FORMAT(1Х,'ТНЕ EIGENVALUES ARE'')

100 FORMAT(1Х,'ТНЕ EIGENVALUES ARE'')

101 FORMAT(1X,E15.8)

STOP

END

Результат работы программы получаем в виде:

Собственные значения равны

0.33709179E 08

0.19149061E 08

0.71417603E 07

Метод Гивенса для симметричных матриц

Метод Гивенса основан на преобразовании подобия, аналогичном применяемому в методе Якоби. Однако в этом случае алгоритм построен таким образом, что вновь образованные нулевые элементы при всех последующих преобразованиях сохраняются. Поэтому метод Гивенса требует выполнения конечного числа преобразований и по сравнению с методом Якоби связан с меньшими затратами машинного времени. Его единственный недостаток состоит в том, что симметричная матрица приводится не к диагональному, а к трехдиагональному виду. Ниже будет показано, что такая форма матрицы может быть весьма полезной и оправдывает усилия, затраченные на ее получение.

В случае матрицы размерности п х п метод Гивенса требует п — 2 основных шагов, на каждом из которых выполняется ряд преобразований, число которых зависит от числа нулей, которое хотят получить в данном столбце или строке. На k -м шаге обращают в нули элементы, стоящие вне трех диагоналей k-й строки и k -го столбца, сохраняя в то же время нулевые элементы, полученные на предыдущих шагах. Таким образом, перед началом k -го шага преобразованная матрица является трехдиагональной, если ограничиться рассмотрением ее первых k — 1 строк и столбцов. По мере преобразований симметричная матрица размерности 5х5 приобретает следующие формы:

На каждом основном шаге изменяются лишь те элементы матрицы аij, которые расположены в ее правой нижней (заштрихованной) части. Таким образом на k-м шаге преобразуется только матрица порядка (п — k + 1), занимающая правый нижний угол исходной матрицы. Ясно, что на каждой следующей стадии выполняется меньшее число преобразований, чем на предыдущей. Всего для приведения матрицы к трехдиагональному виду требуется выполнить (n2 — Зп + 2)/2 преобразований.

Наш опыт применения метода Гивенса показывает, что можно при выполнении одного шага преобразований обратить в нуль сразу все элементы целой строки и столбца, стоящие вне трех диагоналей матрицы. Метод, позволяющий выполнить такое преобразование, предложил Хаусхолдер .

Метод Хаусхолдера для симметричных матриц

Метод Хаусхолдера позволяет привести матрицу к трехдиагональному виду, выполнив почти вдвое меньше вычислений по сравнению с другими методами. Это обусловлено тем, что при его применении становятся нулевыми сразу все элементы строк и столбцов, стоящие вне трех диагоналей матрицы. Метод Хаусхолдера позволяет получить требуемый результат быстрее, чем метод Гивенса, так как связан с выполнением меньшего числа, хотя и более сложных преобразований. Это его свойство особенно ярко проявляется применительно к большим матрицам. Хотя в методе Хаусхолдера вместо плоских вращении используются эрмитовы ортогональные преобразования матриц, трехдиагональная форма матрицы, которую получают этим методом, имеет те же собственные значения, что и трехдиагональная матрица, получаемая методом Гивенса. При использовании метода Хаусхолдера на п — 2 основных шагах выполняются следующие преобразования:

Аk = РkAk-1Рk, k=1, 2, ..., п-2,

где Aо == А.

Каждая преобразующая матрица имеет вид

uk ukT

Pk = E - -------------- ,

2Kk2

где

ui,k = 0 при i = 1, 2, …, k,

ui,k = ak,i при i = k+2, …, n,

uk+1,k = ak,k+1 ± Sk.

Здесь

n 1/2

Sk = S a2k,i

i=k+1

2K2k = S2k ± ak, k+1 Sk.

В этих уравнениях берется знак, соответствующий элементу ak,k+1. Это позволяет сделать значение иk+1,k максимальным. Отметим, что методами Гивенса и Хаусхолдера можно пользоваться и в случае несимметричных матриц, приводя их, правда, не к трехдиагональному, а другому частному виду треугольной матрицы известной как матрица Гессенберга:

Похожие работы

Вычисление характеристических многочленов, собственных значений и собственных векторов

Скачать

14256

0

6

... решения системы. Метод Данилевского Простой и изысканный метод нахождения характеристического многочлена предложил А.М.Данилевский. Рассмотрим идею метода. Рассмотрим матрицу A Для которой находится характеристический многочлен, при помощи подобных преобразований преобразуется к матрице , которая имеет нормальную форму Фробениуса, то есть матрица имеет в явном виде в последнем ...

Собственные вектора и собственные значения линейного оператора

Скачать

8961

0

3

... , заданного матрицей P= в пространстве R2. Решение. Составим характеристическое уравнение: |P – λ·E|== λ2-5 λ+4=0 Из квадратного уравнения найдем собственные значения линейного оператора λ1=1, λ2=4. Чтобы найти собственные векторы, решим матричные уравнения: (P – λ1 E) X=0 и (P – λ2 E) X=0 В развернутом виде  и Соответствующие однородные системы ...

Численное решение алгебраических проблем собственных значений

Скачать

6140

0

0

... может быть, четыре или пять, собственных значений. Нахождение всех собственных пар разреженной матрицы представляет собой достаточно сложную вычислительную проблему. Итерационные методы позволяют находить собственные значения и векторы, минуя процедуру построения характеристического полинома. Отличительной чертой этих методов является то, что собственные значения находятся лишь после определения ...

Задача на собственные значения для вырождающегося уравнения смешанного типа

Скачать

5154

0

3

... В.В. О построении собственных значений и функций одной газодинамической задачи Франкеля // Математическое моделирование. 1990. Т. 2. № 10. С. 100-109. Моисеев Е.И. о решении вырождающихся уравнений с помощью биортогональных рядов // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. № 1. С. 94-103. Мамедов Я.Н. О некоторых задачах на собственные значения для уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения