Навигация
Поверхности второго порядка
14461
знак
0
таблиц
10
изображений
§ 1. Понятие поверхности второго порядка.
Поверхность второго порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
a11х2 + а22у2 + a33z2+ 2a12xy + 2a23уz + 2a13xz + 2а14 x + 2а24у+2а34z +а44 = 0 (1)
в котором по крайней мере один из коэффициентов a11 , а22 , a33 , a12 , a23 , a13 отличен от нуля.
Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением поверхности второго порядка.
Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравнение (1) и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны.
1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.
Справедливо следующее утверждение.
являются инвариантами уравнения (1) поверхности второго-порядка относительно преобразований декартовой системы координат.
Доказательство этого утверждения приведено в выпуске «Линейная алгебра» настоящего курса.
§ 2. Классификация поверхностей второго порядка
1. Классификация центральных поверхностей. Пусть S — центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате указанных операций уравнение поверхности примет вид
a11х2 + а22у2 + a33z2 + а44 = 0 (2)
Так как инвариант I3 для центральной поверхности отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения (2) , равно a11 • а22 • a33 , то коэффициенты a11 ,а22 , a33 удовлетворяют условию :
 |
Возможны следующие случаи :
1. Коэффициенты a11 ,а22 , a33 одного знака, а коэффициент а44 отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом.
Если коэффициенты a11 ,а22 , a33 , а44 одного знака, то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют координаты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом.
Если знак коэффициентов a11 ,а22 , a33 противоположен знаку коэффициента а44 , то поверхность S называется вещественным эллипсоидом. В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.
Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа
положительны. Обозначим эти числа соответственно а2, b2, с2. После несложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:
Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипсоида.
Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz. называются его главными осями.
2. Из четырех коэффициентов a11 ,а22 , a33 , а44 два одного знака, а два других—противоположного. В этом случае поверхность S называется однополостным гиперболоидом.
Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11 > 0, а22 > 0, a33 < 0, а44 < 0. Тогда числа
положительны. Обозначим эти числа соответственно а2, b2, с2. После несложных преобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:
Уравнение (4) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.
Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (4), то оси Ох, Оу и Oz называются его главными осями.
3. Знак одного из первых трех коэффициентов a11 ,а22 , a33 , а44 противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом.
Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11 < 0, а22 < 0, a33 > 0, а44 < 0. Тогда :
Обозначим эти числа соответственно через a2, b2, с2. Поcли несложных преобразований уравнение (2) двуполостного гиперболоида можно записать в следующей форме:
Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.
Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением, то оси Ох, Оу и Оz называются его главными осями.
4. Коэффициент а44 равен нулю. В этом случае поверхность S называется конусом второго порядка.
Если коэффициенты a11 , а22 , a33 одного знака, то левая часть (2) обращается в нуль (а44 = 0) лишь для х=у=z=0, т. е. уравнению поверхности S удовлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность S называется мнимым конусом второго порядка. Если коэффициенты a11 , а22 , a33 имеют разные знаки, то поверхность S является вещественным конусом второго порядка.
Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,
a11 > o, а22 > 0, a33 < 0. Обозначим
соответственно через а2, b2, с2. Тогда уравнение (2) можно записать в виде
Уравнение (6) называется каноническим уравнением вещественного конуса второго порядка.
Похожие работы
... фигур, которое может задавать данное уравнение, построили график эллипса в общей и канонической системе координат. Часть II. Исследование поверхности второго порядка 1. Определение типа поверхности Для данного уравнения поверхности второго порядка: 4x2 - z2 + 12xz + 6y - 8z + 5 = 0 (4.1) Определить тип поверхности с помощью инвариантов. 4 + 0 -1 = 3 = ...
... кривой второго порядка и приведя его к каноническому виду, мы установили, что данная кривая — эллипс. Мы получили каноническое уравнение гиперболы при помощи преобразований параллельного переноса и поворота координатных осей. Исследование формы поверхности второго порядка Теоретическая часть Поверхностью второго порядка S называется геометрическое место точек, декартовы прямоугольные ...
... линию называют образующей. Она может быть прямой, тогда образованную ей поверхность относят к классу линейчатых. Если образующая – кривая линия, поверхность считают нелинейчатой. Линию, по которой перемещают образующую, называют направляющей. В качестве последней иногда используют след поверхности. Определителем поверхности называют совокупность условий, задающих поверхность в пространстве. ...
... поверхности, которые в пересечении с данными поверхностями дают простые для построения линии (например, прямые или окружности). В общем случае вспомогательные секущие плоскости применяют и для построения линии пересечения кривой поверхности гранной. Изложенный общий способ построения линии пересечения одной поверхности другою не исключает применения другого способа, если хотя бы одна из этих ...
0 комментариев