Тригонометрическая форма комплексного числа

1. Тригонометрическая форма комплексного числа.

2. Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.

План занятий.

Проверка домашнего задания.

Повторение опорных знаний учащихся. Повторить с учащимися алгебраическую форму комплексного числа; геометрическую интерпретацию комплексного числа; модуль комплексного числа и основные соотношения, связанные с ним.

Изучение нового материала. Полезно составить с учащимися алгоритм перехода из одной формы в другую.

Применение знаний при решении типовых примеров и задач. Выполнить упражнения.

Обобщение и систематизация знаний. Отметить равенство двух комплексных чисел в тригонометрической форме: два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на число, кратное 2π. Рассмотреть сопряженные комплексные числа, записанные в тригонометрической форме.

Предложить учащимся ответить на вопросы:

Могут ли модулем комплексного числа одновременно быть числа r и –r? Могут ли аргументом комплексного числа одновременно быть углы j и –j ?

Самостоятельное применение ЗУН. Провести проверочную работу в 2 – 6 вариантах.

Подведение итогов занятия.

Домашнее задание.

§4 Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел.

Обучающая цель: Научить учащихся выполнять действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

Воспитательная цель: Воспитывать положительное отношение к процессу обучения, развивать интерес к математике.

Основные знания и умения. Знать: правила действий над комплексными числами в тригонометрической форме. Уметь: выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Методические рекомендации.

Вид занятия. Усвоение новых знаний.

Мотивация познавательной деятельности учащихся. Тригонометрическая форма комплексного числа оказывается более удобной при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня из комплексного числа. Кроме того, она позволяет рассмотреть некоторые частные случаи, важные для прикладных вопросов.

Последовательность изложения нового материала.

1. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме (умножение, деление, возведение в степень, извлечение из корня).

2. Решение упражнений.

План занятий.

Проверка домашнего задания. Провести фронтальный опрос по вопросам.

Повторение опорных знаний учащихся. Повторить формулы тригонометрии.

Изложение нового материала. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме рассмотреть в следующем порядке: умножение, деление, возведение в степень, извлечение из корня; ввести соответствующие формулы сформулировать правила действий. Решить примеры.

Обобщение и систематизация знаний. Следует обратить внимание учащихся, что сложение и вычитание комплексных чисел легко выполняются в алгебраической форме, а умножение, возведение в степень, деление и извлечение из корня рациональнее выполнять в тригонометрической форме.

Применение знаний при решении типовых примеров и задач. Выполнить действия.

Самостоятельное применение ЗУН. Провести самостоятельную работу с выборочной проверкой.

Подведение итогов занятия.

Домашнее задание.

§5 Решение упражнений. Комплексные корни многочлена.

Обучающая цель: Научить учащихся применять все формы комплексного числа при решении упражнений.

Воспитательная цель: Прививать интерес к математике. При подготовке и проведении самостоятельной и, впоследствии, зачетной работы необходимо показать роль личной ответственности каждого учащегося за качество выполненной работы, роль систематической работы в классе и дома по углублению и повышению прочности знаний, для формирования умений и навыков.

Методические рекомендации.

Вид занятия. Комбинированное.

Мотивация познавательной деятельности учащихся. Овладение умениями и навыками вычислений над комплексными числами является основным мотивом. Знакомство с комплексными числами имеет цель продолжать и развивать такие содержательно-методические линии, как линия развития понятия числа, линия математической логики и др. Для качественного выполнения зачетной работы необходимо повторить основные теоретические и практические положения темы.

План занятий.

Проверка домашнего задания. Провести комбинированный опрос. У доски отвечают четыре человека по карточкам – заданиям, а остальные решают упражнения, аналогичные домашним.

Повторение опорных знаний учащихся. Повторить с учащимися основные положения темы.

Применение знаний при решении типовых примеров и задач.

Творческое применение ЗУН. Решить примеры.

Самостоятельное применение ЗУН. Провести самостоятельную работу в 2 – 6 вариантах.

Подведение итогов занятия.

Домашнее задание.

§6 Зачет (25).

Глава 3. Описание эксперимента 3.1. Методические основы и организация экспериментального исследования

Формирование и развитие математического мышления способствует выявлению и более эффективному развитию математических способностей школьников, подготавливает их к творческой деятельности вообще и в математике с её многочисленными приложениями в частности.

Вообще интеллектуальное развитие детей можно ускорить по трём направлениям: понятийный строй мышления, речевой интеллект и внутренний план действий.

