Д. Фукс
Сколько раз каждому из вас доводилось раскрывать скобки в произведении? Тысячи, а может быть, десятки тысяч? Если и есть в этом занятии что-нибудь привлекательное, так это надежда, что результат умножения, после приведения подобных членов, примет благоприятный вид, как, скажем,
(a + b)(a – b) = a2 – b2,
(1 – a)(1 + a + ... + an ) = 1 – an+1.
Ниже пойдёт речь о подобных равенствах, только гораздо менее очевидных и гораздо более глубоких. Они составляют результат более чем двухсотлетней работы крупнейших математиков мира. Своим читателям я посоветую вооружиться ручкой и бумагой и повторять за мной все выкладки: это поможет не только понять содержание статьи, но и оценить степень нетривиальности её результатов.
1. Тождество ЭйлераВ середине XVIII века – дело было в 1748 году или несколькими годами раньше – Леонард Эйлер заинтересовался коэффициентами многочлена
φn(x) = (1 – x)(1 – x2)(1 – x3)...(1 – xn).
Он раскрыл скобки в произведении – и получил поразительный результат. Проделаем эту выкладку и мы:
| φ1(x) | = 1 – x , | ||||||||
| φ2(x) | = 1 – x – x2 | + x3 | , | ||||||
| φ3(x) | = 1 – x – x2 | + x4 | + x5 | – x6 | , | ||||
| φ4(x) | = 1 – x – x2 | + 2x5 | – x8 | – x9 | + x10 | , | |||
| φ5(x) | = 1 – x – x2 | + x5 | + x6 | + x7 | – x8 | – x9 | – x10 | ... , | |
| φ6(x) | = 1 – x – x2 | + x5 | + 2x7 | – x9 | – x10 | ... , | |||
| φ7(x) | = 1 – x – x2 | + x5 | + x7 | + x8 | – x10 | ... , | |||
| φ8(x) | = 1 – x – x2 | + x5 | + x7 | + x9 | ... , | ||||
| φ9(x) | = 1 – x – x2 | + x5 | + x7 | + x10 | ... , | ||||
| φ10(x) | = 1 – x – x2 | + x5 | + x7 | ... . |
Многоточия обозначают части многочленов φn(x), содержащие x в степенях, больших 10 (выписать эти многочлены полностью не позволяет формат журнала: многочлен φ10(x), например, имеет степень 55).
Начнём с очевидного, но важного наблюдения: коэффициенты многочлена φn(x) с ростом n «стабилизируются», то есть каждый из них начиная с некоторого n не меняется. Это легко объяснить: переход от φn–1(x) к φn(x), состоящий в умножении на 1 – xn, не оказывает никакого воздействия на коэффициенты при 1, x, ..., xn–1, так что при n > k коэффициент при xk в многочлене φn(x) от n не зависит. (Например, вычисленная часть многочлена φ10(x) не изменится, если вместо φ10 взять φ11, φ12 и т.д.) Ввиду этого мы можем говорить о «бесконечном произведении»
φ(x) = (1 – x)(1 – x2 )(1 – x3 )(1 – x4 )...,
понимая под этим, конечно, не многочлен, а степенной ряд, то есть выражение вида
a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + ...,
где a0, a1, a2, a3, a4... – числа; в нашем случае a0, a1, a2, a3, a4 – стабилизирующиеся коэффициенты. Наше вычисление показывает, что
| a0 = a5 = a7 = 1, a1 = a2 = –1, a3 = a4 = a6 = a8 = a9 = a10 = 0. |
φ(x) называется функцией Эйлера.
Слово «функция» здесь употреблено не случайно: при –1 < x < 1 значения φ(x) можно вычислить (подобно тому, как вычисляют сумму бесконечной геометрической прогрессии).
Теперь – главное. После раскрытия наших скобок очень многое уничтожается, можно сказать – почти всё. Например, результат раскрытия скобок в произведении (1 – x)(1 – x2 )...(1 – x10 ) содержит до приведения подобных 43 слагаемых с x в степенях, меньших или равных 10, в том числе 24 слагаемых с x в степенях 8, 9, 10. После приведения подобных из этих 43 слагаемых остаётся всего 5, в том числе ни одного с x в степенях 8, 9, 10. Более точно, как мы видели, среди коэффициентов a0, a1, a2, ..., a10 три равны 1, два равны –1 и шесть равны 0. Выскажем осторожную гипотезу: коэффициенты ak всегда равны 0, 1 или –1, причём большинство из них равно 0. Дальнейшее вычисление, которое читатель при желании сможет провести сам, не только подтверждает эту гипотезу, но и позволяет её уточнить. Вот, например, часть ряда φ(x), содержащая x в степенях, не превосходящих 100:
| φ(x) = 1 – x – x2 + x5 + x7 | – x12 – x15 + x22 + x26 – |
| – x35 – x40 + x51 + x57 – x70 – x77 + x92 + x100... |
Надо полагать, что Эйлер, который не боялся длинных выкладок и отменно считал, примерно столько членов ряда φ(x) и вычислил. А потом он просто не мог не заметить, что коэффициенты, отличные от 0, равны 1 или –1, и при этом единицы и минус единицы расположены не как попало, а в строго определённом порядке: две единицы, две минус единицы, две единицы, две минус единицы и т.д. (Мемуар Эйлера на эту тему полностью приведён в книге Д.Пойа «Математика и правдоподобные рассуждения» (М., «Наука», 1975, с.111). Чтение этого мемуара, как и других глав книги Пойа, несомненно, доставит вам большое удовольствие.) В таблице выписаны показатели степеней x, при которых стоят ненулевые коэффициенты.
| показатели | 1, 2 | 5, 7 | 12, 15 | 22, 26 | 35, 40 | 51, 57 | 70, 77 | 92, 100 |
| коэффициенты | –1 | 1 | –1 | 1 | –1 | 1 | –1 | 1 |
Легко угадать, что это за показатели: в n-м столбце нашей таблицы в верхней строке стоят числа ½(3n2 – n), в нижней – число (–1)n. Если это так при всех n, мы приходим к равенству
| (1 – x)(1 – x2)(1 – x3)... = 1 – x – x2 + x5 + x7 – ... + |
| + (–1)n x½(3n² – n) + (–1)n x½(3n² + n) + ... |
или, пользуясь принятой в математике сокращённой символикой,
| ∞ | ∞ | ||
| ∏ | (1 – xn) = 1 + | ∑ | (–1)n ( x½(3n² – n) + x½(3n² + n) ). |
| n=1 | n=1 |
Это и есть тождество Эйлера. Последующие поколения математиков дали этому тождеству несколько доказательств. Одно из них приводится в п. 3. (Читатель, который больше интересуется фактами, чем доказательствами, без ущерба для понимания дальнейшего может этот параграф пропустить.) А сейчас я расскажу об одном замечательном применении тождества Эйлера, которое украшает все учебники комбинаторики.
0 комментариев