Доказательство тождества Эйлера

3. Доказательство тождества Эйлера

Раскроем скобки в нашем произведении

(1 – x)(1 – x2)(1 – x3)(1 – x4)... .

Получится сумма (бесконечная), в которой xn встретится столько раз, сколькими способами n представляется в виде суммы возрастающей последовательности натуральных чисел: n = n1 + n2 + ... + nk , n1 < n2 < ... < nk ; при этом знак при xn будет +, если k чётно, и –, если k нечётно. Ниже в этом параграфе наборы (n1 , ..., nk ) с n1 + ... + nk = n и n1 < ... < nk называются просто «разбиениями».

Мы будем различать разбиения трёх типов. Обозначим для разбиения (n1 , ..., nk ) через s наибольшее число такое, что nk – nk–s+1 = s – 1, то есть s чисел nk–s+1, ..., nk идут подряд (очевидно, s ≤ k). Например, для разбиения 12=2+4+6 s = 1, для разбиения 12=1+5+6 s = 2, для разбиения 33=4+5+8+9 s = 3. Мы скажем, что разбиение (n1 , ..., nk ) принадлежит

первому типу, если n1 ≤ s, исключая случай n1 = s = k;

второму типу, если n1 > s, исключая случай n1 = s + 1, s = k;

третьему типу в исключённых случаях, то есть если s = k и n1 равно s или s + 1.

Поставим теперь в соответствие разбиению (n1 , ..., nk ) первого типа разбиение

которое относится, очевидно, ко второму типу (проверьте!).

Более того, таким образом между разбиениями первого и второго типа получается взаимно однозначное соответствие: обратное отображение ставит в соответствие разбиению (n1 , ..., nk ) второго типа разбиение

(обозначение s сохраняет прежний смысл), относящееся к первому типу (проверьте!). Поскольку наше соответствие связывает разбиения, в которых числа слагаемых различаются на 1, соответствующие этим разбиениям xn уничтожатся, и в нашей сумме останутся только слагаемые, отвечающие разбиениям третьего типа. А разбиения этого типа, по определению, имеют вид

(k, k + 1, ..., 2k – 1),

(k + 1, k + 2, ..., 2k),

и им соответствуют (–1)k x½(3k² – k), (–1)k x½(3k² + k) (как вам известно, k + (k + 1) + ... + (2k – 1) = ½(3k2 – k) и (k + 1) + (k + 2) + ... + 2k = ½(3k2 + k) ).

Доказательство окончено.

4. Тождество Гаусса

Прошло около 70 лет со времени открытия Эйлера, и другой великий математик, Карл-Фридрих Гаусс, сделал следующий шаг в теории, получившей (по причинам, в которые мы не вникаем) название «теория модулярных форм». Он обнаружил, что, если функцию Эйлера возвести в куб, получится ряд, быть может ещё более замечательный, чем ряд Эйлера:

φ3(x) = (1 – x)3(1 – x2)3(1 – x3)3... = 1 – 3x + 5x3 – 7x6 + 9x10 – 11x15...

(я советую вам не полениться и вычислить столько коэффициентов ряда φ3(x)) или

Это тождество Гаусса тем более удивительно, что квадрат функции Эйлера с виду ничем не примечателен:

φ2(x) = 1 – 2x – x2 + 2x3 + x4 + 2x5 – 2x6 – 2x8 – 2x9 + x10...

(не радуют и дальнейшие члены этого ряда: последовательность его коэффициентов не обнаруживает никакой закономерности, в ней появляются тройки, четвёрки и т.д.). Глубину тождества Гаусса подчёркивает то обстоятельство, что известны его доказательства, относящиеся к совершенно разным областям математики – от геометрии Лобачевского до весьма абстрактной гомологической алгебры. Известно и доказательство, по духу близкое к доказательству тождества Эйлера из п. 3, но оно удручающе громоздко. Доказательства, которое можно было бы предложить читателям «Кванта», я не знаю. Может быть, такое доказательство придумает кто-нибудь из читателей?

