заданного с точностью до произвольного, удовлетворяющего условиям физичности, преобразования яркости. Речь идет о форме изображения , заданного распределением цвета , при произвольном (физичном) распределении яркости, например, . Для определения формы  рассмотрим задачу наилучшего в  приближения изображения  такими изображениями

, (41)

Теорема 5. Решение  задачи (41) дается равенством

, (42)

в котором , где  . Невязка приближения

, (43)

( !) n

Определение. Формой изображения, заданного распределением цвета , назовем выпуклый, замкнутый конус изображений

или - проектор  на .

Всякое изображение g(×), распределение цвета которого есть j(×) и только такое изображение содержится в  и является неподвижной точкой оператора

: g(×) = g(×). (#)

Поскольку на самом деле детали сцены, передаваемые распределением цвета j(×), не представлены на изображении f(×) = f(×)j(×) в той области поля зрения, в которой яркость f(x)=0, xÎX, будем считать, что  - форма любого изображения f(x) = f(x)j(x), f(x)>0, xÎX(modm), все такие изображения изоморфны, а форма всякого изображения g(×), удовлетворяющего уравнению (#), не сложнее, чем форма f(×).

Замечание 5. Пусть j₁,..., j_N - исходный набор цветов, , A₁,...,A_N - соответствующее оптимальное разбиение X, найденное в теореие 4 и

, (34*)

- наилучшее приближение f(×). Тогда в равенстве (24)

, (24*)

если A₁,...,A_N - исходное разбиение X в теореме 3. Наоборот, если A₁,...,A_N - заданное в теореме 3 разбиение X и f₁,...,f_N - собственные векторы операторов Ф₁,...,Ф_N (23) соответственно, отвечающие максимальным собственным значениям, то f₁,...,f_N и будет выполнено равенство (24), если в (34*) определить j_i как цвет f_i в (24), i=1,...,N.

Проверка этого замечания не представляет затруднений.

В. Случай, когда допускаются небольшие изменения цвета в пределах каждого A_i, i=1,...,N.

Разумеется, условие постоянства цвета на множествах A_i, i=1,...,N, на практике может выполняться лишь с определенной точностью. Последнюю можно повысить как путем перехода к более мелкому разбиению , так и допустив некоторые изменения цвета в пределах каждого A_i, i=1,...,N, например, выбрав вместо (17) класс изображений

(17*)

в котором  в (3).

Поскольку в задаче наилучшего приближения f(×) изображениями этого класса предстоит найти  , векторы  при любом i=1,...,N, можно считать ортогональными, определив

, (*)

из условия минимума невязки по . После этого для каждого i=1,...,N векторы  должны быть определены из условия

(**)

при дополнительном условии ортогональности

. Решение этой задачи дается в следующей лемме

Лемма 5. Пусть  ортогональные собственные векторы оператора Ф_i (23), упорядоченные по убыванию собственных значений:

.

Тогда решение задачи (**) дается равенствами .

Доказательство. Заметим, что, поскольку Ф_i - самосопряженный неотрицательно определенный оператор, его собственные значения неотрицательны, а его собственные векторы всегда можно выбрать так, чтобы они образовали ортогональный базис в R_n. Пусть P_i - ортогонально проецирует в R_n на линейную оболочку  собственных векторов  и

[P_i Ф_i P_i] - сужение оператора P_i Ф_i P_i на . Тогда левая часть (*) равна следу оператора [P_i Ф_i P_i]

, где  - j-ое собственное значение оператора  (см., например, [10]). Пусть . Тогда согласно теореме Пуанкаре, [10], , откуда следует утверждаемое в лемме. ■

Воспользовавшись выражениями (*) и леммой 5, найдем, что в рассматриваемом случае имеет место утверждение, аналогичное теореме 3.

Теорема 3*. Наилучшее приближение любого изображения f(×) изображениями (17*) имеет вид

,

Где : ортогональный проектор на линейную оболочку , собственных векторов задачи

.

