Теория моделирования поляризационных тепловизионных

2.1. Теория моделирования поляризационных тепловизионных

 изображений на основе степени и азимута поляризации

теплового изображения.

Для описания этого метода воспользуемся рис. 3.

Допустим, что азимут поляризации излучения элемента dS поверхности объекта составляет угол t с поверхностью референции.

Для определения степени поляризации P’ необходимо найти величины видеосигналов U₀ и U₉₀ поляризационных тепловизионных изображений элементов dS поверхности объекта при азимутах поляризатора t=0⁰ и t=90⁰. Выразим U₀ и U₉₀ через параллельную и перпендикулярную составляющие коэффициента излучения элемента dS и азимут t поляризации этого элемента, который представляет собой угол между плоскостью поляризации ( ось ОА ) и плоскостью референции ( ось OY ). В общем случае, когда азимут t поляризации излучения элемента dS не совпадает с азимутом поляризатора, обе компоненты коэффициента излучения дают вклады в величины видеосигналов U₀ и U₉₀ следующим образом:

U₀(N, L) = U_max × cos² t + U_min × sin² t = A(N, L) × ( e_÷÷ × cos² t + e_ûë ×sin² t) ; ( 22 )

U₉₀(N, L) = U_max × sin² t + U_min × cos² t = A(N, L) × ( e_÷÷ × sin² t + e_ûë ×cos²t) ; ( 23 )

 

где U_max= A(N, L) × e_÷÷ , U_min= A(N, L) × e_ûë.

Согласно формуле (6) найдем степень поляризации P’(N, L) излучения элемента dS объекта в виде:

P’(N, L) = [ e_÷÷  - e_ûë ] / [ e_÷÷  + e_ûë] × cos(2 × t) = P × cos(2 × t) , ( 24 )

 

где P = [ e_÷÷  - e_ûë ] / [ e_÷÷  + e_ûë ] - распределение степени поляризации излучения элементов dS объекта.

Так как cosy = ( n* r_н ), то с учётом формулы (12) имеем:

P’(N, L) = [ 1- ( n* r_н ) ] × а × cos(2 × t); ( 25 )

 

В связи с тем, что вдоль оси ОА расположен вектор n_yz , являющийся проекцией вектора n на плоскость xyz, то справедливо выражение:

cos t = ( n_yz*j ) , ( 26 )

тогда, приняв во внимание тождество

 cos(2 × t) = 2 × cos²t - 1,

выражение (25) для расчёта степени поляризации всех элементов поверхности объекта примет вид:

P’(N, L) = а ×[ 1- ( n* r_н ) ] × [ 2 × ( n_yz*j )² -1 ]. ( 27 )

 

Таким образом, формулы (15) и (27) с учётом формул (16) - (21) являются оптико-математической моделью поляризационных тепловизионных изображений излучающих объектов [5,6]. В тех случаях, когда необходимо моделировать поляризационные тепловизионные изображения по распределению степени поляризации, можно воспользоваться выражением:

P(N, L) = а ×[ 1- ( n* r_н ) ] . ( 28 )

2.3. Формулы для моделирования изображения

диска, сферы и эллипсоида.

Для подтверждения теории моделирования поляризационных тепловизионных изображений рассмотрим объекты в виде сферы, эллипсоида и диска. Как уже отмечалось раньше, традиционный тепловизионный метод при наблюдении этих объектов сверху даёт одинаковое изображение как по контуру, так и внутри контура, несмотря на явное различие формы этих объектов внутри контура изображения видимой части их поверхности. Для подробного вывода остановимся на сфере, как наиболее наглядном и симметричном объекта ( рис. 4).

Уравнение сферы в декартовых координатах имеет вид:

 

f(x,y,z) =x²+ y²+ z²- R²= 0.  ( 29 )

 

Тогда n = (x × i + y × j + z × k ) /R - вектор нормали сферы,

где R = (x²+ y²+ z²)^1/2 - радиус сферы.