Прочное усвоение знаний невозможно без целенаправленного развития мышления, которое является одной из основных задач современного школьного обучения.

Говоря об алгебраической культуре, заметим, что некоторые разделы алгебры, которые иногда даже не рассматриваются в математических классах, целесообразно вводить в общеобразовательную программу. Так, например, понятие числа в школе заканчивается изучением действительных чисел, что можно считать существенным пробелом в математической подготовке учащихся, т.к. более естественным является введение понятия комплексного числа.

Формирование у учащихся твердой убежденности в научной обоснованности и даже неизбежности введения комплексных чисел вполне возможно и может вестись по нескольким различным линиям, учитывая то, что учащиеся обладают уже достаточно зрелым математическим развитием. В старших классах они в состоянии уже понимать и уважать нужды самой математической науки, являющейся косвенным проявлением нужд и запросов самой практики.

С целью объективной и доказательной проверки эффективности усвоения нового понятия на педагогической практике был проведен эксперимент.

Цель исследования – развитие мышления учащихся через формирование нового понятия – понятия комплексного числа.

Объект исследования – учебная деятельность учащихся, учебно-познавательный процесс.

Предмет исследования – процесс формирования понятия комплексного числа у учащихся.

Гипотеза исследования – если учащиеся:

знают определение комплексного числа, различные формы комплексного числа; умеют выполнять арифметические действия над комплексными числами, записанными в алгебраической и в тригонометрической форме; умеют изображать комплексные числа и действия над ними на комплексной плоскости; оперируют такими понятиями как комплексные числа, действия над комплексными числами, различные формы комплексного числа, корни многочленов,

то формирование и усвоение понятия комплексного числа прошло успешно.

Цель, предмет и гипотеза исследования определили необходимость постановки и решения следующих задач:

Исследовать особенности математического мышления старшеклассников. Исследовать процесс формирования понятий на материале темы “Комплексные числа”.

Логика и этапы исследования:

I этап: диагностический.

Зафиксировать успеваемость детей на момент исследования; оценить уровни и качество усвоения понятий учащимися, а также получить необходимые сведения о достигнутом уровне их умений и навыков.

В результате мы имеем объективную информацию об индивидуальной сформированности математического мышления испытуемых, их интересах и способностях.

II этап: формирующий.

С помощью системы методов, приемов, средств обучения и т.д. сформировать у учащихся понятие комплексного числа.

В итоге мы сможем оценить, как и на сколько успешно проходило усвоение нового понятия.

III этап: диагностический.

Используя методы опроса, изучая продукты деятельности учащихся, школьную документацию, сделать выводы о степени усвоения данного понятия. Подвести итог об исследовании особенностей математического мышления и процесса формирования понятия комплексного числа.

Описание методов.

Диагностические: I этап.

Беседа проводилась с учителем математики, которая в 10Є классе преподает алгебру и геометрию. Беседа состоялась по истечении некоторого времени с начала педпрактики, после того, как произошло знакомство с классом, определилась группа испытуемых.

Прежде был сформулирован приблизительный ряд вопросов, по которым нужно было получить необходимую информацию:

каков круг интересов ребят; сколько учащихся непосредственно проявляют интерес к математике, и чем это обосновано; к моменту исследования каков их уровень самостоятельности, активности, организованности; умеют ли учащиеся применять на практике приемы и операции мышления; насколько развито абстрактное, конкретное, логическое и творческое мышление; насколько полно ребята усваивают содержание и объем понятий; насколько полно усваивают связи и отношения данного понятия с другими; умеют ли оперировать понятием при решении предлагаемого ряда упражнений и задач, нестандартных заданий; чем можно объяснить, что в группу испытуемых вошли именно те или иные учащиеся.

Учитель проявила заинтересованность, давала ясные, исчерпывающие ответы, которые ещё и подтверждала примерами из опыта работы с учащимися 10а класса.

Изучая школьную документацию, в частности, классный журнал – оценки по предметам алгебра и геометрия, фиксировалась успеваемость учащихся, что давало сведения об их индивидуальности, например, какие учащиеся активны на уроке, у кого оценки выше при ответе у доски, а у кого – при самостоятельной работе, какие темы усваиваются лучше, какие труднее и т.д.

III этап.

Контрольная работа.

После того, как было сформулировано у учащихся понятие комплексного числа, была проведена контрольная работа для того, чтобы оценить насколько успешно прошло усвоение нового понятия.

В первое задание вошло 3 упражнения: а) (3-2i)(4+i)+10i;

б)( 1-i)/(1+i)+( 1+i)/(1-i) ; в) (2-i)і

В результате проверки мы сможем увидеть научились ли учащиеся выполнять арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень комплексных чисел.

Второе задание: х+у+(х-у)i=8+2i позволяет нам зафиксировать усвоено ли учащимися такое понятие как равенство комплексных чисел.

С помощью третьего задания: а) х2–4х+5=0; б) х4–1=0 мы сможем узнать научились ли ребята решать квадратные уравнения вне зависимости от дискриминанта, а так же путем разложения на множители.

Проверяя четвертое задание: а) z=5-2i; б) –1<Re z≤2 мы увидим умеет ли изображать комплексные числа учащиеся на комплексной плоскости, знают ли составные части комплексных чисел, умеют ли их изображать.

И пятое задание, в котором нужно записать числа z1=i и z2=2+√3i в тригонометрической форме, а затем найти (z2)і , z3=z1· z2 позволит нам узнать насколько усвоен ребятами переход от алгебраической формы к тригонометрической, и научились ли они выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Т.о. контрольная работа позволит нам увидеть насколько эффективно проходило формирование и усвоение понятия комплексного числа.

Формирующие: II этап.

Для успешного усвоения понятия комплексного числа была разработана система поэтапной подачи материала. Вся тема была разбита на пять блоков. А именно: 1 блок содержит в себе историческую справку, определение комплексных чисел в алгебраической форме, действия над ними, геометрическую интерпретацию комплексных чисел. Цель занятий этого блока – усвоение новых знаний.

2 блок: Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Цель – повторение и закрепление полученных знаний, формирование умений и навыков.

3 блок: Тригонометрическая форма комплексных чисел. Переход от алгебраической формы комплексных чисел к тригонометрической и обратно. Цель занятий – усвоение и закрепление новых знаний.

4 блок: Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Цель - усвоение и закрепление новых знаний.

5 блок: Решение упражнений. Комплексные корни многочленов. Цель занятий блока – повторение и закрепление полученных знаний, формирование умений и навыков.

С помощью методов стимулирования и мотивации интереса к учению заинтересовать учащихся тем, что они познакомятся с решением квадратных уравнений вне зависимости от дискриминанта, т.е. и в случае, когда D<0.

Изучение нового материала началось с беседы: повторение опорных знаний – известных им сведений о числовых множествах. Типовые вопросы беседы:

Определение натуральных чисел и их обозначение. Определение целых чисел и их обозначение. Определение рациональных чисел и их обозначение. Определение действительных чисел и их обозначение. Какая арифметическая операция не всегда выполнима во множестве натуральных чисел? Т.о. какое множество необходимо было ввести? Почему ввели множество рациональных чисел? Действительных? Т.е. не могли производить всех необходимых измерений во множестве рациональных чисел. Какая операция не всегда выполнима во множестве R? Предлагается решить уравнение х2+1=0 (и, если не ответили на вопрос №9, задать его ещё раз).

Итак, мы приходим к неизбежности введения комплексных чисел.

После того, как учащиеся были заинтересованы, на первом занятии подготовить их к изучению нового материала. Это можно сделать, изложив исторический обзор методом рассказа - вступления. Кроме того, это позволяет учащимся узнать богатую историю возникновения и развития, необходимости введения комплексных чисел. Также рассказ служит для них примером построения связной, логичной, убедительной речи, учит грамотно выражать свои мысли.

Далее изучение новой темы осуществлялось методом объяснения. Сообщаются конкретные факты, точно и четко формулируются определения, частные случаи, основные соглашения, принятые относительно комплексных чисел. Объяснение сочетается с наблюдением учащихся, с вопросами учителя к учащимся и учеников к учителю и может перерасти в беседу.

Предлагается учащимся самим найти правила действий над комплексными числами. Учитель направляет, помогает, подсказывает. Ученики под руководством учителя самостоятельно рассуждают, решают возникающие познавательные задачи и т.д. Т.о. в этом случае мы работаем с помощью частично – поискового метода.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел вводится методом объяснения с элементами беседы. Это позволяет актуализировать уже известные им знания и поддерживает интерес, заставляет мысль ученика следовать за мыслью учителя.

