Тождество Эйлера и число разбиений

2. Тождество Эйлера и число разбиений

Пусть n – натуральное число. Обозначим через p(n) число способов, которыми можно представить n в виде суммы натуральных слагаемых (при этом слагаемые в суммах могут повторяться, и представления, различающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми). Например:

Числа p(n) входят во многие математические формулы, и их полезно уметь вычислять. Но как это сделать? Попробуйте, например, найти p(10). Вам придется изрядно повозиться, и, если повезёт, вы найдете правильный ответ: 42. А если нужно знать, скажем, p(50)? На помощь приходит тождество Эйлера.

Сначала немного «теории». Положим

π(x) = 1 + p(1)x + p(2)x2 + p(3)x3 + ... = 1 + x + 2x2 + 3x3 + 5x4 + 7x5 + ...

Как и φ(x), π(x) – функция, определённая при –1 < x < 1. Но, опять-таки, нас она интересует только как степенной ряд.

Теорема. Ряды φ(x) и π(x), взаимно обратны, то есть

φ(x) · π(x) = 1.

Вы понимаете, в чем смысл этого равенства? Степенные ряды можно перемножать:

наше утверждение означает, что если перемножить таким образом ряды φ(x) и π(x), то полученное произведение сведётся к 1: коэффициенты при x, x2, x3 ... будут равны нулю.

Доказательство.

= (1 + x + x2 + x3 + ...)(1 + x2 + x4 + x6 + ...)×...×(1 + xk + x2k + x3k + ...)... .

При раскрытии скобок в последнем произведении получится сумма всевозможных выражений вида

где a1 ..., ak – целые неотрицательные числа. Таким образом, xn войдёт в эту сумму столько раз, сколькими способами n можно представить в виде

a1 + 2a2 + ... + kak.

Но это представление можно переписать так:

Мы видим, что представлений числа n в виде a1 + 2a2 + ... + kak столько же, сколько есть его представлений в виде суммы натуральных слагаемых, то есть p(n). Таким образом, коэффициент при xn в нашем произведении равен p(n), то есть 1/φ(x) = π(x). Теорема доказана.

Положив для удобства p(0) = 1, напишем

(1 – x – x2 + x5 + x7 + ...)(1 + p(1)x + p(2)x2 + ...) = 1

(коэффициенты в первом множителе пишутся согласно тождеству Эйлера!). Раскроем скобки и приравняем нулю коэффициенты при x, x2, x3, ..., xn в левой части. Получим:

(в левой части последней формулы нужно писать слагаемые до тех пор, пока аргумент у p остаётся неотрицательным). Итак,

p(n) = p(n–1) + p(n–2) – p(n–5) – p(n–7) + ... .

Эта формула позволяет быстро составить довольно длинную таблицу чисел p(n). Вот практический совет, как это сделать. Возьмите лист клетчатой бумаги – лучше всего двойной тетрадный лист. Отрежьте вдоль его длинной стороны полоску шириной 3–4 клетки. Положите эту полоску перед собой вертикально и у левого среза в нижней клетке поставьте какой-нибудь знак, скажем звёздочку. Затем, двигаясь вверх, поставьте в первой клетке +, во второй +, в пятой –, в седьмой –, в двенадцатой +, в пятнадцатой + и т.д., насколько хватит длины полоски (рис. 1). Оставшуюся часть листа также положите перед собой вертикально и, отступя 10–15 клеток от её левого среза, проведите на ней вертикальную черту – сверху донизу. В клетки, прилегающие к черте слева, двигаясь сверху вниз, впишите уже известные вам числа p(n), начиная с p(0): 1, 1, 2, 3, 5, 7. Чтобы найти следующее значение, приложите отрезанную полоску справа к вертикальной черте так, чтобы звёздочка оказалась против первой пустой клетки. Теперь из суммы чисел, стоящих против плюсов, вычтите сумму чисел, стоящих против минусов. Что получится – впишите в клетку против звездочки: это – следующее значение функции p(n). Опустите полоску на одну клетку вниз и повторите то же самое. И так далее. Через несколько минут вы получите колонку чисел p(n) высотой в ваш лист.

Пользуясь этим рецептом, я нашел числа p(n) для n ≤ 50. На это потребовалось – честно, по часам – 17 минут. (Несколько первых шагов вычисления я привожу на рисунке 2; красные числа – это новые значения p(n).) В частности,

p(50) = 204226.

Представьте себе, сколько потребовалось бы времени для нахождения этого числа кустарным способом!