Невязка наилучшего приближения равна

. n

Рассмотрим теперь задачу наилучшего приближения изображения f(×) изображениями (17), в которых заданы и фиксированы векторы , и надлежит определить измеримое разбиение  и функции , как решение задачи

(30)

При любом разбиении минимум в (30) по  достигается при , определяемых равенством (20). В свою очередь, очевидно, что

(31)

где точки , в которых выполняется равенство  могут быть произвольно включены в одно из множеств : либо в , либо в . Это соглашение отмечено звездочкой в (31).

Таким образом доказана

Теорема 6. Пусть  заданные векторы R_n. Решением задачи (30) является изображение

 ,

где ортогональный проектор  определен равенством (25), а  - индикаторная функция множества (31), i=1,...,N. Невязка наилучшего приближения равна

.  n

Замечание 5. Так как при

,

то условия (31), определяющие разбиение , можно записать в виде

, (32)

показывающем, что множество  в (32) инвариантно относительно любого преобразования изображения , не изменяющего его цвет.

Теоремы 3 и 6 позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f(×) изображениями (17), при котором должны быть найдены  и c_i⁰ , i=1,...,N, такие, что

.

Теорема 7. Для заданного изображения f(×) определим множества  равенствами (32), оператор П - равенством (24),  - равенствами (25). Тогда ,

определено равенством (32), в котором  - собственный вектор оператора Ф_i (23), отвечающий наибольшему собственному значению, причем в (23) , наконец,  будет дано равенством (20), в котором , где  - собственный вектор оператора , отвечающий наибольшему собственному значению ; наконец,

. n

Замечание 6. Следующая итерационная процедура полезна при отыскании : Для изображения f(×) зададим  и по теореме 5 найдем  и , затем по теореме 3, используя  найдем  и . После этого вновь воспользуемся теоремой 3 и по  найдем  и  и т.д. Построенная таким образом последовательность изображений  очевидно обладает тем свойством, что числовая последовательность , k=1,2,.….. монотонно не возрастает и, следовательно, сходится. К сожалению ничего определенного нельзя сказать о сходимости последовательности .

Формы  (10) и  (9) удобно задавать операторами П_f и П_*f соответственно.

Теорема 7. Форма  в широком смысле изображения определяется ортогональным проектором П_*f :

 ,

при этом  и .

Доказательство. Так как для  , то получаем первое утверждение. Для доказательства второго утверждения рассмотрим выпуклую задачу на минимум , решение которой определяется условиями (см., например, [11]) . Отсюда следует, что  и тем самым доказано и второе утверждение n

Замечание. Так как , где f_i(x) - выходной сигнал i-го детектора в точке , причем f_i(x)³0 ,i=1,...,n, и, следовательно цвет  реальных изображений непременно имеет неотрицательные , то для реальных изображений , условия  и , эквивалентны. Если же для некоторого , то условие  не влечет . Заметим также, что для изображений g(×), удовлетворяющих условию , всегда .

Для спектрозональных изображений характерна ситуация, при которой k детекторов регистрируют рассеянную объектами солнечную радиацию в диапазоне видимого света, а остальные n-k регистрируют собственное тепловое излучение объектов ( в инфракрасном диапазоне). В таком случае любое изображение можно представить разложением

(40)

В котором

. Если ИК составляющей солнечного излучения можно пренебречь по сравнению с собственным излучением объектов, то представляет интерес задача приближения изображениями f(×) , в которых f₁(×) - любая неотрицательная функция из , j₁(×) - фиксированное векторное поле цвета, f₂(×) - термояркость, j₂(×) - термоцвет в точке . Форма П_*f видимой компоненты f(×) (40) определяется как оператор наилучшего приближения в задаче

, в данном случае

, причем П_*f действует фактически только на "видимую компоненту" g(×), обращая "невидимую, ИК, компоненту" g(×) в ноль.

Форма ИК компоненты f(×) может быть определена лишь тогда, когда известно множество возможных преобразований j₂(×) f₂(×).

Некоторые применения.

Задачи идентификации сцен.

Рассмотрим вначале задачи идентификации сцен по их изображения, неискаженным геометрическими преобразованиями, поворотами, изменениями масштаба и т.д. Ограничимся задачами, в которых предъявляемые для анализа изображения получены при изменяющихся и неконтролируемых условиях освещения и неизвестных и, вообще говоря, различных оптических характеристиках сцены.

1). Задачи идентификации при произвольно меняющейся интенсивности освещения.

