Рассказ Ф. Дж. Дайсона

6. Рассказ Ф. Дж. Дайсона

«Начну с банальной истории, случившейся со мной. Это живая иллюстрация того, какие возможности упускаются по причине узкой специализации. Свою научную деятельность я начинал с теории чисел. В мои студенческие годы в Кембридже я учился у Г. Харди, уже тогда бывшего легендарной личностью. Даже первокурсникам в те годы было ясно, что теория чисел в духе Харди и Рамануджана устарела и блестящее будущее её не ждёт. Сам Харди в лекции о τ-функции Рамануджана назвал этот сюжет «одной из тихих заводей математики». Значения τ-функции – это коэффициенты ряда:

Рамануджан открыл ряд замечательных арифметических свойств τ(n).

Доказательство и обобщение этих свойств Морделлом, Гекке и другими сыграли важную роль в развитии модулярных форм. Но сами τ-функции по-прежнему оставались тихой заводью, далёкой от основного русла математики, где дилетанты могли плескаться в своё удовольствие, не тревожимые конкуренцией с профессионалами. Уже став физиком, много лет спустя, я сохранил сентиментальную привязанность к τ-функции и отдыхал от такого серьёзного дела, как физика, время от времени возвращаясь к работам Рамануджана и размышляя над многими увлекательными проблемами, которые он оставил нерешёнными. Четыре года тому назад (статья Дайсона написана в 1972 году – Д. Ф.), во время такого отдыха от физики, я нашёл новую формулу для τ-функции, столь красивую, что просто поразительно, как сам Рамануджан не додумался до неё. Выглядит она так:

Суммирование ведётся по всем пятёркам целых чисел a, b, c, d, e, имеющих при делении на 5, соответственно, остатки 1, 2, 3, 4, 0 и таких, что a + b + c + d + e = 0, a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = 10n. Пользуясь (1), можно записать эту формулу в виде выражения для φ24(x) (сравните с приведённым выше выражением для φ8(x) – Д. Ф.).

Я пришёл к ней под влиянием письма Винквиста, получившего похожее выражение для φ10(x).

Продолжая своим доморощенным способом исследования этих тождеств, я обнаружил существование столь же красивой формулы, как (2), для n-х степеней φ в тех случаях, когда n принадлежит следующей последовательности целых чисел:

(вот они, «избранные показатели»! – Д. Ф.). На этом я остановился. Довольно недолго я разглядывал странную последовательность (3). Будучи в то время теоретиком-числовиком, я ничего в ней не увидел. Перегородки в сознании помешали мне заметить, что я неоднократно встречал эти числа в качестве физика. Попадись они мне на глаза в контексте какой-нибудь физической задачи, я бы, наверное, узнал в них размерности конечномерных простых алгебр Ли, если не считать число 26. Почему сюда попало 26 не знаю до сих пор».

Простите, я забыл, что вы не знаете, что такое простые алгебры Ли. Это неважно. Я постараюсь объяснить вам, что такое числа (3). Вспомните, что вращения плоскости вокруг фиксированной точки зависят от одного параметра – угла поворота. Вращения трёхмерного пространства зависят от трёх параметров – широты и долготы оси вращения и угла поворота. Вообще, «вращения» n-мерного пространства зависят от ½n(n – 1) параметров, а «вращения» n-мерного «комплексного пространства» – от n2 – 1 параметров. К числам ½n(n – 1) и n2 – 1 (то есть 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... и 3, 8, 15, 24, 35, ...) нужно присоединить пять «особых размерностей» 14, 52, 78, 133 и 248. Если ещё выбросить, как это и делает Дайсон, числа 1 и 6, получится последовательность (3), которую, конечно, твёрдо помнит любой физик-теоретик.

«Так я упустил возможность заметить глубокую связь между модулярными формами и алгебрами Ли только потому, что Дайсон теоретик-числовик не поговорил с Дайсоном физиком.

У этой истории счастливый конец. Неизвестный мне в то время английский математик Ян Макдональд получил эти же формулы, как частный случай более общей теории. Алгебры Ли входили в его теорию с самого начала, а связь с модулярными формами появилась нежданно-негаданно. Так или иначе, Макдональд выявил эту связь и использовал возможность, которую я упустил. Выяснилось также, что Макдональд находился в Институте высших исследований в Принстоне, когда мы оба работали над этой проблемой. Поскольку наши дочери учились в одном классе, мы виделись время от времени в течение всего его годичного пребывания в Принстоне. Но так как он был математиком, а я физиком, мы не говорили о своей работе. То, что мы думали над одним и тем же вопросом, находясь столь близко друг от друга, выяснилось лишь по его возвращении в Оксфорд. Вот упущенная возможность, но не столь драматичная, поскольку Макдональд прекрасно во всём разобрался и без моей помощи».

7. Заключение

Изложенная здесь теория совсем не ограничивается вычислением степеней функции Эйлера: имеется большое количество замечательных формул, в левой части которых стоят бесконечные произведения иного типа. Я надеюсь, что когда-нибудь вы пожелаете познакомиться с этим предметом более серьёзно. Напоследок я покажу вам ещё два тождества, которые Гаусс доказал одновременно с тождеством из п. 4: