Навигация
Элементы теории множеств
42398
знаков
1
таблица
0
изображений
Курсовая работа
Выполнил студент 3 курса 4 группы физико-математического факультета Данилюк Ярослав Борисович
Мозырский государственный педагогический университет
Мозырь 2006
Введение
До второй половины XIX века понятие “множества” не рассматривалось в качестве математического (“множество книг на полке”, “множество человеческих добродетелей” и т. д. — всё это чисто бытовые обороты речи). Положение изменилось, когда немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным “множеством”. Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого “натуральным рядом” — который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано. При этом общему понятию “множества”, рассматривавшемуся им в качестве центрального для математики, Кантор давал мало что определяющие определения вроде “множество есть многое, мыслимое как единое”, и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не “теорией множеств” (этот термин появился много позднее), а учением о множествах (Mengenlehre).
Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что “бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих”). Тем не менее, некоторые другие математики — в частности, Готлоб Фреге и Давид Гильберт — поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык.
В начале XX века Бертран Рассел, изучая наивную теорию множеств, пришел к парадоксу (с тех пор известному как парадокс Рассела). Таким образом, была продемонстрирована несостоятельность наивной теории множеств и, связанной с ней, канторовской программы стандартизации математики.
После обнаружения антиномии Рассела часть математиков (например, Л. Э. Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использования теоретико-множественных представлений. Другая же часть математиков, возглавленная Д. Гильбертом, предприняла ряд попыток обосновать ту часть теоретико-множественных представлений, которая казалась им наименее ответственной за возникновение антиномий, на основе заведомо надёжной финитной математики. С этой целью были разработаны различные аксиоматизации теории множеств. Особенностью аксиоматического подхода является отказ от, лежащего в основе программы Кантора, представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества “существуют” исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики.
Таким образом, понятие совокупности, или множества, принадлежит к числу фундаментальных понятий, данных нам природой, и предшествует понятию числа. В своем первичном виде оно не дифференцируется на понятие конечного и бесконечного множеств.
Плодотворность теоретико-множественной концепции заключается в том, что она породила весьма богатый и мощный арсенал широких понятий и универсальных методов.
В связи с этим возникает круг задач, которые разрешимы только средствами теоретико-множественной концепции.
Целями данной курсовой работы являются:
Изучение исходных понятий теории множеств, а также аксиоматики теории множеств.
Систематизация теоретико-множественной концепции.
Интеграция научной информации в учебный процесс.
Задачи курсовой работы “Элементы теории множеств”:
Поиск наиболее полного, содержательного и объективного ответа на вопросы разделов теории множеств.
Изучение определений и теорем в соответствии с различными научными подходами.
Создание компьютерной презентации с целью использования в качестве наглядного пособия при изучении теории множеств.
Создание электронного учебника, позиционируемого как справочное пособие для домашнего самостоятельного изучения.
Глава 1. Исходные понятия теории множеств 1.1. Множество как первоначальное неопределяемое понятие в математикеВ 70-х годах прошлого века немецкий математик Георг Кантор, исследуя тригонометрические ряды и числовые последовательности, встал перед необходимостью сравнить между собой бесконечные совокупности чисел. Для решения возникших проблем Кантор и выдвинул понятие множества. Согласно канторовскому определению, множество есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое. Это определение не накладывает никаких ограничений на природу элементов множества, что предоставляет нам значительную свободу. В частности, допустимо рассматривать множества, элементы которых по той или иной причине нельзя точно указать (например, множество простых чисел).
В современной математике понятие множества является одним из основных. Универсальность этого понятия в том, что под него можно подвести любую совокупность явлений, предметов и объектов реального мира. Сами множества так же могут объединяться во множества. Например, математики говорят о множестве фигур на плоскости, о множестве тел в пространстве, но каждую фигуру, каждое тело они мыслят как множество точек.
Суть понятия “множество” вполне передается словами: “совокупность”, “собрание”, “набор” и т.д. Однако, как абстрактное математическое понятие “множество” неопределимо.
Несмотря на это, определить какое-либо конкретное множество - задача не из трудных. Определить любое конкретное множество - значит определить, какие предметы (явления, объекты) принадлежат данному множеству, а какие не принадлежат. Иначе говоря, всякое множество однозначно определяется своими элементами.
Для того чтобы некоторую совокупность элементов можно было назвать множеством, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
Должно существовать правило, позволяющее определить, принадлежит ли указанный элемент данной совокупности.