Вектор наблюдения r_н можно определить из формулы (17):

r_н = [( l-x) × i - y × j - z × k ] / [R²+ l² + 2 × l × x]^1/2 . ( 30 )

 

Тогда по правилам векторного умножения:

e = [ n* r_н ] = ( n_y × r_нz - n_z × r_нy) × i +( n_z × r_нx - n_x × r_нz) × j +( n_x × r_нy - n_y × r_нx) × k ;

 

в нормированном виде:

_____________

 e_ûë = ( l_z × i - l_y × j ) / (R × Ö R²+ l² - 2 × l × x ), ( 32 )

Теперь определим все остальные недостающие выражения для формулы (15):

_____________

( n* r_н  ) = (x × l -R²) / (R × Ö R²+ l² - 2 × l × x ), ( 33 )

( n* j)² = y² / R² ;  ( 34 )

 

( n* k)² = z² / R² ; ( 35 )

( e_ûë * j)² = l² × z²/ (R² × ( R²+ l² - 2 × l × x ); ( 36 )

( e_÷÷* k)² = l² × z²/ (R² × ( R²+ l² - 2 × l × x );  ( 37 )

После подстановки формул (30) - (37) в выражение (15), получим:

l × x - R²

2 - ---------------------------------

R² × ( R²+ l² - 2 × l × x )^1/2 æ y²- z² ö é l² × z² - l² × y²    ù

----------------------------------------- × ï --------- ê + ï --------------------------- ç

l × x - R² èR²    øëR² ×( R²+ l² - 2 × l × x )û

---------------------------------

R² × ( R²+ l² - 2 × l × x )^1/2

P’ (N, L) = ---------------------------------------------------------------------------------------------- .

l × x - R²

2 - ---------------------------------

R² × ( R²+ l² - 2 × l × x )^1/2 æ y²+ z² ö é l² × z² + l² × y² ù

----------------------------------------- × ï --------- ê -  ï ---------------------------ç

l × x - R² èR² øëR² ×( R²+ l² - 2 × l × x)û

---------------------------------

R² × ( R²+ l² - 2 × l × x )^1/2

После упрощения это выражение принимает вид:

P’(N, L) = [( y² - z² ) / ( y² + z² )] ×( 1 - x/R ). ( 38 )

Это есть степень поляризации теплового изображения сферы в декартовых координатах.

Перейдем к сферическим координатам:

X = R × sinq × cosj ;

Y = R × sinq × cosj ;

Z = R × cosq .

Тогда выражение (38) принимает вид:

sin²q × sin²j - cos²q

P’(N, L) = --------------------------- ( 1 - sinq × cosj) .  ( 39 )

sin²q × sin²j + cos²q

Это и есть степень поляризации теплового изображения сферы в сферических координатах.

Аналогично можно получить формулы для эллипсоида. Для этого необходимо начать вывод с функции:

f(x,y,z) =x² / b²+ y² / a²+ z² / c²- 1= 0. ( 40 )

 

С учётом обозначения K = b/a - коэффициента сжатия эллипсоида ( b - большая полуось эллипсоида, a - малая ), получим формулу для степени поляризации в декартовых координатах:

________________

P’(N, L) = [( y² - z²) / ( y² + z²)] ×[ 1 - ( x / Ö x² + k² × y² + k² × z²)] . ( 41 )

C учётом сферических координат для эллипсоида:

X = b × sinq × cosj ;

Y = a × sinq × cosj ;

Z = a × cosq .

степень поляризации принимает вид:

sin²q × sin²j - cos²q é sinq × cosj ù

P’(N, L) = -------------------------- × ê 1- ------------------------------------------------------ ç(42)

sin²q × sin²j + cos²q    ë  Ö sin²q × cos ²j + k² ×( sin²q × sin²j + cos ²q) û

Что касается диска, то для него используется формула ( 42 ), с учётом, что коэффициент сжатия k := 0.1, т.е. эллипсоид сжатый до состояния диска, когда большая полуось составляет всего лишь 10-ю часть от малой полуоси; для сферы формула ( 42 ) справедлива при k = 1. Таким образом, для получения модели поляризационного тепловизионного изображения диска, сферы и эллипсоида можно пользоваться формулой ( 42 ) с использованием различных значений k. При этом необходима связь углов q и j с номерами строк L и номерами элементов в строках N тепловизионного кадра. На основе геометрии наблюдения и логических рассуждений были получены следующие связи:

q = L × p / L₀ ;  ( 43 )

j = ( N × p / N₀ ) - p/2 ; ( 44 )

где L₀ - число всех строк в кадре;

N₀ - число элементов в каждой строке.