При обобщении, систематизации и закреплении знаний используется комбинированный метод. Репродуктивный метод обеспечивает возможность получения умений и применения полученных знаний. Этот метод тесно переплетается с практическим методом, здесь наибольшей эффективностью отличаются упражнения. Используются все виды упражнений – устные, письменные, графические, комментированные и т.д.

На протяжении всей темы могут быть использованы ситуационный метод и обучающий контроль – устный и самоконтроль.

Следующий блок начинается с проверки домашнего задания, для которой характерен метод обучающего контроля. Комбинированный опрос состоит из фронтального опроса по вопросам, приведенным в приложении 2, а также из индивидуального опроса, который полезно провести по карточкам, и это определяет методы, соответственно – устный и письменный контроль.

Применение знаний при решении типовых примеров и задач осуществляется репродуктивным и практическим методом с использованием различных видов уравнений.

Творческое применение знаний, умений и навыков, может быть осуществлено частично – поисковым или исследовательским методом с помощью упражнений.

Самостоятельное применение ЗУН и индивидуальная проверка знаний определяет в этом случае метод – письменный контроль, фронтальная работа на часть урока.

Третий блок начинается с проверки домашнего задания и с повторения опорных знаний учащихся – это осуществляется с помощью методов устного индивидуального и фронтального контроля, по вопросам, которые даны в приложении 2. Одни учащиеся отвечают по некоторым вопросам у доски, и пока они готовятся, учитель работает с классом.

Изложение нового материала ведется методом объяснения. Даются определения, основные формулы. Составляется с учащимися алгоритм и таблица (приложение 2), здесь присутствуют элементы беседы. Учитель задает вопросы, направляет, а учащиеся размышляют, делают выводы, поэтому также имеет место частично – поисковый метод.

Репродуктивный метод и упражнения используются при решении типовых примеров. Ребята воспроизводят и повторяют способ деятельности учителя, когда он методом иллюстрации и демонстрации приводил примеры. Ученики приобретают умения и навыки.

Проверить насколько эффективно проходило в классе приобретение учащимися теоретических знаний и практических умений по этой теме можно методом письменного контроля, фронтального.

Четвертый блок состоит из занятий, цель которых – усвоение и закрепление новых знаний. Здесь используется объяснительно – иллюстративный метод. Сообщаем новый материал, методом объяснения, сопровождая показом способов решения задач. Проверка домашнего задания и повторение опорных знаний проводим методом обучающего контроля, т.е. фронтального опроса по вопросам, которые требуют лаконичного ответа.

С помощью упражнений учащиеся воспроизводят действие по образцу в целях их закрепления и далее выполняют более сложные творческие задания.

Самостоятельную работу провести методом письменного контроля с выборочной проверкой.

Последние занятия перед контрольной работой направлены на закрепление, систематизацию и обобщение знаний. Т.о. комбинируются различные методы. Для проверки домашнего задания – индивидуальный и фронтальный письменный контроль, с элементами устного: у доски отвечают несколько человек по карточкам – заданиям, а остальные решают упражнения, аналогичные домашним.

Повторить с учащимися основные положения темы можно методом беседы, некоторые моменты которой могут переходить в дискуссию.

Комментированные, устные и письменные упражнения способствуют формированию различных навыков, развитию мышления, познавательного интереса, активности и т.д. Учащиеся выполняют задания у доски и на местах, индивидуально и коллективно, при этом имеет место обучающий контроль учителя и самоконтроль.

На последнем занятии – контрольная работа, это есть письменный фронтальный контроль. Работа может быть проведена по карточкам, также в виде дифференцированного зачёта и т.д.

Описание контингента испытуемых.

Эксперимент проводился в ЯСШ № 3, в 10Є классе. В этом классе 27 человек (16 мальчиков и 11 девочек). Класс непрофильный, успеваемость средняя: 2 отличника, 7 хорошистов, 4 неуспевающих. Математикой интересуются в различной степени 9–10 учащихся. В классе у 11% неполные семьи, у 15% - достаток в семье выше среднего, 1 девочка посещает уроки в школе редко по состоянию здоровья. В целом класс дружный, в основном ребята серьёзные, организованные.

3.2. Описание результатов исследования

Эксперимент проводился в 10а классе ЯСШ №3. В группу испытуемых вошли 14 человек: только те, кто изъявил желание. Учитывая загруженность расписания уроков, и то, что в исследовании участвовали не все учащиеся, занятия проходили во внеурочное время. Проводилось 10 занятий, а не 14, т.к. мы были ограничены рамками педагогической практики.