Навигация
Для любых множеств A, B справедливо: если AB, то AB = A; AB = B
42398
знаков
1
таблица
0
изображений
4. Для любых множеств A, B справедливо: если AB, то AB = A; AB = B.
Доказательство.
Пусть xAB, то есть xA и xB, отсюда xA. Пусть теперь xA. Из условия AB следует, что xB, отсюда xAB. Следовательно, AB = A.
Пусть xA B, тогда xA или xB. Но AB, и, следовательно, xB, ABB. Если xB, то по определению xAB и верно включение BAB. Отсюда AB = B.
5. Для любых множеств A, B и C справедливы равенства (свойство дистрибутивности):
a) A(BC) = (AB) (AC);
б) A(BC) = (AB) (AC).
Доказательство.
а) Пусть xA(BC). Тогда xA и x(BC) → xA, xB или xC → xAB или xAC → x (AB)(AC) → A(BC) (AB)(AC). Пусть x (AB)(AC). Тогда x(AB) или x(AС)→(xA, xB) или (xA, xC) → xA и xB или xC→xA(BC) и отсюда (AB)(AC) A(BC). Окончательно имеем A(BC) = (AB)(AC).
б) Пусть xA (BC). Тогда xA или x (BC) → xA или (xB и xC) → (xA или xB) и (xA или xC) → x (AB) (AC) → A (BC) (AB) (AC). Обратно, пусть x (AB) (AC). Тогда x (AB) и x (AC) → (xA или xB) и (xA или xC) → или xA или (xB и xC) → xA (BC), то есть (AB) (AC)A (BC). Следовательно, A (BC) = (AB) (AC).
6. 
; (законы де Моргана).
7. Свойства универсального и пустого множества: A справедливо
AU=U;
A=A;
AU=A;
A=;
;
;
A=A;
8. Свойства абсолютного дополнения: A справедливо
A=U;
;
A=.
9. Частные свойства разности множеств:
Если AB=, то АВ=А;
Если AB, то АВ=;
АВ = А(АВ);
AA =;
A =A.
2.3. Диаграммы Эйлера-Венна
Операции множеств и связанные с ними соотношения представляются наглядно с помощью диаграмм Эйлера-Венна (названных по имени русского математика Леонарда Эйлера (1707-1783гг.) и английского логика Джона Венна (1834-1923гг.). На этих диаграммах любые множества изображаются кругами, пересекающими друг друга, исходя из того, что внутренними точками круга изображаются элементы множества. Общей частью двух кругов, пересекающих друг друга, представляются возможные общие элементы двух множеств. Универсальное множество изображается в виде прямоугольника. Единичный элемент множества – точкой в круге.
Объединение множеств C=АВ (зеленое выделение):
Рис. 1
Пересечение множеств C=АВ (черное выделение):
Рис. 2
Множество В является подмножеством множества А:
Рис. 3
Разность AB (зеленое выделение):
Рис. 4
Дополнение ко множеству А (синее выделение):
Рис. 5
Симметрическая разность множеств А∆B (зеленое выделение):
Рис. 6
Похожие работы
... проверить знания студента из первой части курса, которая излагается в первых четырёх модулях. Во вторых вопросах билета проверяются знания классической предельной проблемы теории вероятностей и математической статистики, которые излагаются в следующих пяти модулях. 1. Вероятностная модель с не более чем счётным числом элементарных исходов. Пример: испытания с равновозможными исходами. 2. ...
... , почему именно эти аксиомы оказались настолько успешными и достойными специального внимания. Соответственно самая большая слабость формализма состоит в невозможности объяснить, почему аксиомы теории множеств, предположительно не отражающие никакой реальности, способны доказывать арифметические утверждения, не доказуемые с помощью более финитистских средств. Слабость, которую, как я полагаю, ...
... вующий класс (предложение 4), то из аксиомы S следует, что для любого множества х класс всех его элементов, удовлетворяющих данной предикативной формуле A(у), есть множество. Однако для полного развития теории множеств потребуется аксиома, более сильная, чем аксиома S. Введем предварительно несколько определений. Определения Un (X) означает xyz ( X & X y = z). (X однозначен.) ...
... монету второй раз не бросают), в четвертом — второму. Шансы игроков на выигрыш относятся как 3 к 1. В этом отношении и надо разделить ставку. Глава II. Элементы теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе (методика работы) Первый шаг на пути ознакомления младших школьников с миром вероятности состоит в длительном экспериментировании. Эксперимент повторяют много раз при ...
0 комментариев