Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр

2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр

Напомним, что класс  алгебр сигнатуры  называется многообразием, если существует множество  тождеств сигнатуры  такое, что алгебра сигнатуры  принадлежит классу  тогда и только тогда, когда в ней выполняются все тождества из множества .

Многообразие называется мальцевским, если оно состоит из алгебр, в которых все конгруэнции перестановочны.

Все алгебры считаются принадлежащими некоторому фиксированному мальцевcкому многообразию. Используются стандартные обозначения и определения из[2].

В данной работе конгруэнции произвольной алгебры будем обозначать греческими буквами.

Если  – конгруэнция на алгебре , то

смежный класс алгебры  по конгруэнции .  или  – диагональ алгебры .

Для произвольных конгруэнции  и  на алгебре  будем обозначать  множество всех конгруэнции на алгебре  таких, что

тогда и только тогда, когда

Так как , то множество  не пусто.

Следующее определение дается в работе[2].

Определение 2.1. Пусть  и  – конгруэнции на алгебре . Тогда  централизует  (записывается: ), если на  существует такая конгруэнция , что:

1) из

всегда следует

2) для любого элемента

всегда выполняется

3) если

то

Под термином «алгебра» в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие .

Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом[3], сформулируем в виде леммы.

Лемма 2.1. Пусть . Тогда:

1) существует единственная конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1;

2) ;

3) если

то

Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции  на алгебре  всегда существует наибольшая конгруэнция, централизующая . Она называется централизатором конгруэнции  в  и обозначается .

В частности, если , то централизатор  в  будем обозначать .

Лемма 2.2. Пусть ,  – конгруэнции на алгебре , , , . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) ;

2) , где ;

3) если выполняется одно из следующих отношений:

4) из  всегда следует

Доказательство:

1) Очевидно, что  – конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и .

2)  – конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. Значит

3) Пусть . Тогда

Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор  такой, что

Тогда получим

т.е.

Аналогичным образом показываются остальные случаи из пункта 3).

4) Пусть

Тогда справедливы следующие соотношения:

Следовательно,

где  – мальцевский оператор.

Тогда

то есть .

Так как

то .

Таким образом . Лемма доказана.

Следующий результат оказывается полезным при доказательстве последующих результатов.

Лемма. 2.3. Любая подалгебра алгебры , содержащая диагональ , является конгруэнцией на алгебре .

Доказательство:

Пусть

Тогда из

следует, что

Аналогичным образом из

получаем, что

Итак,  симметрично и транзитивно. Лемма доказана.

Доказательство следующего результата работы [1] содержит пробел, поэтому докажем его.

Лемма 2.4. Пусть . Тогда  для любой конгруэнции  на алгебре .

Доказательство:

Обозначим  и определим на алгебре  бинарное отношение  следующим образом:

тогда и только тогда, когда

где

Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что  – конгруэнция на алгебре , причем

Пусть

то есть

Тогда

и, значит

Пусть, наконец, имеет место

Тогда справедливы следующие соотношения:

применяя мальцевчкий оператор  к этим трем соотношениям, получаем

Из леммы 2.2 следует, что

Так как

то

Значит,

Но , следовательно, .

Итак,

и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.

Лемма 2.5. Пусть ,  – конгруэнции на алгебре ,  и  – изоморфизм, определенный на .

Тогда для любого элемента  отображение  определяет изоморфизм алгебры  на алгебру , при котором .

В частности, .

Доказательство.

Очевидно, что  – изоморфизм алгебры  на алгебру , при котором конгруэнции ,  изоморфны соответственно конгруэнциям  и .

Так как

то определена конгруэнция

удовлетворяющая определению 2.1.

Изоморфизм  алгебры  на алгебру  индуцирует в свою очередь изоморфизм  алгебры  на алгебру  такой, что

для любых элементов  и , принадлежащих . Но тогда легко проверить, что  – конгруэнция на алгебре , изоморфная конгруэнции .

Это и означает, что

Лемма доказана.

Определение 2.2. Если  и  – факторы на алгебре  такие, что

то конгруэнцию  обозначим через  и назовем централизатором фактора  в .

Напомним, что факторы  и  назыавются перспективными, если либо

либо

Докажем основные свойства централизаторов конгруэнции.

Теорема 6 Пусть , , ,  – конгруэнции на алгебре . Тогда:

1) если , то

2) если , то

3) если ,  и факторы ,  перспективны, то

4) если  – конгруэнции на  и , то

где , .

Доказательство.

1) Так как конгруэнция  централизует любую конгруэнцию и , то

2) Из первого пункта лемы 2.2 следует, что

а в силу леммы 2.4 получаем, что

Пусть  – изоморфизм . Обозначим

По лемме 2.5 , а по определению

Следовательно,

3) Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнции  и  на алгебре  имеет место равенство

Покажем вналале, что

Обозначим . Тогда, согласно определению 2.1. на алгебре  существует такая конгруэнция , что выполняются следующие свойства:

а) если , то

б) для любого элемента ,

в) если

то

Построим бинарное отношение  на алгебре  следующим образом:

тогда и только тогда, когда

и

Покажем, что  – конгруэнция на . Пусть

для . Тогда

и

Так как  – конгруэнция, то для любой -арной операции  имеем

Очевидно, что

и

Следовательно,

Очевидно, что для любой пары

Значит,

Итак, по лемме 2.3,  – конгруэнция на . Покажем теперь, что  удовлетворяет определению 2.1, то есть  централизует . Пусть

(1)

Тогда

Так как , и , то . Следовательно,  удовлетворяет определению 2.1.

Если , то

значит,

Пусть, наконец, имеет место (1) и

(2)

Тогда

Так как  и , то , следовательно, . Из (2) следует, что , а по условию . Значит,  и поэтому

Тем самым показано, что конгруэнция  удовлетворяет определению 2.1, то есть  централизует .

Докажем обратное включение. Пусть

Тогда на алгебре  определена конгруэнция

удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение  на алгебре  следующим образом:

(3)

тогда и только тогда, когда

(4)

и , .

Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что  – конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения в одну сторону следует, что . Покажем поэтому, что  централизует .

Так как

то

то есть  удовлетворяет условию 1) определения 2.1.

Если , то

следовательно,

Пусть имеет место (3) и .

Так как

то

Из (4) следует, что , следовательно,

то есть

На основании леммы 2.2 заключаем, что

Следовательно, .

А так как , то , то есть

4) Обозначим . Пусть

и удовлоетворяет определению 2.1.

Определим бинарное отношение  на  следующим образом

тогда и только тогда, когда

Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что  – конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1.

Это и означает, что

Теорема доказана.

Как следствия, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.