Можно ли считать f(×) и g(×) изображениями одной и той же сцены, возможно, отличающимя лишь распределениями яркости, например, наличием теней?

В простейшем случае для идентификации достаточно воспользоваться теоремой 5, а именно, f(×) и g(×) можно считать изображениями одной и той же сцены, если существует распределение цвета , для которого v(j(×)) содержит f(×) и g(×). Если , и , то, очевидно, существует , при котором f(x)Îv(j(×)), g(x)Îv(j(×)), а именно, , , если , , если , и, наконец,  - произвольно, если .

На практике удобнее использовать другой подход, позволяющий одновременно решать задачи совмещения изображений и выделения объектов. Можно ли, например, считать g(×) изображением сцены, представленной изображением f(×)? Ответ следует считать утвердительным, если

.

Здесь j(×) - распределение цвета на изображении f(×), символ ~0 означает, что значение d(g(×)) можно объяснить наличием шума, каких-либо других погрешностей, или, наконец, - наличием или, наоборот, отсутствием объектов объясняющим несовпадение g(×) и f(×) с точностью до преобразования распределения яркостей. Такие объекты, изменившие распределение цвета g(×) по сравнению с распределением цвета f(×), представлены в .

2).Идентификация при произвольном изменении распределения интенсивности и пространственно однородном изменении спектрального состава освещения.

Можно ли считать изображением сцены, представленной на изображении f(×), изображение, полученное при изменившихся условиях регистрации, например, перемещением или изменением теней и изменением спектрального состава освещения?

Пусть П - форма в широком смысле изображения f(×), определенная в теореме @, П_* - форма f(×). Тогда ответ на поставленный вопрос можно считать утвердительным, если . Если изменение g(×) обусловлено не только изменившимися условиями регистрации, но также появлением и (или) исчезновением некоторых объектов, то изменения, обусловленные этим последним обстоятельством будут представлены на .

3). Задачи совмещения изображений и поиска фрагмента.

Пусть f(×) - заданное изображение, AÌX - подмножество поля зрения, c_A(×) - его индикатор, c_A(×)f(×) -назовем фрагментом изображения f(×) на подмножестве A, представляющем выделенный фрагмент сцены, изображенной на f(×). Пусть g(×) - изображение той же сцены, полученное при других условиях, в частности, например, сдвинутое, повернутое, т.е. геометрически искаженное по сравнению с f(×). Задача состоит в том, чтобы указать на g(×) фрагмент изображения, представляющий на f(×) фрагмент сцены и совместить его с c_A(×)f(×).

Ограничимся случаем, когда упомянутые геометрические искажения можно моделировать группой преобразований R₂->R₂, преобразование изображения  назовем сдвигом g(×) на h. Здесь

Q(h): R_n->R_n, hÎH, - группа операторов. Векторный сдвиг на h¢ÎH даст

.

В задаче выделения и совмещения фрагмента рассмотрим фрагмент сдвинутого на h изображения g(×) в “окне” A:

(100)

причем, поскольку  где  то в (100)  - ограничение на сдвиг “окна” А, которое должно оставаться в пределах поля зрения X.

Если кроме цвета g(×) может отличаться от f(×), скажем, произвольным преобразованием распределения яркости при неизменном распределении цвета и  - форма фрагмента f(×), то задача выделения и совмещения фрагмента сводится к следующей задаче на минимум

.(101)

При этом считается, что фрагмент изображения g(×), соответствующий фрагменту c_A(×)f(×), будет помещен в “окно”.А путем соответствующего сдвига h=h_*, совпадает с c_A(×)f(×)  с точностью до некоторого преобразования распределения яркости на нем. Это означает, что

.

т.е. в (101) при h=h_* достигается минимум.

4). В ряде случаев возникает следующая задача анализа спектрозональных изображений: выделить объекты которые “видны”, скажем, в первом канале и “не видны” в остальных.

Рассмотрим два изображения  и . Определим форму в широком смысле  как множество всех линейных преобразований :  (A - линейный оператор R₂->R₂, не зависящий от xÎX). Для определения проектора на  рассмотрим задачу на минимум

. [*]

Пусть , , тогда задача на минимум [*] эквивалентна следующей: tr A^*AS - 2trAB _~. Ее решение  (знаком ^- обозначено псевдообращение).

=

=

Рис.1.

f_e - вектор выходных сигналов детекторов, отвечающий излучению e(×), j_e - его цвет; j₁,j₂,j₃, - векторы (цвета) базовых излучений, b - белый цвет, конец вектора b находится на пересечении биссектрис.

Литература.

[1] Пытьев Ю.П. Морфологические понятия в задачах анализа изображений, - Докл. АН СССР, 1975, т. 224, №6, сс. 1283-1286.

[2] Пытьев Ю.П. Морфологический анализ изображений, - Докл. АН СССР, 1983, т. 296, №5, сс. 1061-1064.

[3] Пытьев Ю.П. Задачи морфологического анализа изображений, - Математические методы исследования природных ресурсов земли из космоса, ред. Золотухин В.Г., Наука, Москва, 1984, сс. хххх-ххххх.

[4] Пытьев Ю.П., Чуличков А.И. ЭВМ анализирует форму изображения, - Знание,сер. Математика, Кибернентика, Москва, 1988, 47 стр.

[5] Yu.P.Pyt’ev. Morphological Image Analysis, Patt. Recogn. and Image Analysis, 1993, v.3, #1, pp.19-28.

[6] Антонюк В.А., Пытьев Ю.П. Спецпроцессоры реального времени для морфологического анализа реальных сцен. Обработка изображений и дистанционное исследования, -Новосибирск, 1981, сс. 87-89.

[7] Антонюк В.А., Пытьев Ю.П., Рау Э.И. Автоматизация визуального контроля изделий микроэлектроники,Радиотехника и электроника, 1985, т. ХХХ,№12, сс. 2456-2458.

[8] Ермолаев А.Г., Пытьев Ю.П. Априорные оценки полезного сигнала для морфологических решающих алглритмов, - Автоматизация, 1984, №5, сс. 118-120.

[9] Пытьев Ю.П, Задорожный С.С., Лукьянов А.Е. Об автоматизации сравнительного морфологического анализа электронномикроскопических изображений, - Изв. АН СССР, сер. физическая, 1977, т. 41, №11, сс. хххх-хххх.

[10] A.A. Stepanov, S.Yu. Zheltov, Yu.V. Visilter. Shape analysis using Pyt'ev morphological paradigm and its using in machine vision. Proc. SPIE - Th. Intern. Soc. For Optical Engineering Videometrics III, 1994, v. 2350, pp. 163-167.

[11] Пытьев Ю.П.. Математические методы интерпретации эксперимента, Высшая школа, 351 стр., 1989.

[12] Майзель С.О. Ратхер Е.С. Цветовые расчеты и измерения. М:Л:Госэнергоиздат 1941, (Труды всесоюзного электротехнического института, вып.56).

[13] P. Kronberg. Fernerkundung der Erde Ferdinand Enke. Verlag Stuthgart 1985.

[1] Например, в связи с изменением времени суток, погоды, времени года и т.п.

[2] Фрагмент морфологического анализа цветных изображений содержится в работе[3].

[3] вектор f_e будет иметь отрицательные координаты, если он не принадлежит выпуклому конусу

[4]черта символизирует замыкание, - выпуклый замкнутый конус в R_n.

[5] Если - более детальное изображение , то некоторые A(j) могут “ращепиться” на несколько подмножеств A¢(j¢), на каждом из которых цвет постоянный, но различный на разных подмножествах A¢(j¢). Однако, поскольку форма обычно строится исходя из данного изображения f(×), v(f(×)) не может содержать изображения, которые более детально характеризуют изображенную сцену.

[6] Для простоты яркость изображения считается положительной в каждой точке поля зрения Х.

[7]- класс неотрицательных функций принадлежащих .

[8]Одна и та же буква F использована как для оператора , так и для оператора . Эта вольность не должна вызывать недоразумения и часто используется в работе.

[9]Если m(A_s)=0, то в задаче наилучшего приближения (18) цвет и распределение яркости на A_s можно считать произвольными, поскольку их значения не влияют на величину невязки s.

[10]Векторы j₁,..., j_q выбираются, например, сообразно цветам объектов, представляющих интерес.