Формационные свойства нильпотентных алгебр

3. Формационные свойства нильпотентных алгебр

Как уже отмечалось, все алгебры считаются принадлежащими некоторому фиксированному мальцевскому многообразию и используются стандартные обозначения и определения из[1].

Напомним, что для  и  – конгруэнции на алгебре  – говорят, что  централизует  (записывается: ), если на  существует такая конгруэнция , что:

1) из  всегда следует

2) для любого элемента  всегда выполняется

3) если , то

Очевидно, что для любой конгруэнции  на алгебре  конгруэнция  централизует . В этом случае .

Заметим, что если  и  – конгруэнции на группе  и , то для нормальных подгрупп  и  группы  и любых элементов ,  имеют место следующие соотношения:

Тогда

и в силу транзитивности  из этих соотношений следует, что

По определению 2.1 получаем, что

Следующее определение центральности принадлежит Смиту [3].

Определение 3.1. , если существует такая , что для любого ,

Докажем, что определение 2.1. эквивалентно определению 3.1.  означает условие 1) из определения 2.1. И наоборот, условие 1) означает, что .

Пусть  и  – конгруэнции, удовлетворяющие определению 2.1. Из условия 2) следует, что для любого элемента ,

Докажем обратное включение.

Пусть . Так как , то из условия 2) следует, что

В силу транзитивности  имеем

и, значит, в силу условия 3) . Итак

Покажем, что из определения 3.1. следуют условия 2) и 3) определения 2.1. Если , то

Это означает .

Для  получаем, что

откуда .

Согласно работе [3]

Определение 3.2. Алгебра  называется нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнции

называемый центральным, что

 

Лемма 3.1. Любая подалгебра нильпотентной алгебры нильпотентна.

Доказательство:

Пусть  – подалгебра нильпотентной алгебры . Так как  обладает центральным рядом

то для любого  на алгебре  существует конгруэнция  удовлетворяющая определению 2.1. А именно, из

всегда следует

и

1) для любого элемента

всегда выполняется

2) если

и

то

Заметим, что в дальнейшем, для сокращения записи, будем учитывать тот факт, что

тогда и только тогда, когда

Построим следующий ряд конгруэнции на алгебре :

где

Покажем, что этот ряд является центральным. Для этого на алгебре  для любого  определим бинарное отношение  следующим образом:

тогда и только тогда, когда

Покажем, что  – конгруэнция на алгебре . Пусть

Тогда

и для любой -арной операции  имеем

Следовательно,

Итак,  – подалгебра алгебры .

Очевидно, что для любого элемента  имеет место

Таким образом, согласно лемме 2.3,  – конгруэнция на алгебре .

Пусть

Тогда  и так как , то

Если , то  и, значит,

т.е.

Пусть, наконец,

Тогда

и так как

Следовательно,

Итак, конгруэнция  удовлетворяет определению 2.1. для любого . Лемма доказана.

Лемма 3.2. Пусть  и  – конгруэнции на алгебре ,

и  – изоморфизм, определенный на алгебре .

Тогда для любого элемента  отображение

определяет изоморфизм алгебры  на алгебру , при котором

Доказательство:

Очевидно, что  – изоморфизм алгебры  на алгебру , при котором конгруэнции  и  изоморфны соответственно конгруэнциям  и .

Так как , то существует конгруэнция  на алгебре , удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм  алебры  на алгебру  индуцирует в свою очередь изоморфизм  алгебры  на алгебру  такой, что

для любых элементов , .

Но тогда легко проверить, что  – конгруэнция на алгебре  изоморфная конгруэнции . Это и означает, что

Лемма доказана.

Лемма 3.3. Фактор-алгебра нильпотентной алгебры нильпотентна.

Доказательство:

Пусть

центральный ряд алгебры . Покажем, что для любой конгруэнции  на алгебре  ряд

является центральным, т.е.

для любого . В силу известных теорем об изоморфизмах для алгебр (см., например, теоремы II.3.7, II.3.11 [5]) и леммы 3.2., достаточно показать, что

Пусть  – конгруэнция на алгебре , удовлетворяющая определению 2.1. Определим бинарное отношение  на алгебре  следующим образом

тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы , что

и

Непосредственной проверкой убеждаемся, что  – конгруэнция на алгебре .

Таким образом осталось показать, что  удовлетворяет определению 2.1.

Пусть

тогда из соотношения

следует, что

Так как

то . Итак,

Пусть . Тогда для некоторого элемента ,  и .

Таким образом,

следовательно,

Так как , то это означает, что

Пусть

где

Покажем, что . В силу определения  найдутся , что

и

При этом имеют место следующие соотношения:

Следовательно,

Но тогда по определению 3.2.

А так как , то

Теперь из того, что

следует, что

Лемма доказана.

Доказательство следующего результата осуществляется простой проверкой.

Лемма 3.4. Пусть  – конгруэнция на алгебре , . Пологая

тогда и только тогда, когда  для любого , получаем конгруэнцию  на алгебре .

Лемма 3.5. Прямое произведение конечного числа нильпотентных алгебр нильпотентно.

Доказательство:

Очевидно, достаточно показать, что если ,  и  – нильпотентные алгебры, то  – нильпотентная алгебра.

Пусть

центральные ряды алгебр  и  соответственно. Если , то, уплотнив первый ряд повторяющимися членами, получим центральный ряд алгебры  длины . Таким образом, можно считать, что эти ряды имеют одинаковую длину, равную .

Построим теперь ряд конгруэнции на алгебре  следующим образом:

где  тогда и только тогда, когда , , .

Покажем, что последний ряд является центральным, т.е.  для произвольного . Так как

то на алгебрах  и  соответственно заданы конгруэнци  и , удовлетворяющие определению 2.1.

Определим бинарное отношение  на алгебре  следующим образом:

и только тогда, когда

и

Легко непосредственной проверкой убедиться, что  – конгруэнция на алгебре . Осталось показать, что  удовлетворяет определению 2.1.

Пусть имеет место

Тогда согласно введенному определению

и

откуда следует, что

т.е.

Пусть

Это означает

Но тогда

и

Следовательно,

Пусть имеет место

Это означает, что

и

Значит,  и , т.е. . Лемма, доказана.

Как известно, наследственной формацией называется класс алгебр, замкнутых относительно фактор-алгебр, подпрямых произведений и относительно подалгебр.

Результаты, полученные в леммах 3.1, 3.3, 3.5 можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 7 Класс всех нильпотентных алгебр мальцевского многообразия является наследственной формацией.

Определение 3.3. -арная группа  называется нильпотентной, если она обладает таким нормальным рядом

что

и

для любого .

Так как конгруэнции на -арных группах попарно перестановочны (смотри, например, [2]), то это дает возможность использовать полученные результаты в исследовании таких групп.

Лемма 3.6. Пусть  – -арная группа.  и  – нормальные подгруппы группы  и .

Тогда , где  и  конгруэнции, индуцированные соответственно подгруппами  и  на группе .

Доказательство:

Подгруппы  и  индуцируют на группе  конгруэнции  и , определяемые следующим образом:

 – -арная операция.

Определим на  бинарное отношение  следующим образом:

тогда и только тогда, когда существуют такие последовательности элементов  и  из  и  соответственно, что

Покажем, что  – подалгебра алгебры . Для сокращения записи будем в дальнейшем опускать -арный оператор .

Пусть

Так как , то

Так как , то

Поэтому в силу того, что ,

Итак,  – подалгебра алгебры .

Пусть  – нейтральная последовательность группы , а, следовательно, и группы . Тогда из определения бинарного отношения  следует, что

Тем самым доказало, что  – конгруэнция на .

Тo, что  удовлетворяет определению 2.1, очевидно. Лемма доказана.

Лемма 3.7. Пусть  – нильпотентная -арная группа. Тогда  удовлетворяет определению 2.1.

Доказательство:

Так как  для любого , то  индуцирует конгруэнцию  на . Таким образом  обладает рядом конгруэнции, который в силу леммы 3.6 будет являться центральным. Лемма доказана.

В частности, для произвольной бинарной группы  отсюда следует, что  нильпотентна тогда и только тогда, когда,  удовлетворяет определению 3.2. В этом случае теорема 3.2 просто констатируе тот факт, что класс всех нильпотентных групп образует наследственную формацию.