Должно существовать правило, позволяющее отличать элементы друг от друга. (Это, в частности, означает, что множество не может содержать двух одинаковых элементов).
Множества обозначаются прописными буквами латинского или готического алфавита: A, B, ... , M, K, ... . Если множество A состоит из элементов a, b, c, ... , это обозначается с помощью фигурных скобок: A = {a, b, c, ...}. Если a есть элемент множества A , то это записывают следующим образом: aA. Если же a не является элементом множества A , то пишут aA. Существует также специальное, так называемое пустое множество, которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом . Пустое множество является частью любого множества.
1.2. Способы задания множествДля того, чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему принадлежат (или могут принадлежать). Это можно сделать различными способами:
перечислением элементов: M = {m1 ,m2 , ... , mn};
характеристическим условием (свойством): M = {x | P(x)};
порождающим правилом: M = {x | x = f(t)};
Первый способ полностью описывает множество. Однако он применим только для конечных (а, вообще говоря, для конечно обозримых множеств). При задании множеств перечислением обозначения элементов обычно заключают в фигурные скобки и разделяют запятыми. В этом случае считается несущественным порядок перечисляемых элементов.
Пример.
Задание множества первых пяти нечетных натуральных чисел перечислением элементов: M = {1, 3, 5, 7, 9}.
Второй способ позволяет определить принадлежность элемента x множеству M и, поэтому, пригоден для описания не только конечных, но и бесконечных множеств. Характеристическое условие обычно задается в форме логического утверждения, которое может выражаться словами, математическими уравнениями, неравенствами. Если для данного элемента условие выполнено, то он принадлежит определяемому множеству, в противном случае не принадлежит. Характеристическое условие может состоять из нескольких условий: в таком случае в записи могут использоваться следующие знаки:
● - равносильно “и”;
● V – равносильно “или”;
● - квантор всеобщности;
● - квантор существования.
Задание множеств их характеристическим свойством иногда приводит к осложнениям. Может случиться, что два различных характеристических свойства задают одно и то же множество, т. е. всякий элемент, обладающий одним свойством, обладает и другим, и обратно.
Пример.
Элемент x множества М есть целое число, квадрат которого меньше нуля.
M = {x | xZ x2 < 0}.
Третий способ задания множества сводится к построению конкретных представителей как конечных, так и бесконечных множеств. Порождающее правило описывает способ построения объектов, которые являются элементами определяемого множества.
Пример.
Зададим два множества перечислением: M1 := {1,2}; M2 := {1}.
Зададим множество M3 правилом построения его элементов:
M3 := {x | x = (x1,x2), x1M1, x2M2}.
Правило читается следующим образом: Для того, чтобы построить элемент множества M3, надо взять один объект из множества M1, второй объект из множества M2 и составить из них упорядоченную пару (часто говорят кортеж длины 2). Руководствуясь этим правилом, можно построить каждый элемент множества M3: (1,1), (2,1).
Похожие работы
... проверить знания студента из первой части курса, которая излагается в первых четырёх модулях. Во вторых вопросах билета проверяются знания классической предельной проблемы теории вероятностей и математической статистики, которые излагаются в следующих пяти модулях. 1. Вероятностная модель с не более чем счётным числом элементарных исходов. Пример: испытания с равновозможными исходами. 2. ...
... , почему именно эти аксиомы оказались настолько успешными и достойными специального внимания. Соответственно самая большая слабость формализма состоит в невозможности объяснить, почему аксиомы теории множеств, предположительно не отражающие никакой реальности, способны доказывать арифметические утверждения, не доказуемые с помощью более финитистских средств. Слабость, которую, как я полагаю, ...
... вующий класс (предложение 4), то из аксиомы S следует, что для любого множества х класс всех его элементов, удовлетворяющих данной предикативной формуле A(у), есть множество. Однако для полного развития теории множеств потребуется аксиома, более сильная, чем аксиома S. Введем предварительно несколько определений. Определения Un (X) означает xyz ( X & X y = z). (X однозначен.) ...
... монету второй раз не бросают), в четвертом — второму. Шансы игроков на выигрыш относятся как 3 к 1. В этом отношении и надо разделить ставку. Глава II. Элементы теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе (методика работы) Первый шаг на пути ознакомления младших школьников с миром вероятности состоит в длительном экспериментировании. Эксперимент повторяют много раз при ...
0 комментариев