УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

 

Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными

,

(3)

где  и  - целые числа, отличные от нуля, а  - произвольное целое. Будем считать, что коэффициенты  и  не имеют общих делителей, кроме единицы. Действительно, если общий наибольший делитель этих коэффициентов  отличен от единицы, то справедливы равенства , ; уравнение (3) принимает вид

и может иметь целые решения только в том случае, когда  делится на . Таким образом, в случае  - все коэффициенты уравнения (3) должны делиться нацело на , и, сокращая (3) на , придем к уравнению

,

коэффициенты которого  и  взаимно просты.

Рассмотрим сначала случай, когда . Уравнение (3) перепишется так:

.

(3')

Решая это уравнение относительно, получим

.

Ясно, что  будет принимать целые значения в том и только в том случае, когда  делится на  без остатка. Но всякое целое , кратное , можно записать в виде

,

где  принимает произвольные целые значения . Подставим это значение  в предыдущее уравнение, тогда

,

и мы получаем формулы, содержащие все целые решения уравнения (3'):

,  .

Перейдем теперь к случаю .

Покажем, прежде всего, что для нахождения всех целых решений уравнения (3) достаточно найти какое-нибудь одно его решение, т. е. найти такие целые числа, , для которых

,

Т е о р е м а I. Пусть а и b взаимно просты и  - какое-нибудь решение уравнения

,

(3)

Тогда формулы

,

(4)

при  дают все решения уравнения (3).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  - произвольное решение уравнения (3). Тогда из равенств

и

получаем

; .

Так как  - целое число и числа  и  взаимно просты, то  должно нацело делиться на , т. е.  имеет вид

,

где  - целое. Но тогда

,

и получаем

, .

Таким образом доказано, что всякое решение  имеет вид (4). Остается еще проверить, что всякая пара чисел , получаемая по формулам (4) при целом , будет решением уравнения (3). Чтобы провести та кую проверку, подставим величины ,  в левую часть уравнения (3):

,

но так как  -решение, то  и, следовательно, , т.е.  - решение уравнения (3), чем теорема полностью доказана.

Итак, если известно одно решение уравнения , то все остальные решения найдутся из арифметических прогрессий, общие члены которых имеют вид:

,  .

3аметим, что в случае, когда , найденные раньше формулы решений

,

могут быть получены из только что выведенных формул , , если выбрать , что можно сделать, так как значения ,  являются, очевидно, решением уравнения

,

Как же найти какое-нибудь одно решение  уравнения (3) в общем случае, когда . Начнем с примера.

Пусть дано уравнение

Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных.

Прежде всего, выделим целую часть неправильной дроби ;

Правильную дробь  заменим равной ей дробью .

Тогда получим . Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью .

Теперь исходная дробь примет вид:

Повторяя те же рассуждения для дроби  получим .

Выделяя целую часть неправильной дроби, придем к окончательному результату:

Мы получили выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби - одну пятую, превратим получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби :

, .

Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросим его, тогда

.

Из сопоставления полученного равенства с уравнением  следует, что ,  будет решением этого уравнения и согласно теореме все его решения будут содержаться в прогрессиях , .

Полученный результат наводит на мысль о том, что и в общем случае для нахождения решения уравнения  надо разложить отношение коэффициентов при неизвестных в цепкую дробь, отбросить ее последнее звено и проделать выкладки, подобные тем, которые были проведены выше.

Для доказательства этого предположения будут нужны некоторые свойства цепных дробей.

Рассмотрим несократимую дробь . Обозначим через  частное и через  остаток от деления а на b. Тогда получим: , .

Пусть, далее,  - частное и  - остаток от деления  на  Тогда , ; точно так же

 

Величины , ,… называются неполными частными. Приведенный выше процесс образования неполных частных называется алгоритмом Евклида. Остатки от деления , ,…удовлетворяют неравенствам

,

(5)

т. е. образуют ряд убывающих неотрицательных чисел.

Так как количество неотрицательных целых чисел, не превосходящих b, не может быть бесконечным, то на некотором шаге процесс образования неполных частных оборвется из-за обращения в ноль очередного остатка r. Пусть  - последний отличный от нуля остаток в ряде (5); тогда  и алгоритм Евклида для чисел a и b примет вид

 (6)

Перепишем полученные равенства в виде

Заменяя значение  в первой строке этих равенств соответствующим значением из второй строки значение  - выражением из третьей, строки и т. д., получим разложение  в цепную дробь:

Выражения, получающиеся из цепной дроби при отбрасывании всех ее звеньев, начиная с некоторого звена, назовем подходящими дробями. Первая: подходящая дробь  получится при отбрасывании всех звеньев, начиная с : .

Вторая подходящая дробь получается отбрасыванием всех звеньев, начиная с : . Точно так же

и т. д.

В силу способа образования подходящих дробей возникают очевидные неравенства:

; .

Запишем k-ю подходящую дробь  в виде  ,

и найдем закон образования числителей и знаменателей подходящих дробей, Преобразуем первые подходящие дроби , , :

; , ;

; ; ;

;

;

Отсюда получаем:

; .

Применяя индукцию, докажем, что соотношения того же вида

 , (7).

выполняются для всех .

Действительно, пусть равенства (7) выполняются для некоторого . Из определения подходящих дробей непосредственно следует, что при замене в выражении  величины  на  перейдет в . Согласно индукционному предположению

.

Заменяя здесь  на , получим:

.

Отсюда, так как , следует, что

, .

Таким образом, из выполнения равенств (7) для некоторого  следует выполнение их для  Но для  равенства (7) - выполняется и, следовательно, их справедливость установлена для всех .

Покажем теперь, что разность соседних подходящих дробей  удовлетворяет соотношению

 . (8)

Действительно,

.

Пользуясь формулами (7), преобразуем числитель полученной дроби:

.

Выражение, стоящее в скобках, получается из исходного заменой  на . Повторяя такие же преобразования для получающихся выражений, получим, очевидно, цепь равенств:

Отсюда следует, что

Если разложение  в цепную дробь имеет  звеньев, то п-я подходящая дробь  совпадает с . Применяя равенство (8), при  получим

(9)

Вернемся теперь к решению уравнения

, (10)

Перепишем соотношение (9) в виде .

Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, получим

Умножим это соотношение на . Тогда

Отсюда следует, что пара чисел ,

, , (11)

является решением уравнения (10) и согласно теореме все решения этого уравнения имеют вид

,

Полученный результат полностью решает вопрос о нахождении всех целочисленных решений уравнения первой степени с двумя неизвестными. Перейдем теперь к рассмотрению некоторых уравнений второй степени.