5. Степени функции Эйлера

Итак, мы знаем, как устроены ряды φ(x) и φ3(x), но не имеем никакой удовлетворительной формулы для φ2(x). А как обстоит дело с рядами φ4(x), φ5(x), ...? Иными словами: при каких n существуют формулы для коэффициентов ряда φn(x)? Для ответа на этот неформальный (то есть не имеющий точного смысла) вопрос я предлагаю использовать следующий полуформальный признак. Если при некотором n среди коэффициентов ряда φn(x) часто попадаются нули – это вряд ли случайно: наверное, для φn(x) есть какое-то тождество типа тождеств Эйлера и Гаусса. Впрочем, если нулей мало или нет вовсе – ничего ещё не известно. По моей просьбе Е. И. Коркина вычислила на ЭВМ коэффициенты, с которыми в ряды φ(x), φ2(x), ..., φ15(x) входят x, x2, ..., x50 (те из вас, кто учится в математической школе и проходит практику на ЭВМ, могут попытаться повторить это вычисление). [Через 20 лет после написания статьи эти строки невозможно читать без улыбки. :) – E.G.A.] Нет смысла приводить результаты вычисления полностью; я ограничусь таблицей, в которой c(n) обозначает число нулей среди коэффициентов при x, ..., x50 в ряде φn(x):

Констатируем: при n = 1, 3 нулей очень много (это мы уже знаем), при n = 2, 4, 6, 8, 10, 14 их порядочно, при n = 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15 их нет вовсе.

Наличие нулей при n = 2, 4 и 6 не должно нас удивлять. Дело в том, что ряды φ(x) и φ3(x) настолько разрежены, что в произведениях φ(x)φ(x), φ(x)φ3(x) и φ3(x)φ3(x) некоторые члены могут отсутствовать ещё до приведения подобных членов. Например, числа 11, 18, 21 (и многие другие) не представляются как суммы двух чисел вида ½(3n2 ± n) и потому члены с x11, x18, x21 отсутствуют в φ2(x). По аналогичной причине члены с x9, x14, x19 (и другие) отсутствуют в φ4(x), а члены с x5, x8, x14 (и другие) отсутствуют в φ6(x).

А вот «подскоки» числа c(n) при n = 8, 10, 14 так просто не объяснить. Оказывается, для φ8(x), φ10(x), φ14(x) имеются некоторые формулы, хотя и не столь изящные, как тождества Эйлера и Гаусса. (Такая формула есть и для φ15(x), но это не сказывается на нашей таблице.) Для иллюстрации я приведу формулу для φ8(x), по существу принадлежащую Ф. Клейну:

где суммирование в правой части происходит по всем тройкам k, l, m целых чисел с k + l + m = 1.

(Хотя эта формула не особенно проста, она позволяет заметить, что если n не представляется в виде –(kl + km + lm), где k, l, m – целые числа с суммой 1, то есть в виде k 2 + l 2 + kl – k – l с произвольными целыми k, l, то член с хn отсутствует в ряде φ8(x). Например, в таком виде не представляются числа, имеющие при делении на 4 остаток 3, а также числа 13, 18, 28, 29.)

Из сказанного видно, что среди целых чисел имеются некие «избранные показатели» n, для которых ряд φn(x) имеет более или менее благоустроенный вид. Загадка «избранных показателей» была (тоже более или менее) разгадана совсем недавно, и главная заслуга в этом принадлежит английскому математику Яну Макдональду. Интересный рассказ об открытии Макдональда содержится в статье Ф. Дж. Дайсона «Упущенные возможности», русский перевод которой опубликован в первом выпуске журнала «Успехи математических наук» за 1980 год.

О Дайсоне и его статье стоит сказать особо. Дайсон – один из крупнейших физиков нашего времени, математик по образованию. [Тем, кто интересуется вопросами развития Интернет-сообщества, наверное, известна его дочь – Эстер Дайсон. – E.G.A.] Главная цель его статьи – показать на ряде ярких примеров, как значительные математические и физические открытия задерживались, порою на десятки лет, из-за отсутствия должного взаимодействия между специалистами в той и другой науке. Хотя статья не адресована школьникам и многое в ней будет вам непонятно, я уверен, что её чтение доставит вам удовольствие. А здесь я приведу (с сокращениями) отрывок из этой статьи, непосредственно касающийся нашего предмета.