Классификация нецентральных поверхностей второго порядка

2. Классификация нецентральных поверхностей второго порядка.

Пусть S — нецентральная поверхность второго порядка, т. е. поверхность, для которой инвариант I₃ равен нулю. Произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид

a´₁₁х´² + а´₂₂у´² + a´₃₃z´² + 2а´₁₄ x´ + 2а´₂₄у´+2а´₃₄z´ +а´₄₄ = 0 (7)

для системы координат Ox´y´z´

Так как инвариант I₃ = 0 и его значение, вычисленное для уравнения (7) , равно

a´₁₁ • а´₂₂ • a´₃₃ , то один или два из коэффициентов a´₁₁ , а´₂₂ , a´₃₃ равны нулю. В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи.

1. Один из коэффициентов a´₁₁ , а´₂₂ , a´₃₃  равен нулю. Ради определенности будем считать, что a´₃₃ = 0 (если равен нулю какой-либо другой из указанных коэффициентов, то можно перейти к рассматриваемому случаю путем переименования осей координат). Перейдем от координат х', у', z' к новым координатам х, у, z по формулам

Подставляя х', у' и z', найденные из (8), в левую часть (7) и заменяя затем

a´₁₁ на a₁₁ , а´₂₂  на а₂₂ , а´₃₄ на p и а´₄₄ на q , получим следующее уравнение поверхности S в новой системе координат Oxyz :

a₁₁х² + а₂₂у² + 2pz + q = 0  (9)

1) Пусть р = 0, q = 0. Поверхность S распадается на пару плоскостей

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a₁₁ и а₂₂ одинаковы, и вещественными, если знаки a₁₁ и а₂₂ различны.

2) Пусть р = 0, q ≠ 0. Уравнение (9) принимает вид

a₁₁х² + а₂₂у² + q = 0  (10)

Известно, что уравнение (10) является уравнением цилиндра с образующими, параллельными оси Оz. При этом если a₁₁ , а₂₂ , q имеют одинаковый знак, то левая часть (10) отлична от нуля для любых х и y, т. е. цилиндр будет мнимым. Если же среди коэффициентов a₁₁ , а₂₂ , q имеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр будет вещественным. Отметим, что в случае, когда a₁₁ и а₂₂  имеют одинаковые знаки, a q — противоположный, то величины положительны.

 

Обозначая их соответственно через а² и b², мы приведем уравнение (10) к виду

Таким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиптический цилиндр. В случае, a₁₁ и а₂₂ имеют различные знаки, мы получим гиперболический цилиндр. Легко убедиться, что уравнение гиперболического цилиндра может быть приведено к виду

3) Пусть р≠0. Произведем параллельный перенос системы координат, выбирая новое начало в точке с координатами

(0, 0,  ).

При этом оставим старые обозначения координат х, у, z. Очевидно, для того чтобы получить уравнение поверхности S в новой системе координат, достаточно заменить в уравнении (9)

 

Получим следующее уравнение:

a₁₁х² + а₂₂у² + 2pz = 0 (13)

Уравнение (13) определяет так называемые параболоиды. Причем если a₁₁ и а₂₂ имеют одинаковый знак, то параболоид называется эллиптическим. Обычно уравнение эллиптического параболоида записывают в канонической форме:

Уравнение (14) легко получается из (13). Если a₁₁ и а₂₂ имеют разные знаки, то параболоид называется гиперболическим. Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид

Это уравнение также легко может быть получено из (13).

Ä 2°. Два из коэффициентов a´₁₁ , а´₂₂ , a´₃₃ равны нулю. Ради определенности будем считать, что a´₁₁ = 0 и а´₂₂ = 0 Перейдем от х,', у', z' к. новым координатам х, у, z по формулам :

Подставляя х', у' и z' , найденные из (16) в левую часть (7) и заменяя затем a´₃₃ на a_{33 ,} a´₁₄  на р , a´₂₄ на q и a´₄₄ на r , получим следующее уравнение поверхности S в новой системе координат Охуz :

a₃₃ z² + 2px + 2qy + r = 0 (17)

1) Пусть р=0, q=0. Поверхность S распадается на пару параллельных плоскостей

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a₃₃ и r одинаковы, и вещественными, если знаки a₃₃ и r различны, причем при r = 0 эти плоскости сливаются в одну.

2) Хотя бы один из коэффициентов р или q отличен от нуля. В этом случае повернем систему координат вокруг оси Oz так, чтобы новая ось абсцисс стала параллельной плоскости 2рх+2qy+r=0. Легко убедиться, что при таком выборе системы координат, при условии сохранения обозначения х, у и z для новых координат точек, уравнение (17) примет вид

a₃₃ z² + 2q´y = 0 (19)

которое является уравнением параболического цилиндра с образующими, параллельными новой оси Ох.

§ 3. Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям